Bài giảng Toán 5 Xác suất & Thống kê - Tuần 4 - Nguyễn Văn Đắc

å
j
jyxf ),( , h(y) = å
i
i yxf ),( 
Ví dụ 2.18 Tìm phân phối biên duyên của X và Y biết phân phối xác suất đồng thời của chúng 
được cho trong bảng sau: 
 X 
Y 
0 1 2 
0 3/28 9/28 3/28 
1 3/14 3/14 0 
2 1/28 0 0 
Giải + Từ bảng trên, ta có 
 X 
Y 
0 1 2 Tổng theo 
hàng 
0 3/28 9/28 3/28 15/28 
1 3/14 3/14 0 3/7 
2 1/28 0 0 1/28 
Tổng theo 
cột 
5/14 15/28 3/28 1 
 + Phân phối biên duyên của X là: 
 + Phân phối biên duyên của Y là: 
· Nếu (X, Y) là các biến ngẫu nhiên liên tục, thì ta thay tổng trong định nghĩa ở trường hợp 
rời rạc bởi tích phân. 
Giả sử (X,Y) có hàm mật độ là f(x,y). Hàm mật độ biên duyên của X, Y tương ứng ký hiệu là 
g(x) và h(y) được xác định như sau 
g(x) = ò
¥
¥-
dyyxf ),( , h(y) = ò
¥
¥-
dxyxf ),( 
x 0 1 2 
g(x) 
14
5
28
15
28
3
y 0 1 2 
h(y) 
28
15
7
3
28
1
Ví dụ 2.19 Tìm g(x) và h(y) với hàm mật độ đồng thời trong Ví dụ 2.17. 
Giải Theo định nghĩa của phân phối biên duyên, ta có 
g(x) = ò
¥
¥-
dyyxf ),( = ò +
1
0
)32(
5
2 dyyx = 
5
34
0
1
10
6
5
4 2 +=
=
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+ x
y
yyxy với 0 ≤ x ≤ 1 
và g(x) = 0, " x Ï [0, 1]. 
Tương tự, 
 h ( y) = ò
¥
¥-
dxyxf ),( = ò
+=+
1
0 5
)31(2)32(
5
2 ydxyx với 0 ≤ y ≤ 1 
và h(y) = 0, " y Ï [0, 1]. 
 Các phân phối biên duyên g(x) và h(y) thực sự là phân phối xác suất của các biến X và Y 
tương ứng vì nó thỏa mãn tất cả các điều kiện trong Định nghĩa về hàm xác suất, hàm mật độ của 
một biến ngẫu nhiên. Ví dụ, trong trường hợp liên tục 
 ò òò
¥
¥-
¥
¥-
¥
¥-
== 1),()( dydxyxfdxxg 
và P(a < X < b) = P(a < X < b, -∞ < Y < ∞) 
 = ò ò ò
¥
¥-
=
b
a
b
a
dxxgdydxyxf )(),( . 
2.6 Phân phối xác suất có điều kiện 
Khi ta xét đồng thời hai biến ngẫu nhiên, một câu hỏi được đặt ra là: Nếu đã biết biến ngẫu 
nhiên này nhận một giá trị cụ thể, thì phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên kia là như thế 
nào? Phần này trình bày câu trả lời cho câu hỏi đó. 
· Khi X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất đồng thời là f(x,y), giả sử (X = x) 
là một biến cố có xác suất dương đã xảy ra, thì để trả lời cho câu hỏi trên ta đi xét 
P(Y = y/X = x) = 
)(
),(
)(
),(
xg
yxf
xXP
yYxXP
=
=
== , với y thay đổi. 
Dễ dàng kiểm tra được: Nếu x cố định, thì 
)(
),(
xg
yxf là một hàm của y và thoả mãn tất cả các 
điều kiện của một phân phối xác suất. 
· Khi X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ đồng thời là f(x,y), ta cũng có 
)(
),(
xg
yxf 
với g(x) là mật độ biên duyên của X, thoả mãn các điều kiện để trở thành hàm mật độ xác suất. 
Từ đó, ta có 
Định nghĩa 2.9 
Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên, rời rạc hoặc liên tục với phân phối xác suất đồng thời f(x,y). 
Phân phối điều kiện của biến ngẫu nhiên Y với X = x đã xảy ra, là 
f(y/x) = 
)(
),(
xg
yxf , g(x) > 0. 
Tương tự, phân phối điều kiện của biến ngẫu nhiên X với Y = y đã xảy ra, là 
f(x/y) = 
)(
),(
yh
yxf , h(y) > 0. 
+ Xác suất để biến ngẫu nhiên rời rạc X lấy giá trị trong khoảng (a,b) khi đã biết biến ngẫu nhiên 
rời rạc Y = y là: 
P(a < X < b/Y = y) = å
Î ),(
)/(
bax
i
i
yxf , 
trong đó tổng được lấy trên tất cả các giá trị của X nằm giữa a và b. 
+ Khi X và Y liên tục, thì: 
P(a < X < b/Y = y) = ò
b
a
dxyxf )/( . 
Ví dụ 2.20 Tiếp theo Ví dụ 2.18, tìm phân phối có điều kiện của X với điều kiện Y = 1 và dùng 
nó để xác định P(X = 0/Y = 1). 
Giải Chúng ta cần tìm f(x /y), trong đó y = 1. Ta có h(1) = å
=
=++=
2
0 7
30
14
3
14
3)1,(
x
xf 
Nên f(x/ 1) = )1,(
3
7
)1(
)1,( xf
h
xf = , x = 0, 1, 2. 
 f(0/ 1) = 
2
1
14
3.
3
7)1,0(
3
7 ==f f(1/ 1) = 
2
1
14
3.
3
7)1,1(
3
7 ==f f(2/ 1) = 00.
3
7)1,2(
3
7 ==f . 
Như vậy phân phối điều kiện của X , với Y = 1 đã xảy ra, là: 
P(X = 0/Y = 1) = f(0/1) = 
2
1
. Do đó, nếu biết một trong hai ruột bút được chọn có màu đỏ thì 
xác suất để chiếc ruột bút còn lại không có màu xanh lơ là 
2
1
. 
Ví dụ 2.21 Cho biến ngẫu nhiên (X, Y) với X là một đơn vị thay đổi nhiệt độ, Y là tỷ lệ thay đổi 
quang phổ mà một nguyên tử tạo ra, có hàm mật độ như sau: 
î
í
ì <<<
=
,0
10,10
),(
2 yxxy
yxf 
x 0 1 2 
f(x | 1) 
2
1
2
1
0 
tại các điểm khác 
a) Tìm hàm mật độ biên duyên g(x), h(y) và hàm mật độ có điều kiện f(y|x). 
b) Tìm xác suất để tỷ lệ thay đổi quang phổ lớn hơn 1/2, biết nhiệt độ tăng 0,25 đơn vị. 
Giải 
a) Theo định nghĩa về phân phối biên duyên, ta có: 
.10,
1
3
)1(
3
10
10
)(
),()|(
10,5
0
510),()(
10),1(
3
101
3
1010),()(
3
2
3
2
422
0
2
33
1
2
<<<
-
=
-
==
<<=
=
=
===
<<-=
=
=
===
òò
òò
¥
¥-
¥
¥-
yx
x
y
xx
xy
xg
yxfxyf
yy
x
yx
yxdxxydxyxfyh
xxx
xy
y
xydyxydyyxfxg
y
x
b) Do đó P(Y > 
2
1
| X = 0,25) = ò ò =-==
1
2
1
1
2
1
3
2
9
8
25,01
3)25,0|( dyydyxyf . 
Ví dụ 2.22 Cho hàm mật độ đồng thời 
ïî
ï
í
ì
´Ï
<<<<
+
=
)1,0()2,0(),(,0
10,20,
4
)31(
),(
2
yx
yxyxyxf 
Tìm g(x), h(y), f(x/y) và P(
3
1|
2
1
4
1 =<< YX ). 
Giải Theo định nghĩa về phân phôi biên duyên, ta có: 
.10,
2
31
0
2
8
3
84
)31(),()(
20,
20
1
444
)31(),()(
22
0
2222
1
0
32
<<
+
=
=
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
+
==
<<=
=
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
+
==
òò
òò
¥
¥-
¥
¥-
yy
x
xyxxdxyxdxyxfyh
xx
y
yxyxydyyxdyyxfxg
Do đó 
 20,
2
2
)31(
4
)31(
)(
),()|( 2
2
<<=
+
+
== xx
y
yx
yh
yxfyxf 
và ò ==÷ø
ö
ç
è
æ =<<
2
1
4
1 64
3
23
1|
2
1
4
1 dxxYXP . 
Trong Ví dụ 2.22 ta thấy f(x/y) không phụ thuộc vào y tức là việc Y đã nhận giá trị y 
không làm thay đổi phân phối xác suất của X . Tiếp theo ta sẽ đi tìm hiểu về vấn đề này. 
2.7 Độc lập thống kê 
Định nghĩa 2.10 
 Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên, rời rạc hoặc liên tục, có phân phối xác suất đồng thời 
f(x,y) và các phân phối biên duyên tương ứng g(x), h(y). 
 Các biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập thống kê khi và chỉ khi 
 f(x,y) = g(x)h(y) 
, với " (x,y) nằm trong miền giá trị của (X, Y). 
Nhận xét Khi h(y) ≠ 0, thì f(x,y) = g(x)h(y) tương đương với g(x) = )/(
)(
),( yxf
yh
yxf
= , nghĩa là 
việc Y đã nhận giá trị y không làm thay đổi phân phối xác suất của X vì thế gọi X và Y là độc lập. 
Người ta đưa ra định nghĩa như trên là để bao hàm cả trường hợp h(y) = 0. 
Chú ý Kiểm tra tính độc lập thống kê của các biến ngẫu nhiên rời rạc đòi hỏi phải cẩn thận vì 
tích của các phân phối biên duyên có thể chỉ bằng phân phối xác suất đồng thời tại một vài điểm 
chứ không phải tất cả các điểm (x,y). Nếu chúng ta tìm được bất cứ điểm (x,y) nào nằm trong tập 
xác định của f(x,y) mà f(x,y) ≠ g(x)h(y) thì ta kết luận ngay rằng các biến ngẫu nhiên rời rạc X và 
Y không độc lập thống kê. 
Ví dụ 2.23 Chỉ ra rằng các biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 2.18 không độc lập thống kê. 
Giải Chúng ta xét điểm (0,1). Từ Bảng phân phối xác suất ta tìm được ba xác suất f(0,1), g(0) 
và h(1) là: 
å
å
=
=
=++==
=++==
=
2
0
2
0
7
30
14
3
14
3)1,()1(
14
5
28
1
14
3
28
3),0()0(
14
3)1,0(
x
y
xfh
yfg
f
Rõ ràng f(0,1) ≠ g(0)h(1). Do đó X và Y không độc lập thống kê. 
2.8 Hàm của biến ngẫu nhiên hai chiều và hàm của hai biến ngẫu nhiên một chiều 
Cho X1, X2 là các biến ngẫu nhiên y1 = u1(x1, x2), y2 = u2(x1, x2) là các hàm hai biến xác định trên 
tập giá trị của (X1, X2). Khi đó (Y1, Y2 ) với Y1 = u1(X1, X2), Y2 = u2(X1, X2), là một biến ngẫu 
nhiên hai chiều. 
Y1 = u1(X1, X2) là hàm của hai biến ngẫu nhiên một chiều. Ta thấy, nếu biết được phân phối của 
(Y1, Y2), thì phân phối của Y1 là phân phối biên duyên của (Y1, Y2). 
Định lý 2.12 
 Cho X1, X2 là các biến ngẫu nhiên với phân phối đồng thời f(x1, x2) và y1 = u1(x1, x2), 
y2 = u2(x1, x2) là các hàm hai biến xác định trên tập giá trị A của (X1, X2) sao cho giải được duy 
nhất x1 = w1(y1, y2) , x2 = w2(y1, y2) với mọi (y1, y2) thuộc tập giá trị B của (u1, u2). 
 Gọi g(y1, y2) là hàm phân phối đồng thời của Y1 và Y2 với Y1 = u1(X1, X2), Y2 = u2(X1, X2). Ta có: 
a) Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên rời rạc, thì 
g(y1, y2) = f(w1(y1, y2) , w2(y1, y2)). 
b) Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên liên tục và w1(y1, y2), w2(y1, y2) là các hàm có đạo hàm riêng 
liên tục trên B, thì 
î
í
ì
Ï
Î
=
Byy
ByyJwwf
yyg
),( khi,0
),( khi|,|),(
),(
21
2121
21 
với 
J = 
2212
2111
//
//
yxyx
yxyx
¶¶¶¶
¶¶¶¶
. 
Ví dụ 2.25 Cho 21, XX là các biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối xác suất đồng thời là 
î
í
ì <<<<
=
 ,0
10 ,10 ,4
),( 212121
xxxx
xxf 
a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của . và 212
2
11 XXYXY == 
b) Tìm phân phối xác suất của X1X2. 
Giải 
a) Các nghiệm ngược của 212
2
11 và xxyxy == là ,/ và 12211 yyxyx == từ đó chúng ta có 
được 
.
2
1
/12/
0)2/(1
11
2/3
12
1
yyyy
y
J =
-
= 
Để xác định tập các điểm B trong mặt phẳng 21yy là ảnh của tập các điểm A trong mặt phẳng 
21xx , chúng ta viết 
,/ và 12211 yyxyx == 
các đường 1,1,0,0 2121 ==== xxxx bao tất cả các điểm A sẽ được chuyển thành các đường 
.hay ,1,0,0 22112121 yyyyyyy ===== Hai miền này được minh họa trong Hình dưới đây. 
Rõ ràng phép biến đổi trên là một một, biến tập { }10,10),( 2121 <<<<= xxxxA thành tập 
{ }.10,1),( 212221 <<<<= yyyyyB Theo Định lý 2.12 phân phối xác suất đồng thời của 21,YY là 
ïî
ï
í
ì <<<<
==
 0,
10,1 ,
2
2
1)(4),( 21
2
2
1
2
11
2
121
yyy
y
y
yy
yyyyg 
 trái lại 
trái lại. 
 Tương ứng các điểm tập A vào tập B 
b) Phân phối xác suất của X1X2 là phân phối biên duyên của (Y1, Y2): 
g(y2) = ).1;0(,ln4
2),( 222
1
1
1
2
121
2
2
Î"-== òò
+¥
¥-
yyydy
y
ydyyyg
y
g(y2) = 0 với )1;0(2 Ï"y . 
Các ý chính trong bài giảng tuần 4 
· Biến ngẫu nhiên hai chiều và phân phối xác suất. 
· Phân phối biên duyên. 
· Phân phối xác suất điều kiện. 
· Độc lập thống kê. 
· Hàm của biến ngẫu nhiên hai chiều, hàm hai 
biến ngẫu nhiên một chiều.