Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

 7/8 
5.3.2. Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function) 
Hàm phân phối tích lũy còn được gọi là hàm phân tích hay hàm phân phối xác suất 
a) Định nghĩa 
Hàm phân phối tích lũy, FX(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X thể hiện xác suất để X 
không vượt quá giá trị x. FX(x) là hàm của x. 
Fx(x) = P(X ≤ x) 
b) 3.3.2.2. Tính chất 
9 Fx(x) = ∫ ∞−x X dx)x(f với fX(x) là hàm mật độ xác suất. 
9 FX(x)dx = f ’X(x) = dFX(x)/dx 
9 FX(x) là hàm không giảm => FX(x + ∆x) ≥ FX(x) 
9 0 ≤ FX(x) ≤ 1 
9 F(-∞ ) = 0 
9 F(+∞ ) =1 
9 P (a < X < b) = FX(b) – FX(a) 
Cao Hào Thi 55 
x
y
FX(x)1
-1
FX(x)
Thí dụ 
Biến ngẫu nhiên X được cho bởi hàm phân phối 
FX(x) = 
0
1 2
1
( ) /x −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Tính xác suất để biến ngẫu nhiên X nằm trong khoảng (1.5, 2.5) và khoảng (2.5, 3.5) 
Giải 
 P(1,5 < X < 2,5) = F(2,5) - F(1,5) 
 = (2,5 - 1)/2 - (1,5 -1)/2 = 0,5 
 P(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) - F(2,5) 
 = 1 - (2,5 -1)/2 = 0,25 
5.3.3. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục 
a) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 
Kỳ vọng E(X) của biến ngẫu nhiên liên tục X được định nghĩa như sau : 
E(X) = dx)x(xfx∫∞∞− 
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên được gọi là số trung bình ký hiệu là µx 
E(X) = µx 
b) Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên 
dx)x(f)x(g)]x(g[E X∫∞∞−= 
Nếu x <1 
Nếu 1 ≤ x ≤ 3 
Nếu x >1 
Cao Hào Thi 56 
5.3.4. Phương sai 
 σ² = E[X - µx)²] 
 σ² = −∞
∞∫ [x - µx)²]fX(x)dx 
hay 
σ² = E(X²) - µ²x 
5.3.5. Độ lệch chuẩn : 
σ² = 2xσ 
5.3.6. Hàm phân phối chuẩn (The Normal Distribution) 
a) Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn 
Nếu hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng 
 fX (x) = 
2
2
2
22
1 σ
µ−−
σΠ
)x(
e 
Với - ∞ < µ < +∞ và 0 < σ² < +∞ 
Thì biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối chuẩn. 
b) Tính chất của phân phối chuẩn 
Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với các tham số µ và σ². Ta có 
các tính chất sau 
a. Số trung bình của biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn là µ. 
 E(X) = µ 
b. Phương sai của biến ngẫu nhiên X là σ² 
 Var(X) = E[(X - µ)²] = σ² 
c. Đường cong của hàm mật độ xác suất có dạng hình chuông đối xứng qua trị số trung 
bình µ và được gọi là đường cong chuẩn (normal curve) 
Cao Hào Thi 57 
µ+σµ−σ µ
• Phân phối chuẩn có phương sai giống nhau nhưng số trung bình khác nhau 
µ1 < µ2 < µ3 
µ3µ1 µ2
• Phân phối chuẩn có số trung bình giống nhau nhưng phương sai khác nhau 
σ21 < σ22 < σ23 
σ22
µ
σ32
σ12
d. Ký hiệu: Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình là µ và 
phương sai là σ², ta ký hiệu 
 X ~ N (µ,σ²) 
Cao Hào Thi 58 
c) Hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn (Cumulative Distribution Function of 
Normal Distribution) 
 Định nghĩa 
Cho X ~ N (µ,σ²). Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối 
chuẩn được định nghĩa như sau : 
 FX(x) = P(X<x) = dxe
x )x(
∫
∞−
σ
µ−−
πσ
2
2
2
22
1 
Thí dụ 
Diện tích S = ∫
∞−
xo
X dx)x(f FX(xo) = P (X≤xo) = S 
x
µ x0
Diện tích S = FX(x)
x
F(x)
0 xo
FX(xo)
P[a<X<b] = ∫
b
a
X dxxf )( = FX(b) - FX(a) 
x
µ b
Diện tích S = FX(x)
a
x
F(x)
0 a b
FX(b)
FX(a)
5.3.7. Phân phối chuẩn chuẩn hoá (Standard Normal Distribution) 
a) Định nghĩa 
Phân phối chuẩn chuẩn hóa là phân phối chuẩn có số trung bình là 0 (zero) và 
phương sai là 1. 
