Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

 - NEU – www.mfe.edu.vn 29
A B
Ω
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Mở rộng
▪ Định nghĩa 1.10. Biến cố A được gọi là tích của n
biến cố A1, A2,, An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n
biến cố đó cùng đồng thời xảy ra.
• Ký hiệu: 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 30

 i1A A
n
i
A1
A2
Ω
A1A2A3
A3
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Mở rộng
▪ Định nghĩa 1.11. Các biến cố A1, A2,, An gọi là độc
lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến
cố đó độc lập nhau.
▪ Định nghĩa 1.12. Các biến cố A1, A2,, An gọi là độc
lập toàn phần nếu mỗi biến cố độc lập với mọi tổ
hợp bất kỳ của các biến cố còn lại.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 31
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Mở rộng
▪ Hệ quả: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn
phần bằng tích các xác suất biến cố thành phần
▪ Hệ quả: Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc:
P(A1.A2An) = P(A1).P(A2 | A1)P(An | A1A2An–1)
▪ Ví dụ 1.9: Từ hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, tính
xác suất lấy 4 sản phẩm lần lượt đều là chính phẩm, 
khi có hoàn lại và không hoàn lại.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 32
 
 
 
 
 
1 1
( )
i i
A A
n n
i i
P P
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
Mở rộng
▪ Định nghĩa 1.13. Nhóm n biến cố A1, A2,, An được
gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố
nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau.
▪ Ví dụ 1.10: Tổ có 3 sinh viên, chỉ ra nhóm biến cố
xung khắc từng đôi trong số sau:
A1 = “có đúng 1 nam”, A2 = “có đúng 2 nam”
A3 = “tất cả là nam”, A4 = “có ít nhất 1 nam” 
A5 = “có cả nam và nữ”
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 33
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất
1.7. ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT
▪ Định nghĩa 1.14. Biến cố C được gọi là tổng (union) 
của hai biến cố A và B, nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất
một trong hai biến cố A và B xảy ra.
▪ Ký hiệu C = A + B
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 34
A B
ΩA + B
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. 
Định lý cộng xác suất
▪ Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng xác
suất hai biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
▪ Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc
bằng tổng xác suất của các biến cố đó
P(A + B) = P(A) + P(B)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 35
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Mở rộng
▪ Định nghĩa 1.15. Biến cố A được gọi là tổng của n
biến cố A1, A2,, An nếu A xảy ra khi có ít nhất một
trong n biến cố ấy xảy ra.
• Ký hiệu:
▪ Hệ quả: Xác suất của tổng các biến cố xung khắc
từng đôi A1, A2,, An bằng tổng xác suất của các biến
cố đó:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 36

 i
1
A A
n
i
 
 
 
 
 
1 1
( )A A
n n
i i
i i
P P
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.11
▪ Một dự án cần qua hai vòng thẩm định độc lập nhau, 
xác suất dự án bị trượt ở hai vòng lần lượt là 0,3 và
0,4. Dự án bị loại nếu có vòng đánh trượt. 
▪ (a) Tính xác suất dự án bị loại
▪ (b) Xác suất dự án được thông qua bằng bao nhiêu?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 37
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Nhóm đầy đủ
▪ Định nghĩa 1.16. Các biến cố A1, A2,, An được gọi
là một nhóm đầy đủ (universal set, partitions) các
biến cố nếu trong kết quả phép thử sẽ xảy ra một và
chỉ một trong các biến cố đó
▪ Hệ quả: Nếu các biến cố A1, A2,, An tạo nên một
nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất của chúng
bằng 1
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 38


