Bài giảng Toán 5 Xác suất & Thống kê - Tuần 5 - Nguyễn Văn Đắc

là E[u(X)] ≠ u[E(X)]. 
Ví dụ 3.6 Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ là 
2
, khi ( 1;2),( ) 3
0, khi ( 1;2) .
x xf x
x
ì
Î -ï= í
ï Ï -î
Hãy tìm kỳ vọng của g(X) = 4X + 3. 
Giải Theo Định lí 3.2, ta có 
22 2 3 2
1 1
(4 3) 1(4 3) (4 3 ) 8.
3 3
x xE X dx x x dx
- -
+
+ = = + =ò ò
Kỳ vọng của hàm hai biến ngẫu nhiên một chiều
 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời là f(x,y) và v = v(x,y) là hàm 
hai biến xác định trên tập giá trị của (X,Y). Ta thiết lập được biến ngẫu nhiên một chiều v(X,Y). 
 Để tính kỳ vọng của v(X,Y), ta không cần phải tìm hàm mật độ của nó mà có thể tính dựa vào 
định lý sau. 
Định lý 3.3 
 Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời là f(x,y). Trung bình hay 
giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên v(X,Y) là 
åå==
i j
jijiYXv yxfyxvYXvE ),(),()],([),(m 
nếu X và Y là rời rạc, và 
ò ò
+¥
¥-
+¥
¥-
== dxdyyxfyxvYXvEYXv ),(),()],([),(m 
nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục. 
Ví dụ 3.7 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với tập giá trị {1, 2, 3}, biến ngẫu nhiên Y với tập giá trị 
là {1, 2, 3, 4} và Bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y như sau: 
 Y 
X 
1 2 3 4 
1 0.1 0 0.1 0 
2 0.3 0 0.1 0.2 
3 0 0.2 0 0 
Tìm kỳ vọng của X + Y, XY? 
Giải 
+ E(X + Y) åå +=
i j
jiji yxfyx ),()( 
 = (1+1)(0.1) + (1+2)0 +(1+3)(0.1) + (1+4)0 + (2+1)(0.3) + (2+2)0 +(2+3)(0.1) + 
(2+4)(0.2) + (3+1)0 + (3+2)(0.2) +(3+3)0 + (3+4)0 
 = 4.2. 
+ E(XY) = (1×1)(0.1) + (1×2)0 +(1×3)(0.1) + (1×4)0 + (2×1)(0.3) + (2×2)0 +(2×3)(0.1) + 
(2×4)(0.2) + (3×1)0 + (3×2)(0.2) +(3×3)0 + (3×4)0 
 = 4.4. 
Ví dụ 3.8 Chọn ngẫu nhiên một điểm (X, Y) trong hình vuông [0; 1]×[0; 1] trên mặt phẳng toạ 
độ. Hàm mật độ đồng thời của X và Y là 
î
í
ì
´Ï
´Î
=
]1;0[]1;0[),(khi0
]1;0[]1;0[),(khi1
),(
yx
yx
yxf 
Tìm kỳ vọng của X2 + Y2. 
Giải Theo Định lý 3.3, 
.
3
2
1)(),()()(
1
0
1
0
222222
=
+=+=+ ò òò ò
+¥
¥-
+¥
¥-
dxdyyxdxdyyxfyxYXE
Trường hợp đặc biệt của Định lý trên: 
+ Nếu v(X, Y) = X thì 
ååå ===
i
ii
i j
jii xgxyxfxXEYXvE )(),()()],([
trong trường hợp rời rạc, 
và 
ò òò
+¥
¥-
+¥
¥-
+¥
¥-
=== dxxxgdxdyyxxfXEYXvE )(),()()],([ 
trong trường hợp liên tục. 
+ Tương tự cho v(X,Y) = Y. 
Các tính chất của kỳ vọng 
Sau đây, ta sẽ tìm hiểu thêm một số tính chất có nhiều tiện ích trong việc đơn giản hoá các tính 
toán giá trị trung bình xuất hiện trong những chương tiếp theo. Các kết quả sau đây đều đúng cho 
cả biến ngẫu nhiên liên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc. Việc chứng minh dựa vào các tính chất 
của tổng và tích phân, ta bỏ qua phép chứng minh các tính chất sau. 
Định lí 3.4 
Cho a, b là hai số thực, X là biến ngẫu nhiên một chiều và u(x), v(x) là các hàm một biến xác 
định trên tập giá trị của X. Ta có: 
1) E(aX + b) = aE(X) + b; 
2) E[u(X) ± v(X)] = E[u(X)] ± E[v(X)] 
Hệ quả 
 E(aX) = aE(X); E(b) = b. 
Ví dụ 3.9 Áp dụng Định lí 3.4 cho biến ngẫu nhiên rời rạc g(X) = 2X -1, làm lại Ví dụ 3.5. 
Giải Theo Định lí 3.4, ta có thể viết E(2X – 1) = 2E(X) -1, 
Do 
9
4
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 41(4) (5) (6) (7) (8) (9) .