 Ghi chú 
• Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa được gọi là biến ngẫu nhiên 
chẩn hóa (standard normal variable) và được ký hiệu là Z. Z ~ N(0,1) 
Cao Hào Thi 59 
• Đường cong của hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn chuẩn hóa gọi là đường 
cong chuẩn chuẩn hóa (standard normal variable) 
x
µ = 0
σ2 = 1
f(x)
Tung độ của 1 điểm bất kỳ trên đường cong chuẩn sẽ được xác định từ phương trình của 
hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn. 
fX(x) = 
2
2
2
22
1 σ
µ−−
πσ
)x(
e 
Với µ = 0 , σ = 1 và x = z ⇒ 2
2
2
0
2
1)(
z
exf
−= πσ 
• Giá trị của hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn chuẩn hóa (cũng bằng diện 
tích nằm dưới đường cong chuẩn) được lập thành bảng và được cho sẵn trong các phụ 
lục của sách thống kê. Các bảng này cho giá trị của 
FZ(z) = P (Z ≤ z) = ∫
∞−
z
Z dz)z(f 
Z
0
f(x)
Ζ 
Một số bảng lập sẵn, chỉ cho ta diện tích nằm dưới đường cong chuẩn từ 0 đến z. 
Z
0
f(x)
Ζ 
Dựa vào bảng này ta có thể tính được xác suất để cho biến ngẫu nhiên Z nằm trong 
khoảng nào đó. Cụ thể. 
Cao Hào Thi 60 
 P(Z b) 
b) Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên (Standardization of Variable) 
Nếu biến ngẫu nhiên X có số trung bình là µ và phương sai là σ², thì biến ngẫu 
nhiên Z = (X-µ)/σ sẽ có số trung trung bình là 0 và phương sai là 1. 
Z được gọi là biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa (standardized). 
Nếu X tuân theo phân phối chuẩn thì Z tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa và Z 
được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa (Standard normal variable). Khi đó : 
 P(a < X < b) = P[(a-µ)/σ < Z < (b-µ)/σ 
X
µ+σµ−σ µ µ+3σµ−3σ Ζ
−3 0 1 2 3−2 −1
µ−2σ µ+2σ
Thí dụ 
Cho Z ~N(0,1). Tìm xác suất để giá trị của Z 
a) Nhỏ hơn - 1,25 
b) Nằm trong khoảng (-0,50 , 0,75) 
c) Lớn hơn 1 
Giải 
a. P(Z ≤ - 1,25) = FZ (-1,25) 
 = 1 - FZ(1,25) 
 = 1 - 0,8944 
 = 1 - 0,1056 
Ghi chú 
FZ(-zo) = 1 – FZ (zo) 
b. P(-0,50 ≤ Z ≤0,75) 
= FZ (0,75) – FZ(-0,50) 
= FZ(0,75) - [1 – FZ(0,50)] 
= 0,7734 - [1 - 0,6915)] 
0
f(x)
1.25−1.25
Z
0
f(x)
0.75−0.5
Cao Hào Thi 61 
= 0,4649 
c. P(Z > 1) = 1 - P(Z ≤ 1) 
 = 1 – FZ(1) 
 = 1 – 0,8413 
 = 0,1587 
Thí dụ 
Cho X ~ N(15,16). Tìm xác suất để X có giá trị lớn hơn 18 
Giải 
P (X >18) = P(Z> [(18 -µ)/σ] = P(Z> [(18 - 15)/4] = P(Z> 0,75) 
 = 1 - P(Z<0,75) = 1 – FZ(0,75) 
 = 1 – 0,7734 
P(X>18) = 0,2266 
Thí du 
Nếu X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình là 3 và độ lệch 
chuẩn là 2. Tìm P(4<X<6) 
Giải 
P (4 <X<6) = P(4-3)/2 < Z(6 - 3)/2] 
 = P(0,5< Z<1,5) = FZ(1,5)- FZ(0,5) 
 = 0,9332 – 0,6915 = 0,2417 
Thí dụ 
Tìm giá trị của b biết rằng P (-b < Z < b) = 0,9010 
Giải 
Z
0
f(x)
1.65 
FZ(b) = 1 - (1-0,9010)/2 = 1 – 0,0990/2 = 1 - 0,0495 
FZ(b) = 0,9505 ==> b = 1,65 
5.3.8. Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối nhị thức 
Z
0
f(x)
0.75−0.5
Cao Hào Thi 62 
 (Normal Approximaton to the Binomial Distribution) 
Gọi X là số lần thành công trong những phép thử và xác suất thành công trong mỗi phép 
thử là p 
Nếu n lớn và p không quá gần 0 hay quá gần 1 thì ta có thể dùng phân phối chuẩn để tính 
toán gần đúng cho phân phối nhị thức. 
Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức được chuẩn hóa theo công thức 
Z = 
)p(np
npX
−
−
1
Với số trung bình của phân phối nhị thức µ = np và độ lệch chuẩn )p(np −=σ 1 
Khi đó : 
P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(
)p(np
npbZ
)p(np
npa
−
−≤≤−
−
11
) Điều kiện n ≥ 50 
Nếu kể đến sự hiệu chỉnh liên tục (continuity correction) 
P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(
)1(
5,0
)1(
5,0
pnp
npbZ
pnp
npa
−
−+≤≤−
−− Điều kiện 20≤ n ≤ 50 
P(X=a) = P(a-0,5 ≤ X ≤ a+0,5) ≈ (
)1(
5,0
)1(
5,0
pnp
npaZ
pnp
npa
−
−+≤≤−
−− 
5.3.9. Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối Poisson 
Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson có số trung bình là λ. 
Nếu λ lớn thì ta có thể dùng phân phối chuẩn để tính toán gần đúng cho phân phối 
Poisson. Biến ngẫu nhiên X được chuẩn hóa theo công thức. 
 Z = λ
λ−X 
X 
Số lần thành công 
Px(x) 
Cao Hào Thi 63 
 P(a≤ X ≤ b) ≈ P )5,05,0( λ
λ
λ
λ −+≤≤−− bZa 
 P(X=a) ≈ P (a-0,5 ≤ X ≤ a+0,5) 
Thí dụ 
Một người bán hàng đi chào hàng với 100 khách hàng. Theo kinh nghiệm hy vọng bán 
được hàng cho mỗi một khách hàng là 40%. Tìm xác suất để số khách hàng sẽ mua hàng 
nằm trong khoảng 45 đến 50. 
Giải 
Gọi X là số khách hàng sẽ mua hàng X tuân theo luật phân phối nhị thức với 
µ = np = 100 * 4 = 40, độ lệch σ = 246,0*4,0*100)1( ==− pnp 
Dùng cách tính gần đúng của phân phối chuẩn 
 P(45 ≤ X ≤ 50) = P[
24
4050
24
4045 −≤≤− Z ] 
 = P[1,02≤ Z ≤ 2,04] 
 = FZ(2,04) – FZ(1,02) 
 = 0,9793 - 0,8461 
 = 0,1332 
Nếu kể đến sự hiệu chỉnh liên tục. 
 P(45 ≤ X ≤ 50) = P[
24
40550
24
4045 −≤≤− .Z ] 
 = P[0,92≤ Z ≤ 2,14] 
 = FZ(2,04) – FZ(1,02) 
 = 0,9838 - 0,8212 
 = 0,1626 
Ghi chú : Nếu tính trực tiếp bằng phân phối nhị thức. 
P(45≤X≤50) = PX(45) + PX(46) + PX(46) + PX(47) + PX(48) + PX(49) + PX(50) 
Các bảng nhị thức ứng với n ≤ 20. 
Thí dụ 
Một nhà máy sản xuất thử một loại sản phẩm mới. Mỗi sản phẩm sản xuất có xác suất bị 
hư là 0,16. Tìm xác suất để có đúng 20 sản phẩm bị hư trong 80 sản phẩm. 
Giải 
Gọi X là số sản phẩm bị hư. X tuân thủ theo luật phân phối nhị thức với. 
Cao Hào Thi 64 
µ = np = 80 * 0,16 = 12,8 
σ = 279,384,0*16,0*80)1( ==− pnp 
P(X = 20 ) = P(19,5 <X<20,5) 
= P(19,5-12,8)/3,279 <Z<(20,5-12,8)/3,279 
= P(2,04 <Z<2,35) 
= FZ (2,35)-FZ (2,05) = 0,9906 - 0,9793 
P(X = 20 ) = 0,113 
Ghi chú : 
Lời giải chính xác : P(X = 20 ) = C
80
20
P20 q80-20 = 0,122 
5.3.10. Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với tỉ số của số lần thành công của biến 
ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức 
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong n phép thử. 
Gọi f = X/n là tỉ số của số lần thành công. 
Gọi p là xác suất thành công của 1 lần thử. 
• Kỳ vọng của f 
 E(f) = p 
• Phương sai của f 
 2fσ = p(1-p)/n 
• Độ lệch chuẩn của f 
 σf = 
n
)p(p
f
−=σ 12 
• Sự chuẩn hóa của biến ngẫu nhiên f 
 Z = 
n
)p(p
pf
−
−
1
Thí dụ 
Giả sử n = 100, p = 0,36. Tìm xác suất sao cho số f của số lần thành công trong n phép 
thử nằm trong khoảng 0,24 và 0,42. 
Giải 
Cao Hào Thi 65 
E(f) = p = 0,36 
Var(f) = 2fσ = p(1-p)/n = 0,36 * 0,64/100 = 0,002304 
σf = 2fσ = 0,048 
Biến ngẫu nhiên f được chuẩn hóa dưới dạng 
Z = (f - 0,36)/0,048 
P(0,24 ≤ f ≤ 0,42) = P[(0,24 - 0,36)/0,048 ≤ (f -0,36)/0,048 ≤ (0,42 - 0,36)/0,048] 
 = P(-2,5 ≤ Z ≤ 1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8881 ≈ 0,89 
Ghi chú 
P(0,24 ≤ f ≤ 0,42) = P(24 ≤ X ≤ 42)