Bài giảng Toán 5 Xác suất & Thống kê - Tuần 9 - Nguyễn Văn Đắc

o cho xác suất để biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn Z nhận giá trị lớn hơn 2/az , bằng 2/a 
Ta có P(- zα/2< Z < zα/2) = 1 - a , trong đó 
n
XZ
/s
m-
= . 
Như vậy, .12/2/ a
s
m
s
aa -=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+<<-
n
zX
n
zXP 
Tức là với một mẫu ngẫu nhiên cỡ n được chọn từ một tổng thể mà 2s đã biết và ta tính được x , 
thì ta được một khoảng tin cậy (1 – )100% như trong phát biểu dưới đây. 
· Khoảng ước lượng cho m với s đã biết 
Nếu x là trung bình của một mẫu ngẫu nhiên cỡ n được lấy từ tổng thể với 2s đã biết, thì 
khoảng tin cậy (1 – )100% cho trung bình m của tổng thể là 
n
zx
n
zx sms aa 2/2/ +<<- 
trong đó 2/az được xác định bởi P(Z > 2/az ) = 2/a . 
Do ta đã sử dụng định lý giới hạn trung tâm để xây dựng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể 
nên với mẫu cỡ nhỏ được chọn từ tổng thể có phân phối khác phân phối chuẩn thì độ chính xác 
không cao. Với cỡ mẫu lớn hơn hoặc bằng 30 thì lý thuyết mẫu bảo đảm rằng kết quả là tốt. 
Dưới đây là hình ảnh của khoảng tin cậy với các mẫu khác nhau. 
Ví dụ 6.2 Hàm lượng kẽm trung bình thu được khi đo ở 36 địa điểm khác nhau trên một dòng 
sông là 2.6 gam/mi-li-lít. Biết rằng độ lệch chuẩn của tổng thể là 0.3. Hãy tìm các khoảng tin cậy 
95% và 99% cho hàm lượng kẽm trung bình trong dòng sông đó. 
Giải Ước lượng điểm cho m là x = 2.6; 
+ = 0.05 thì 2/a = 0.025, ta có 
 P(Z > 2/az ) = 2/a tương đương P(Z < 2/az ) = 1 - 2/a = 0.975 
 Nên 2/az = 1.96(tra Bảng A.3). 
 n =36. Khoảng tin cậy 95% cho m là 
36
3.0)96.1(6.2
36
3.0)96.1(6.2 +<<- m 
viết gọn là 2.5 < m < 2.7. 
+ = 0.01 thì 2/a = 0.005, ta có 2/az = 2.575 và n = 36 nên khoảng tin cậy 99% cho m là 
36
3.0)575.2(6.2
36
3.0)575.2(6.2 +<<- m 
giản ước ta được 2.47 < μ < 2.73. 
Để ý một chút, ta sẽ thấy khoảng tin cậy (1 – )100% còn cho ta ước tính cho độ chính xác của 
một ước lượng điểm. Thực vậy, x được dùng để ước lượng điểm cho m thì sai số mắc phải là 
| x - m | 
Theo kết quả trên thì | x - m | < 
n
z sa 2/ . Từ đó ta có 
Định lý 6.1 
Nếu x được sử dụng để ước lượng điểm cho m , thì với độ tin cậy (1 – )100% ta cho rằng sai 
số của ước lượng không vượt quá 
n
z sa 2/ . 
Trong Ví dụ 6.2, với độ tin cậy 95% ta cho rằng giá trị trung bình mẫu x = 2.6 sai khác với m
một khoảng không quá 0.98. 
Trong thực tế đôi khi ta phải trả lời câu hỏi: Với cỡ mẫu phải bằng bao nhiêu thì sai số ước lượng 
nói trên không vượt quá một số e cho trước? 
Từ Định lý 6.1 suy ra rằng để sai số của ước lượng điểm không vượt quá e ta chỉ việc chọn n sao 
cho 
n
z sa 2/ = e . Nên ta có 
Định lý 6.2 
Nếu x được sử dụng để ước lượng điểm cho m , với độ tin cậy (1 – )100% ta cho rằng sai số 
của ước lượng không vượt quá e khi cỡ mẫu được xác định bởi 
2
2/ ÷
ø
ö
ç
è
æ=
e
sazn 
theo nguyên tắc làm tròn đến số tiếp theo. 
Một cách chính xác thì công thức trong Định lý 6.2 chỉ được sử dụng khi biết s . Tuy nhiên nếu 
chưa biết s ta có thể chọn một mẫu ban đầu với cỡ mẫu lớn hơn hoặc bằng 30, tính độ lệch 
chuẩn mẫu s để làm ước lượng cho s rồi từ đó tìm giá trị gần đúng cho n. 
Ví dụ 6.3 
Nếu ta muốn với độ tin cậy 95% sai số của ước lượng x cho m không vượt quá 0.05, thì cỡ mẫu 
phải là bao nhiêu? 
Giải Theo Định lý 6.2 thì 
2(1.96)(0.3)n 138.3
0.05
é ù= =ê úë û 
Do vậy, với độ tin cậy 95% ta cho rằng một mẫu cỡ 139 sẽ cho ta một ước lượng điểm là trung 
bình mẫu với sự sai lệch so với trung bình tổng thể không vượt quá 0.05. 
 Tiếp theo ta sẽ xây dựng khoảng tin cậy (1 – α)100% cho trung bình tổng thể với phương sai 
chưa biết. Nhắc lại rằng nếu tổng thể có phân phối chuẩn, thì biến ngẫu nhiên 
nS
XT
/
m-
=
có phân phối student với n -1 bậc tự do, trong đó S là độ lệch tiêu chuẩn mẫu. Ta dùng T để 
xây dựng khoảng tin cậy cho μ với phương sai của tổng thể ta chưa biết. Trước tiên ta ấn định 
aaa -=<<- 1)( 2/2/ tTtP
với 
nS
XT
/
m-
= thì T có phân phối student với n - 1 bậc tự do nên khi a cho trước ta xác định 
được 2/at . Từ đó ta được 
a
m
aa -=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
<
-
<- 1
/ 2/2/
t
nS
XtP 
Hay tương đương là 
am aa -=÷
ø
ö
ç
è
æ
+<<- 12/2/ n
StX
n
StXP 
từ đó 
· Khoảng tin cậy cho m với s chưa biết 
Nếu x và s lần lượt là trung bình và độ lệch chuẩn mẫu của một mẫu ngẫu nhiên được chọn từ 
tổng thể có phân phối chuẩn với s chưa biết, khoảng tin cậy %100)1( a- cho m là 
n
stx
n
stx 2/2/ aa m +<<- 
trong đó 2/at được xác định bởi 2
)( 2/
a
a => tTP . 
Lưu ý: + Tìm 2/at bằng cách tra Bảng A.4. 
 + Kết quả trên có giả thiết là tổng thể có phân phối chuẩn, tuy nhiên nếu tổng thể có 
phân phối xấp xỉ chuẩn thì sử dụng kết quả trên cũng khá tốt, còn khi không biết dạng phân phối 
của tổng thể thì đòi hỏi cỡ mẫu phải lớn hơn hoặc bằng 30, khi đó ta nói kết quả trên là khoảng 
tin cậy với cỡ mẫu lớn. 
Ví dụ 6.4 Một mẫu được lấy từ tổng thể có phân phối xấp xỉ chuẩn với số liệu như sau 
9.8 10.2 10.4 9.8 10.0 và 9.6 
Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình của tổng thể. 
Giải 
Đặt X là biến ngẫu nhiên với số liệu thực nghiệm như trên. 
Trung bình mẫu và phương sai mẫu lần lượt là 
283.00.10 == sx 
Sử dụng Bảng A.4, ta tìm được 447.2025.0 =t với số bậc tự do là 6. Do đó khoảng tin cậy 95% 
cho m là 
÷
ø
ö
ç
è
æ
+<<÷
ø
ö
ç
è
æ
-
7
283.0)477.2(0.10
7
283.0)477.2(0.10 m 
viết gọn lại là 9.74 < m < 10.26. 
6.4.2 Ước lượng hiệu hai giá trị trung bình 
Ta có hai tổng thể với trung bình lần lượt là 21, mm và phương sai tương ứng lần lượt là 
2
2
2
1 , ss . 
Ước lượng điểm cho hiệu 21 mm - là thống kê 21 XX - , trong đó 1X , 2X lần lượt là trung bình 
mẫu lấy từ tổng thể thứ nhất và tổng thể thứ hai. 
Vấn đề đặt ra là: Xây dựng khoảng tin cậy (1 – α)100% cho 21 mm - . 
Người ta đã thu được các kết quả sau: 
· Khoảng tin cậy cho 21 mm - ; đã biết 
2
2
2
1 , ss . 
Nếu 1x và 2x là trung bình mẫu của các mẫu ngẫu nhiên độc lập cỡ lần lượt là n1 và n2 được lấy 
từ những tổng thể với phương sai đã biết là 22
2
1 , ss , thì khoảng tin cậy (1 – α)100% cho 21 mm -
là 
2
2
2
1
2
1
2/2121
2
2
2
1
2
1
2/21 )()( nn
zxx
nn
zxx ssmmss aa ++-<-<+-- 
trong đó 2/az được xác định bởi 2
)( 2/
a
a => zZP . 
Ví dụ 6.5 Cho hai tổng thể A và B với độ lệch chuẩn lần lượt là 6 và 8. Một mẫu từ A có cỡ là 50, 
cho ta giá trị trung bình mẫu là 36. Một mẫu từ B có cỡ là 75, cho ta giá trị trung bình là 42. Tìm 
khoảng tin cậy 96% cho hiệu AB mm - . 
Giải 
+ Ước lượng điểm cho AB mm - là 42 – 36 = 6. 
+ α = 0.04, dùng Bảng A.3 ta tìm được z0.02 = 2.05. 
+ Khoảng tin cậy 96% cho AB mm - là 
50
6
75
805.26
50
6
75
805.26
2222
++<-<+- AB mm 
Thu gọn ta được 57.843.3 <-< AB mm . 
· Khoảng tin cậy cho 21 mm - ; chưa biết 
2
2
2
1 , ss nhưng biết rằng 
2
2
2
1 ss = . 
Nếu 1x và 2x là trung bình mẫu của các mẫu ngẫu nhiên độc lập cỡ lần lượt là n1 và n2 được lấy 
từ những tổng thể có phân phối xấp xỉ chuẩn với phương sai bằng nhau nhưng chưa biết, thì 
khoảng tin cậy (1 – α)100% cho 21 mm - là 
21
2/2121
21
2/21
11)(11)(
nn
stxx
nn
stxx pp ++-<-<+-- aa mm 
trong đó 2/at được xác định bởi 2
)( 2/
a
a => tTP với n1 + n2 - 2 bậc tự do và sp được tính theo 
công thức 
2
)1()1(
21
2
22
2
11
-+
-+-
=
nn
snsns p . 
Ví dụ 6.6 Cho hai tổng thể A và B. Một mẫu từ A có cỡ là 12, cho ta giá trị trung bình mẫu là 
3.11 và độ lệch tiêu chuẩn mẫu là s1 = 0.771. Một mẫu từ B có cỡ là 10, cho ta giá trị trung bình 
là 2.04 và độ lệch tiêu chuẩn là s2 = 0.448. Tìm khoảng tin cậy 90% cho hiệu BA mm - , giả sử 
rằng hai tổng thể có phân phối xấp xỉ chuẩn và có phương sai bằng nhau nhưng chưa biết. 
Giải 
+ Ước lượng điểm cho BA mm - là 3.11 – 2.04 = 1.07. 
+ .646.0
2911
)448.0)(9()771.0)(11(
2
)1()1( 22
21
2
22
2
11 =
-+
+
=
-+
-+-
=
nn
snsns p
+ α = 0.1 và số bậc tự do n1 + n2 – 2 = 20, dùng Bảng A.4 ta tìm được t0.05 = 1.725. 
Ta được khoảng tin cậy 90% cho BA mm - là 
10
1
12
1)646.0)(752.1(07.1
10
1
12
1)646.0)(752.1(07.1 ++<-<+- BA mm 
Thu gọn ta được 0.593 < BA mm - < 1.547. 
· Khoảng tin cậy cho 21 mm - ; đã biết 
2
2
2
1 , ss nhưng biết rằng 
2
2
2
1 ss ¹ . 
Nếu 1x , 
2
1s và 2x , 
2
2s là trung bình mẫu, phương sai mẫu của các mẫu ngẫu nhiên độc lập cỡ 
lần lượt là n1 và n2 được lấy từ những tổng thể có phân phối xấp xỉ chuẩn với phương sai khác 
nhau nhưng chưa biết, thì khoảng tin cậy (1 – α)100% xấp xỉ cho 21 mm - là 
2
2
2
1
2
1
2/2121
2
2
2
1
2
1
2/21 )()( n
s
n
stxx
n
s
n
stxx ++-<-<+-- aa mm 
trong đó 2/at được xác định bởi 2
)( 2/
a
a => tTP với số bậc tự do là 
( )
( ) ( ) )]1/(/[)]1/(/[
//
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
-+-
+
=
nnsnns
nsns
u (được làm tròn đến số nguyên kế tiếp nếu chưa nguyên). 
Ví dụ 6.7 Cho hai tổng thể A và B. Một mẫu từ A có cỡ là 15, cho ta giá trị trung bình mẫu là 
3.84 và độ lệch tiêu chuẩn mẫu là s1 = 3.07. Một mẫu từ B có cỡ là 12, cho ta giá trị trung bình là 
1.49 và độ lệch tiêu chuẩn là s2 = 0.8. Tìm khoảng tin cậy 95% cho hiệu BA mm - , giả sử rằng hai 
tổng thể có phân phối chuẩn và có phương sai khác nhau nhưng chưa biết. 
Giải 
+ Ước lượng điểm cho BA mm - là 3.84 – 1.49 = 2.35. 
+ 
( )
( ) ( )
( ) 3.16
]11/)12/8.0[(]14/)15/07.3[(
12/8.015/07.3
)]1/(/[)]1/(/[
//
2222
222
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1 »
+
+
=
-+-
+
=
nnsnns
nsns
u 
làm tròn thành 17. 
+ Với α = 0.05 và bậc tự do là 17, tra bảng A.4 ta được t0.025 = 2.110. 
Ta được khoảng tin cậy 95% cho BA mm - là 
12
8.0
15
07.3110.235.2
12
8.0
15
07.3110.235.2
2222
++<-<+- BA mm 
Thu gọn ta được 
135.4565.0 <-< BA mm 
 Như vậy, với độ tin cậy 95% ta cho rằng hiệu BA mm - nằm trong khoảng (0.565 , 4.135 ). 
Các ý chính của Bài giảng tuần 9 
+ Ước lượng điểm 
+ Ước lượng khoảng: Ước lượng một trung bình, ước lượng hiệu hai trung bình.