12 12 4 4 6 6 6
x
E X xf xm
=
= =
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö= + + + + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
å
Nên 2 1
41(2) 1 12,67USD
6X
m -
æ ö= - =ç ÷
è ø
. 
Ví dụ 3.10 Nhu cầu hàng tuần về một loại đồ uống nào đó, tính theo đơn vị 1000 lít, tại một loạt 
cửa hàng là một biến ngẫu nhiên liên tục g(X) = X2 + X – 2, trong đó X có hàm mật độ là 
2( 1), (1;2)
( )
0, (1;2)
x x
f x
x
- Îì
= í Ïî
Hãy tìm giá trị trung bình cho nhu cầu hàng tuần của loại đồ uống nói trên. 
Giải Theo Định lí 3.4, ta được 
2 2( 2) ( ) ( ) (2).E X X E X E X E+ - = + - 
Ta có E(2) = 2 
2 2 2
1 1
5( ) 2 ( 1) 2 ( )
3
E X x x dx x x dx= - = - =ò ò 
và 
2 22 2 3 2
1 1
17( ) 2 ( 1) 2 ( )
6
E X x x dx x x dx= - = - =ò ò . 
Như vậy 2 17 5 5( 2) 2
6 3 2
E X X+ - = + - = 
Từ đó ta thấy rằng nhu cầu trung bình hàng tuần về loại đồ uống nói trên tại các cửa hàng đang 
xét là 2500 lít. 
Giả sử rằng ta có hai biến ngẫu nhiên X và Y với phân phối xác suất đồng thời f(x,y). Tính chất sẽ 
đề cập dưới đây là rất tiện lợi trong các chương tiếp theo khi xem xét các vấn đề có liên quan đến 
kỳ vọng của một tổng, hiệu và tích của hai hay nhiều biến ngẫu nhiên. 
Định lí 3.5 
Kỳ vọng của tổng hoặc hiệu hai hay nhiều hàm của các biến ngẫu nhiên bằng tổng hoặc hiệu của 
kỳ vọng các hàm. Tức là, 
E[u(X,Y) ± v(X,Y)] = E[u(X,Y)] ± E[v(X,Y)] 
Hệ quả 
 Cho g(X, Y) = X và h(X,Y) = Y, ta được 
( ) ( ) ( ).E X Y E X E Y± = ± 
Định lí 3.6 
Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó 
( ) ( ) ( ).E XY E X E Y= 
Ví dụ 3.11 Tung một lúc hai con xúc sắc cân đối và đồng chất, một con có màu xanh và con còn 
lại có màu đỏ. Gọi X là số chấm xuất hiện trên con màu xanh và Y là số chấm xuất hiện trên con 
màu đỏ. 
Tính E(X + Y), E(XY). 
Giải Phân phối xác suất của X và Y là 
X 1 2 3 4 5 6 
f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
Y 1 2 3 4 5 6 
g(y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
E(X) = E(Y) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)(1/6) = 3.5; 
E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 2(3.5) = 7. 
Do X và Y là độc lập nên E(XY) = E(X)E(Y) = 3.52 =12.25. 
3.2 Phương sai và covariance 
3.2 A Phương sai của một biến ngẫu nhiên 
Mặc dù giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên X là con số qua trọng, cho ta biết nơi tập trung 
phân phối xác suất và đôi khi chúng ta còn dùng làm “đại diện” cho các giá trị của X, thế nhưng 
nó cũng không đem lại nhiều thông tin về phân phối xác suất của X. Chẳng hạn, dựa vào giá trị 
trung bình ta không thấy được sự khác biệt giữa biến ngẫu nhiên X với phân phối phức tạp, có 
E(X) = 2 và biến ngẫu nhiên Y với phân phối đơn giản P(Y = 2) = 1, cũng có E(Y) = 2. Để phân 
biệt được phân phối xác suất của hai biến ngẫu nhiên trong trường hợp này ta phải đưa ra một 
con số để đo sự phân tán của một phân phối. Phương sai của một biến ngẫu nhiên là con số như 
vậy. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. 
Định nghĩa 3.7 
Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f(x) và trung bình là m . Phương sai của X là 
2 2 2[( - ) ] ( - ) ( )
x
E X x f xs m m= = å 
nếu X là rời rạc, và 
2 2 2[( - ) ] ( ) ( )E X x f x dxs m m
+¥
-¥
= = -ò 
nếu X liên tục. Căn bậc hai của phương sai, s , được gọi là độ lệch chuẩn của X. 
Con số x - m trong Định nghĩa 3.7 được gọi là độ lệch của giá trị biến ngẫu nhiên khỏi giá trị 
trung bình. Do ta lấy trung bình của bình phương các độ lệch nên giá trị của 2s nhỏ nếu các giá 
trị của X tập trung quanh giá trị trung bình và 2s sẽ có giá trị lớn trong trường hợp ngược lại. 
Ví dụ 3.12 Gọi X là biến ngẫu nhiên biểu thị số xe ôtô được sử dụng cho mục đích kinh doanh 
chính thức trong một ngày làm việc nào đó. Phân phối xác suất của X tại công ty A là 
 x 1 2 3 
 f(x) 0,3 0,4 0,3 
và tại công ty B là 
 x 0 1 2 3 4 
 f(x) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 
Hãy chỉ ra rằng phương sai của phân phối xác suất tại công ty B lớn hơn so với tại công ty A. 
Giải Tại công ty A, ta tính được 
( ) (1)(0,3) (2)(0,4) (3)(0,3) 2,0E Xm = = + + = 
và khi đó 
( ) ( ) ( )
3
2 2 22 2
1
( 2) ( ) 1 2 (0,3) 2 2 (0, 4) 3 2 (0,3)
0,6.
x
x f xs
=
= - = - + - + -
=
å 
Tại công ty B, ta có 
( )( ) 0 (0,2) (1)(0,1) (2)(0,3) (3)(0,3) (4)(0,1)
2,0
E Xm = = + + + +
=
và khi đó 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
2 2
0
2 2 2 2 2
( 2) ( )
0 2 (0, 2) 1 2 (0,1) 2 2 (0,3) 3 2 (0,3) 4 2 (0,1) 1,6
x
x f xs
=
= -
= - + - + - + - + - =
å
Rõ ràng, phương sai của số ôtô được sử dụng cho những mục đích kinh doanh chính thức tại 
công ty B là lớn hơn công ty A. 
Một công thức tương đương và sử dụng nhiều hơn trong việc tính toán để tìm số 2s , được phát 
biểu trong định lý sau đây. 
Định lí 3.8 
Phương sai của biến ngẫu nhiên X là 
2 2 2( ) .E Xs m= - 
Ví dụ 3.13 Tính phương sai của X tại công ty A trong Ví dụ 3.12 theo Định lý 3.8 
Giải Ta có ( ) (1)(0,3) (2)(0,4) (3)(0,3) 2,0E Xm = = + + = 
 6.4)3.0()3()4.0()2()3.0()1()(
2222 =++=XE 
 Nên 
 6.026.4
22 =-=s 
Ví dụ 3.14 Nhu cầu hàng tuần đối với Pepsi, theo đơn vị 1000 lít, tại một chuỗi các cửa hàng ở 
một địa phương nào đó, là một biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác suất như sau 
2( 1), (0;2)
( )
0, (0;2)
x x
f x
x
- Îì
= í Ïî
Hãy tìm giá trị trung bình và phương sai của X. 
Giải 
2
1
5( ) 2 ( 1)
3
E X x x dxm = = - =ò 
và 
22 2
1
17( ) 2 ( 1)
6
E X x x dx= - =ò 
Do đó 
2
2 17 5 1 .
6 3 18
s æ ö= - =ç ÷
è ø
■ 
Sau đây, ta sẽ đưa ra công thức để tính phương sai hàm của một biến ngẫu nhiên X. 
Định lí 3.9 
Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là f(x). Phương sai của biến ngẫu nhiên u(X) là 
å -=
i
iXuiXu xfxu )(])([
2
)(
2
)( ms 
nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, và 
 ò
+¥
¥-
-= dxxfxu XuXu )(])([
2
)(
2
)( ms 
nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục. 
Ví dụ 3.15 Tính phương sai của biến ngẫu nhiên u(X) = 2X + 3, trong đó X là biến ngẫu nhiên 
với phân phối xác suất như sau 
x 0 1 2 3 
f(x) 
 1
4
 1
8
 1
2
 1
8
Giải 
Trước tiên ta đi tìm giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên u(X) = 2X + 3. Theo Định lí 3.4, 
3
2 3
0
(2 3) (2 3) ( ) 6.X
x
E X x f xm +
=
= + = + =å 
Sử dụng Định lí 3.9, ta có 
2
2 3
3
2
0
12 9) (4 12 9) ( ) 4.
2 2
X 2X+3
2
x
E{[(2X-3)- ] }=E{[(2X-3)-6] }
= E(4X X x x f x
s m+
=
=
- + = - + =å
Các ý chính của Bài giảng tuần 5 
· Kỳ vọng biến ngẫu nhiên một chiều: 
+ Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên một chiều; 
+ Kỳ vọng của hàm một biến ngẫu nhiên một chiều; 
+ Kỳ vọng của hàm hai biến ngẫu nhiên một chiều; 
+ Các tính chất. 
· Phương sai của biến ngẫu nhiên một chiều, phương sai của hàm một biến ngẫu 
nhiên một chiều. 
Bài tập tuần 5 
Bài tập: 4.1 Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên 
5.1 (2.t105) (ĐS: ¾) 5.2 (3.t105) (ĐS: 25) 5.3 (5.t105) (ĐS: 0,88) 
5.4 (7.t105) (ĐS: 500) 5.5 (12.t106) (ĐS: 166,67 $) 5.6(15.t106) (ĐS: 100) 
5.7 (20.t107) (ĐS: 3) 
Bài tập: 4.2 Phương sai 
5.8 (2.t115) (ĐS: 3,04) 5.9 (4.t115) (ĐS: 1 và 1) 5.10 (11.t115) (ĐS: 10 và 
144)