Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên - Phan Trung Hiếu

 sai đặc trưng cho độ ổn định
của năng suất.
45
5.5. Độ lệch chuẩn: ( ) XX 
2
X XVar(X)  
Ví dụ 17: Năng suất của 2 máy tương ứng là 
các biến ngẫu nhiên X, Y (sản phẩm/phút) có 
phân phối xác suất
Nếu phải chọn mua một trong hai máy này, ta
nên chọn mua máy nào?
X 1 2 3 4
P 0,3 0,1 0,5 0,1
Y 1 3 4 5
P 0,55 0,05 0,3 0,1
Giải
-Xét năng suất trung bình của mỗi máy:
E(X) 1 0,3 2 0,1 3 0,5 4 0,1 2,4        
E(Y) 1 0,55 3 0,05 4 0,3 5 0,1 2,4        
E(X) E(Y). 
-Xét độ ổn định của mỗi máy:
2 2 2 2 2E(X ) 1 0,3 2 0,1 3 0,5 4 0,1 6,8        
2 2 2 2 2E(Y ) 1 0,55 3 0,05 4 0,3 5 0,1 8,3        
 22Var(X) E(X ) E(X) 1,04.   
 22Var(Y) E(Y ) E(Y) 2,54.   
Var(Y) Var(X)  , nghĩa là năng suất của X ổn định
hơn của Y. Vậy, chọn máy X.
47
Ví dụ 16: Trọng lượng X(kg) của một loại sản 
phẩm là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:
Tính trọng lượng trung bình và độ lệch tiêu
chuẩn của X.
23 ( 1) khi [2,3]
( ) 16
0 khi [2,3]
x x
f x
x
  
 
 
48
Giải
3
2
2
3E(X) ( ) ( 1) 2,5781( ).
16
xf x dx x x dx kg


    
3
2 2 2 2
2
3E(X ) ( ) ( 1) 6,725.
16
x f x dx x x dx


    
 22 2Var(X) E(X ) E(X) 0,0784 ( ).kg  
(X) Var(X) 0, 28 ( ).kg  
9/30/2019
9
49
VI. Định nghĩa BNN n chiều:
Biến ngẫu nhiên n chiều là một bộ gồm n biến
ngẫu nhiên.
Ký hiệu: 
1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n
trong đó là các BNN. 1 2 3X ,X ,X ,...,Xn
Ví dụ 17:
V = (X,Y): biến ngẫu nhiên 2 chiều. 
V = (X, Y, Z): biến ngẫu nhiên 3 chiều. 
50
Ví dụ 18: Một máy sản xuất một loại sản
phẩm. Nếu kích thước của sản phẩm được đo
bằng chiều dài X và chiều rộng Y, thì ta có
biến ngẫu nhiên 2 chiều: V = (X, Y). Nếu tính
thêm cả chiều cao Z nữa thì ta có biến ngẫu
nhiên 3 chiều: W = (X, Y, Z).
Ví dụ 19: Xét một công ty tư nhân với hai chỉ
tiêu là doanh thu và chi phí quảng cáo. Gọi
X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo thì
V = (X, Y) tạo nên một biến ngẫu nhiên 2
chiều.
51
Chú ý:
1 2 3X ,X ,X ,...,Xn-Nếu tất cả đều là BNN rời rạc 
thì là BNN rời rạc. 1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n
1 2 3X ,X ,X ,...,Xn-Nếu tất cả đều là BNN liên tục 
thì là BNN liên tục. 1 2 3V (X ,X ,X ,...,X )n
-Ta không xét trường hợp vừa có thành phần rời
rạc vừa có thành phần liên tục.
52
VII. BNN 2 chiều rời rạc: 
7.1. Bảng phân phối xác suất của V = (X,Y)
(Bảng phân phối xác suất đồng thời của X
và Y):
Giả sử  1 2 1 2X , ,..., ( ... )n nx x x x x x   
 1 2 1 2Y , ,..., ( ... )n ny y y y y y   
Bảng phân phối xác suất của đồng thời của X và Y:
53
Y
X y1 y2 y3  yn
x1 p11 p12 p13  p1n
x2 p21 p22 p23 ... p2n
x3 p31 p32 p33 ... p3n
...
xm pm1 pm2 pm3 ... pmn
    
trong đó  P X ,Y :ij i jp x y   Xác suất để 
X=xi và Y=yj 54
Chú ý:
 X và Y độc lập khi và chỉ khi 
P(X , Y ) P(X ) P(Y )i j i jx y x y    .
,i j

1 1
1.
m n
ij
i j
p
 

9/30/2019
10
55
7.2. Hàm mật độ đồng thời của V=(X,Y):
Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của
V=(X,Y). Khi đó, hàm mật độ đồng thời là:
khi ( , ) ( , )
( , )
0 khi ( , ) ( , ), ,
ij i j
i j
p x y x y
f x y
x y x y i j

 
 
56
Ví dụ 20: Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập có 
bảng phân phối xác suất như sau
X 1 2 3
P 1/4 1/3 5/12
Y -2 -1
P 1/3 2/3
a) Hãy lập bảng phân phối đồng thời của X và Y.
b) Tính xác suất P(X > Y+3).
57
Giải
Do X và Y độc lập nên
P(X 1, Y 2)   
P(X 1, Y 1)   
P(X 2,Y 2)   
X
Y
1
2
3
-2 -1
p11 p12
p21
X
P 1/4 1/3 5/12
Y
P 1/3 2/3
1 2 3
-2 -1
1 1 1P(X 1).P(Y 2)
4 3 12
     
1 2 1P(X 1).P(Y 1)
4 3 6
     
1 1 1P(X 2).P(Y 2)
3 3 9
     
a)
58
P(X 2,Y 1)   
P(X 3,Y 2)   
P(X 3, Y 1)   
X
Y
1
2
3
-2 -1
p11 p12
p21 p22
p31 p32
X
P 1/4 1/3 5/12
Y
P 1/3 2/3
1 2 3
-2 -1
1 2 2P(X 2).P(Y 1)
3 3 9
     
5 1 5P(X 3).P(Y 2)
12 3 36
     
5 2 5P(X 3).P(Y 1)
12 3 18
     
59
Y
X -2 -1
1 1/12 1/6
2 1/9 2/9
3 5/36 5/18
b) P(X > Y+3)=
=1/9 + 5/36 + 5/18
=19/36.
P(X=2,Y=-2) + P(X=3,Y=-2) 
+ P(X=3,Y=-1)
60
7.3. Bảng phân phối lề (phân phối biên) của X,
của Y:
Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của
V=(X,Y). Khi đó, để lâp bảng phân phối của
X, của Y như sau:
Bước 1: Nhìn vào bảng phân phối của V, ta sẽ
biết được các giá trị mà X, Y nhận được.
Bước 2: Tính các xác suất tương ứng.
9/30/2019
11
61
Y
X y1 y2 y3  yn
x1 p11 p12 p13  p1n
x2 p21 p22 p23 ... p2n
x3 p31 p32 p33 ... p3n
...
xm pm1 pm2 pm3 ... pmn
PX
p1
p2
p3
pm
    
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + +
=
=

PY p1 p2 p3  pn
+
+
+ + + +
+++
| |
+ +
| | | | | || |
+
62
Ví dụ 21: Cho bảng phân phối xác suất đồng 
thời của V=(X,Y) như sau
Y
X 0 1
-1 0,1 0,06
0 0,3 0,18
1 0,2 0,16
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, của Y?
b) Tính P(X 0,Y 0). 
63
Giải
Y
X 0 1
-1 0,1 0,06
0 0,3 0,18
1 0,2 0,16
X -1 0 1
PX
Y 0 1
PY
a) Bảng phân phối xác suất của X, của Y:
PX
PY
0,16
0,16
0,48
0,48 0,36
0,36
0,6
0,6
0,4
0,4
64
Y
X 0 1
-1 0,1 0,06
0 0,3 0,18
1 0,2 0,16
b) Tính P(X 0,Y 0) 
P(X 0,Y 0) 
 P (X 0,Y 1) (X 1,Y 1)     
P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 1)     
0,18 0,16 0,34.  
65
7.4. Phân phối có điều kiện:
P(X | Y):Xác suất để X xảy ra khi biết Y đã xảy ra.
P(X , Y )
P(X | )
P( )
P(X , Y )
P(Y | )
P( )
i j
i
i j
j
x y
x
x y
y
 
 
 
 
Y
Y
X
X
j
j
i
i
y
y
x
x




66
Bảng phân phối có điều kiện của X khi Y=yj:
X x1  xm
P(X |Y=yj) P(X=x1|Y=yj)  P(X=xm|Y=yj)
Bảng phân phối có điều kiện của Y khi X=xi:
Y y1  yn
P(Y | X=xi) P(Y=y1|X=xi)  P(Y=yn|X=xi)
9/30/2019
12
67
Ví dụ 22: Một hộp có 3 bi đỏ, 4 bi trắng và 5 bi
vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả từ hộp. Gọi X, Y
lần lượt là số bi đỏ, số bi vàng có trong 3 bi được
chọn.
a) Lập bảng phân phối đồng thời của X và Y.
b) Tìm các phân phối biên của X và của Y.
c) Tìm phân phối của số bi đỏ biết số bi vàng đã
chọn được là 1.
VIII. BNN 2 chiều liên tục: 
Sinh viên tự nghiên cứu.

68
IX. Hàm của các BNN: 
69
9.1. Trường hợp 1 chiều Y = f(X): 
2Y X - 3X 2 Ví dụ: là một hàm theo BNN X.
Bảng phân phối xác suất của Y = f(X):
Cho bảng phân phối xác suất của X
X x1 x2  xn
P p1 p2  pn
Cần tìm bảng phân phối xác suất của Y = f(X)?
70
Bước 1: Tìm các giá trị cho Y:
X x1 x2  xn
Y=f(X) y1=f(x1) y2=f(x2)  yn=f(xn)
Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Y:
( )
P(Y ) P(X )
i i
i i
f x y
y x

  
71
Ví dụ 23: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng
phân phối xác suất như sau
X -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,3 0,4
Hãy lập bảng phân phối xác suất của 
2Y X - 2X 3. 
72
Giải
X -1 0 1 2
2Y X - 2X 3 
P(Y 2) 
P(X 0) P(X 2)  
P(X 1)  
P(X 1) 
P(Y 3) 
P(Y 6) 
X -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,3 0,4
0,2 0, 4 0,6  
6 3 2 3
0,3
0,1
Y {2,3,6}. 
Vậy, bảng PPXS của Y là Y 2 3 6P 0,3 0,6 0,1
9/30/2019
13
73
Ví dụ 24: Theo tài liệu thống kê về tai nạn
giao thông ở một thành phố, người ta thấy xác
suất một xe máy bị tai nạn trong 1 năm là
0,0045. Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả
các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số
tiền là 50.000 đồng/xe/năm và số tiền bảo
hiểm trung bình cho 1 vụ tai nạn xe máy là 5
triệu đồng. Biết chi phí quản lý bảo hiểm
chiếm 25% số tiền bán bảo hiểm. Hãy tính lợi
nhuận mà công ty bảo hiểm kỳ vọng thu được
đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm.
74
9.2. Trường hợp 2 chiều Z = f(X,Y): 
2Z X - 3XY 2Y Ví dụ: là một hàm theo hai 
biến ngẫu nhiên X và Y.
Bảng phân phối xác suất của Z = f(X,Y):
Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
Cần tìm bảng phân phối xác suất của Z= f(X,Y)?
75
Bước 1: Tìm các giá trị cho Z:
Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Z:
( , )
P(Z ) P(X , Y )
i j k
k i j
f x y z
z x y

   
76
Ví dụ 25: Cho bảng phân phối xác suất đồng
thời của X và Y
Y
X -1 0 1
0 0,1 0,2 0,3
1 0,2 0,1 0,1
Tìm bảng phân phối xác suất của
Z X - Y 1. 
77
Giải Z X - Y 1 
Z Y
X -1 0 1
0
1
2 1 0
3 2 1
P(Z 0) 
P(Z 1) 
P(Z 2) 
P(X 0,Y 1)  
Y
X -1 0 1
0 0,1 0,2 0,3
1 0,2 0,1 0,1
0,3
P(X 0,Y 0) P(X 1, Y 1)    
0,2 0,1 0,3  
P(X 0,Y 1) P(X 1, Y 0)     
0,1 0,1 0,2  
Z {0,1, 2,3}. 
P(Z 3)  P(X 1, Y 1)    0,2
78
Giải
Z 0 1 2 3
P 0,3 0,3 0,2 0,2
Vậy, bảng PPXS của Z là
9/30/2019
14
X. Các tham số đặc trưng: 
79
10.1. Kì vọng của biến ngẫu nhiên 2 chiều:
Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y). Kì vọng
của V là
  2E(V) E(X),E(Y) 
10.2. Kì vọng của hàm 1 biến ngẫu nhiên
Y=f(X) với X rời rạc :
E(Y) E( (X)) ( )i i
i
f f x p 
V. Các tham số đặc trưng: 
80
10.3. Kì vọng của hàm 2 biến ngẫu nhiên
Z=f(X,Y) với (X,Y) rời rạc:
1 1
E(Z) E( (X,Y)) ( , )
m n
i j ij
i j
f f x y p
 
 
10.4. Kì vọng có điều kiện:
1
P(X ,Y )
E(X | Y )
P(Y )
m
i j
j i
i j
x y
y x
y
 
  

81
1
P(X ,Y )
E(Y | X )
P(X )
n
i j
i j
j i
x y
x y
x
 
  

10.5. Covarian:
Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y). Ta gọi
covarian của V là
  cov(X,Y) E X E(X) Y E(Y)
E(XY) E(X)E(Y)
    
 
82
10.6. Hệ số tương quan:
Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều V=(X,Y). Ta gọi
hệ số tương quan của V là
X Y
cov(X,Y)(X,Y)
.

 

Chú ý:
1 1
E(XY)
m n
i j ij
i j
x y p
 

83
Chú ý:
(X,Y) 1. 
 2 2Var( X Y) Var(X) Var(Y) 2 cov(X,Y).a b a b ab   
 X và Y độc lập cov(X,Y) 0. 
 X và Y phụ thuộc lẫn nhau.cov(X,Y) 0 
84
Ví dụ 26: Thống kê dân số của một vùng theo 2 chỉ
tiêu: giới tính (X), học vấn (Y) được kết quả cho trong
bảng Y
X 
Thất học 
0
Phổ thông
1
Đại học
2
Nam: 0 0,1 0,25 0,16
Nữ: 1 0,15 0,22 0,12
a) Lập bảng phân phối xác suất của học vấn, của giới tính. 
b) Học vấn có độc lập với giới tính không?
c) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 1 người thì người đó
không bị thất học.
d) Lập bảng phân phối xác suất học vấn của nữ, tính
trung bình học vấn của nữ.
e) Tính hệ số tương quan giữa học vấn và giới tính.