1
( ) 1
i
A
n
i
P
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Biến cố đối lập
▪ Định nghĩa 1.17. Hai biến cố A và Ā gọi là đối lập
(complement) nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ
các biến cố
▪ Hệ quả: Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau
bằng 1: 
P(A) + P(Ā) = 1
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 39
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.12
▪ Một người đi bán hàng ở hai nơi độc lập nhau. Xác
suất bán được hàng lần lượt là 0,6 và 0,8.
▪ Đặt A1 và A2 tương ứng với biến cố bán được hàng ở 
nơi 1 và 2. 
▪ Viết biến cố và tính xác suất người đó
• (a) Bán được hàng ở cả hai nơi
• (b) Bán được hàng ở ít nhất một nơi
• (c) Bán được hàng ở đúng một nơi
• (d) Không bán được hàng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 40
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.12 (tiếp)
▪ Bảng xác suất của các biến cố
▪ P(A1 + A2) = 0,6 + 0,8 – 0,48
cũng = 0,32 + 0,48 + 0,12
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 41
A2 Ā2 
A1 P(A1A2) = 0,48 P(A1Ā2) = 0,12 P(A1) = 0,6
Ā1 P(Ā1A2) = 0,32 P(Ā1Ā2) = 0,08 P(Ā1) = 0,4
 P(A2) = 0,8 P(Ā2) = 0,2 1
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.13
▪ Một người đấu thầu hai dự án. Xác suất trúng thầu
dự án thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,5 và 0,4; xác
suất trúng thầu cả hai là 0,1.
▪ Viết biến cố, lập bảng, và tính xác suất:
• (a) Trúng thầu ở ít nhất một dự án
• (b) Trúng thầu ở đúng một dự án
• (c) Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng trúng
thầu dự án thứ nhất
• (d) Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng không
trúng thầu ở dự án thứ nhất
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 42
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
Ví dụ 1.14
▪ Một người làm hai bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng
bài thứ nhất là 0,6. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì
khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,9 nhưng nếu làm
sai bài thứ nhất thì khả năng đúng bài thứ hai còn
0,3. Tính xác suất:
• (a) Làm đúng ít nhất một bài
• (b) Làm đúng chỉ 1 bài
• (c) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2
• (d) Làm đúng cả hai, biết rằng có làm đúng ít
nhất một bài
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 43
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất
1.8. CÔNG THỨC BERNOULLI
▪ Ví dụ 1.15: Một người đi bán hàng ở 3 nơi độc lập, 
xác suất bán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8. Tính xác
suất người đó:
▪ (a) Bán được ở đúng 1 nơi
▪ (b) Bán được ở đúng 2 nơi
▪ (c) Bán được ở ít nhất 1 nơi
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 44
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.8. 
Công thức Bernoulli
▪ Thực hiện n phép thử độc lập; trong mỗi phép thử
biến cố A hoặc Ā xảy ra với xác suất tương ứng là p
và 1 – p, được lược đồ (trial) Bernoulli. 
▪ Kí hiệu B(n, p)
▪ Xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng
x lần, kí hiệu: Pn(x) hay P(x | n, p)
▪ Công thức
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 45
 x x n xnP x n p C p p( | , ) (1 )
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.8. Công thức Bernoulli 
1.9. CÔNG THỨC XS ĐẦY ĐỦ - BAYES
▪ Ví dụ 1.16: Có hai hộp giống nhau: Hộp loại I chứa 6 
chính phẩm và 4 phế phẩm; hộp loại II chứa 8 chính
phẩm và 2 phế phẩm.
▪ (a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó chọn 1 sản
phẩm. Tính xác suất để đó là chính phẩm
▪ (b) Nếu chọn được chính phẩm, xác suất để hộp
được chọn là hộp I bằng bao nhiêu?
▪ (c) Nếu có 5 hộp, 2 hộp loại I và 3 hộp loại II, thì các
câu (a), (b) kết quả bao nhiêu?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 46
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9. 
Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes
▪ Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các
biến cố H1, H2,, Hn. Nhóm H1, H2,, Hn là nhóm đầy
đủ các biến cố. Khi đó xác suất đầy đủ:
▪ Công thức Bayes
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 47


1
( ) ( ). ( )
i i
A H A | H
n
i
P P P



1
( ). ( )
( | )
( ). ( )
i i
i
i i
H A | H
H A
H A | H
n
i
P P
P
P P
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9. Công thức XS đầy đủ - Bayes
Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes 
▪ Giải ví dụ 1.16 bằng lập bảng
▪ Tiếp ví dụ 1.16: Nếu có hai hộp loại I (6 Chính
phẩm 4 phế phẩm), ba hộp loại II (8 chính phẩm 2 
phế phẩm) và năm hộp loại III (5 chính phẩm 5 phế
phẩm) thì kết quả thế nào?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 48
P(Hi) P(A | Hi) P(A.Hi) P(Hi | A)
H1 0,5 0,6 0,5×0,6 = 0,3 0,3 / 0,7
H2 0,5 0,8 0,5×0,8 = 0,4 0,4 / 0,7
 1 0,7 1
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9. Công thức XS đầy đủ - Bayes
TÓM TẮT CHƯƠNG 1
▪ Phép thử, biến cố ngẫu nhiên, xác suất P(A)
▪ Định nghĩa cổ điển: phương pháp liệt kê, sơ đồ, đại
số tổ hợp
▪ Định nghĩa thống kê
▪ Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ
▪ Các quan hệ: tổng, tích, xung khắc, độc lập, nhóm
đầy đủ, đối lập, có điều kiện
▪ Các định lý: xác suất tổng, tích, đối lập, có điều kiện
▪ Công thức Bernoulli, xác suất đầy đủ, Bayes
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 49
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
Bài tập cơ bản trong Giáo trình
▪ Trang 14: 1.3, 1.5, 1.15
▪ Trang 20: 1.20, 1.21
▪ Trang 23: 1.24, 1.26, 1.28, 1.30a
▪ Trang 47: 1.37, 1.42, 1.46, 1.47, 1.51
▪ Trang 53: 1.58, 1.60, 1.61
▪ Trang 59: 1.62, 1.63, 1.68, 1.70
▪ Trang 67: 1.74, .175, 1.79, 1.84
▪ Trang 69: 1.93, 1.94, 1.97, 1.100, 1.102, 1.105a
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 50
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất