Bài giảng Toán 5 Xác suất & Thống kê - Tuần 3 - Nguyễn Văn Đắc

Thậm chí nếu đáy không có bề rộng là 1 ta cũng có thể điều 
chỉnh chiều cao của hình chữ nhật để diện tích của nó vẫn bằng xác suất để X nhận giá trị x. Sử 
dụng diện tích để mô tả xác suất là rất cần thiết khi ta nghiên cứu phân phối xác suất của biến 
ngẫu nhiên liên tục. 
Như vậy, khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc ta có hai dạng của phân phối xác suất, đó là hàm 
phân phối tích luỹ và hàm xác suất. 
9 
Sau đây, ta sẽ xây dựng một dạng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục tương tự như 
hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. 
Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục 
Biến ngẫu nhiên liên tục có tập giá trị không thể liệt kê ra được. Hơn nữa, xác suất để biến ngẫu 
nhiên liên tục nhận một giá trị cụ thể trong tập giá trị của nó thì bằng 0. Điều này có vẻ lạ nhưng 
thực tế thì đúng là như vậy khi xét mỗi tình huống cụ thể, chẳng hạn X là thời gian sống (tính 
theo giây) của một con vi khuẩn. 10(giây) là một số trong tập giá trị của X tuy vậy thời điểm này 
trôi qua cực nhanh, đến mức không kịp xảy ra một sự kiện gì cả, do vậy không thể xảy ra biến cố 
X = 10, tức là P(X = 10) = 0. Nhưng X nhận giá trị trong khoảng thời gian từ 9(giây) đến 
11(giây) lại xảy ra với xác suất lớn hơn 0. Thế nên, với biến ngẫu nhiên liên tục việc xem xét xác 
suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị cụ thể không giúp ta nắm được thông tin gì. Ta tập trung vào 
việc tìm xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một khoảng nào đó của tập giá trị. 
Như phân tích ở trên, ta có 
).()()()( bXaPbXPbXaPbXaP <<==+<<=£< 
Do đó việc có tính đến điểm cuối của đoạn hay không là không quan trọng. Tuy nhiên khi X là 
biến ngẫu nhiên rời rạc thì điều này không còn đúng nữa. 
Hãy để ý đến biểu đồ xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc! Ta thấy, có thể dùng diện tích 
để mô tả được xác suất. Một cách hợp lý là dùng diện tích giới hạn bởi một đường cong nằm 
phía trên trục hoành, trục hoành, đường x = a, x = b, để mô tả phân phối xác suất của biến ngẫu 
nhiên liên tục. Ta sẽ gọi hàm số có đồ thị là đường cong nói trên là hàm mật độ xác suất. 
Một hàm mật độ xác suất được xây dựng sao cho phần hình phẳng được giới hạn bởi đồ 
thị của nó, trục Ox và khoảng giá trị của X mà tại đó f(x) xác định có diện tích bằng 1. Khi tập giá 
trị của X là một khoảng hữu hạn, ta mở rộng nó thành tập số thực bằng cách cho f(x) = 0 tại tất cả 
các thuộc phần mở rộng. Khi đó, xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (a, b) là diện tích hình 
phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm mật độ, trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b, nó được tính 
bởi tích phân sau P(a < X < b) = ò
b
a
dxxf )( . 
Do đó, mà có định nghĩa sau. 
Định nghĩa 2.3 
 Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục, hàm f(x) xác định trên tập các số thực R và thoả 
mãn các điều kiện sau 
 a) f(x) 0³ , " xÎR; 
 b) ò
+¥
¥-
= 1)( dxxf ; 
 c) P(a < X < b) = ò
b
a
dxxf )( 
,thì được gọi là hàm mật độ xác suất của X hay đơn giản là hàm mật độ của X . 
10 
Từ định nghĩa, ta thấy hàm mật độ là một phân phối xác suất của X. 
Tính không duy nhất của hàm mật độ 
Trong phần toán giải tích, ta đã biết giá trị của hàm số có thể bị thay đổi tại một số đếm được các 
điểm mà không ảnh hưởng đến giá trị của tích phân. Do đó, từ định nghĩa suy ra hàm mật độ của 
biến ngẫu nhiên liên tục nói chung là không duy nhất. Trong bài giảng này, ta thống nhất với 
nhau: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, chúng ta chỉ đưa ra một hàm mật độ thích hợp của X và 
chỉ làm việc với nó, thường là liên tục trên toàn trục số hoặc gần như là liên tục trên toàn trục số. 
Các hình vẽ sau đây mô tả một số hàm mật độ điển hình 
 P(a < X < b) 
Ví dụ 2.6 Giả sử sai số của nhiệt độ phản ứng (đơn vị 0C) trong một thí nghiệm là biến ngẫu 
nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất 
a) Chứng minh f(x) thỏa mãn điều kiện b) của Định nghĩa 2.3. 
b) Tìm P(0 < X ≤ 1). 
Giải 
a) 
93
)(
22
1
2 xdxxdxxf ==ò ò
+¥
¥- -
| 21- = 19
1
9
8
=+ . 
b) P(0 < X ≤ 1) = 
93
21
0
2 xdxx =ò | 10 = 9
1
. 
ïî
ï
í
ì
-Ï
<<-
=
)2,1(,0
21,
3)(
2
x
xxxf
11 
Hàm mật độ f(x) có các tính chất sau 
· Hàm phân phối F(x) = P(X ≤ x) = ( )
x
f t dt
-¥
ò . 
· Nếu f là hàm liên tục tại x, thì F’(x) = f(x) (theo định lý về đạo hàm theo cận trên trong 
giải tích). 
· P(a < X <b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a). 
Ví dụ 2.7 
Tìm hàm phân phối tích luỹ F(x) của biến ngẫu nhiên X, với hàm mật độ trong Ví dụ 2.6 . 
Sử dụng nó để tính P(0 < X 1£ ). 
Giải 
 Với -1 < x < 2 thì F(x) =
93
)(
2
1
2 tdttdttf
xx
== òò
-¥-
| x1- = 9
13 +x . 
Do đó 
3
0, khi 1
1( ) khi 1 2
9
1 khi 2
x
xF x x
x
£ -ì
ï +ï= - £ <í
ï
³ïî
P( 0 < X 1£ ) = F(1) – F(0) = 
9
1
9
1
9
2
=- . 
Kết quả này giống với kết quả nhận được bằng cách sử dụng hàm mật độ trong Ví dụ 2.6 
Hàm phân phối tích lũy F(x) được biểu diễn bằng đồ thị trong Hình dưới đây. 
Ví dụ 2.8 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) như sau 
ïî
ï
í
ì
>
<
=
1khi
1khi0
)(
2 xx
c
x
xf 
 Hãy xác định hằng số c và tính P(2 < X < 3). 
Giải 
12 
· Ta có òò
+¥+¥
¥-
==
1
2 1)( x
dxcdxxf . Từ đó c = 1. 
· P(2 < X < 3) = ò =
3
2
2 6
1
x
dx . 
Ví dụ 2.9 Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối 
c
xbaxF arctan)( += 
Tìm các hằng số a, b, c và hàm mật độ của X. 
Giải Ta có 
· 
2
1)(lim pbaxF
x
+==
+¥® 2
0)(lim pbaxF
x
-==
-¥®
Suy ra 
p
1,
2
1
== ba . 
Do vậy 
c
xxF arctan1
2
1)(
p
+= 
· 22
1)(')(
cx
cxFxf
+
==
p
 là hàm mật độ của X nên c > 0. 
Tóm lại 
p
1,
2
1
== ba , c > 0 và 22
1)(
cx
cxf
+
=
p
. 
2.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên một chiều 
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và y = u(x) là một hàm số xác định trên tập giá trị của X. Xét 
biến ngẫu nhiên Y xác định bởi Y = u(X). Nếu X nhận giá trị là x, thì Y nhận giá trị là u(x). 
Ví dụ 2.10 Nếu X là biến ngẫu nhiên, thì 2X – 1; sinX; eX là những biến ngẫu nhiên. 
Vấn đề đặt ra là: Nếu đã biết phân phối xác suất của X là f(x), thì phân phối xác suất của Y 
được xác định dựa vào u(x) và f(x) như thế nào? 
Người ta đã chứng minh được các Định lý sau: 
Định lý 2.4 
Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất là f(x) và y = u(x) là một hàm số xác định 
trên tập giá trị của X. Nếu y = u(x) là hàm đơn điệu trên tập giá trị của X, tức là từ phương trình y 
= u(x) ta giải được duy nhất hàm ngược x = w(y), thì hàm xác suất của Y là 
g(y) = f(w(y)) 
Ví dụ 2.11 Cho X là biến ngẫu rời rạc với phân phối xác suất là 
 ,....3,2,1 ,
4
1
4
3)(
1
=÷
ø
ö
ç
è
æ=
-
xxf
x
Tìm phân phối xác suất của biến .2XY = 
13 
Giải Do biến ngẫu nhiên X chỉ nhận các giá trị dương, nên . 2 yxxy =Û= Do đó 
ïî
ï
í
ì
=÷
ø
ö
ç
è
æ==
-
 ,0
,...9,4,1 ,
4
1
4
3)()(
1
yyfyg
y
Chú ý Nếu tồn tại xi , xj (I ≠ j) thuộc tập giá trị {x1, x2,.} của X sao cho u(xi) = u(xj), thì ta lập 
hàm xác suất của Y = u(X) như sau: 
Khi y = yi ≡ u(xi) thì g(y) = P(Y = yi) = å
=
=
ik yxuk
kxXP
)(|
)( và khi y ≠ yi thì g(y) = 0. 
Ví dụ 2.12 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất 
x -1 0 1 2 
f(x) f(-1) f(0) f(1) f(2) 
Tìm phân phối xác suất của Y = X2. 
Giải Y có tập giá trị là {0, 1, 4}. 
 P(Y = 0) = P(X = 0) = f(0) P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1)= f(-1) + f(1) 
 P(Y = 4) = P(X = 2) = f (2). 
Phân phối xác suất của Y là 
Y 0 1 4 
f(x) f(0) f(-1)+f(1) f(2) 
Định lý 2.5 
Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x) và y = u(x) là một hàm số xác định trên 
tập giá trị A của X. Đặt Y = u(X), gọi tập giá trị của Y là B. 
 Nếu với mỗi y thuộc B, từ phương trình y = u(x) ta giải được duy nhất hàm ngược x = w(y) khả 
vi, thì phân phối xác suất của Y là 
 g(y) = f(w(y))|w’(y)|. 
 Nếu với mỗi y thuộc B, từ phương trình y = u(x) ta giải được các hàm ngược x1 = w1(y), 
x2 = w2(y),, xk = wk(y) khả vi và các xi thuộc các tập con đôi một rời nhau của A, thì phân phối 
xác suất của Y là 
 g(y) = ( ) |)(|)( ,
1
ywywf k
k
i
kå
=
Ví dụ 2.12 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ 
î
í
ì
£
>
=
-
0,0
0,2
)(
2
x
xe
xf
x
Tìm hàm mật độ của Y = X . 
Giải Tập giá trị của X là (0, +∞). Hàm ngược x = y2 khả vi và x’(y) = 2y. 
trái lại. 
14 
 Tập giá trị của Y là B = (0,+∞). 
+ y > 0 thì g(y) = f(y2)|2y| = 2y.
22 22 42 yy yee -- = . 
+ y ≤ 0 thì g(y) = 0. 
Như vậy 
ïî
ï
í
ì
£
>
=
-
0,0
0,4)(
22
y
yyeyg
y
 là hàm mật độ của Y. 
Ví dụ 2.13 Cho X có phân phối xác suất 
ïî
ï
í
ì <<-
+
=
 ,0
21 ,
9
)1(2
)( x
x
xf 
Tìm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên .2XY = 
Giải Tập giá trị của X là (-1;2). Tập giá trị của Y là [0; 4). 
Hàm mật độ của Y: 
+ Với y thuộc [0; 1) thì có hai hàm ngược x = y- và x = y nên 
g(y) = ( )
y
yy
yy
yf
y
yf
9
211
9
2
2
1
2
1)(
2
1)( =+++-=+-- . 
+ Với y thuộc [1;4) thì có một hàm ngược x = y nên 
g(y) = 
y
y
y
y
y
yf
9
1
2
1
9
)1(2
2
1)(
+
=
+
= 
+ y không thuộc [0; 4) thì g(y) = 0. 
Như vậy, hàm mật độ của Y là 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
Ï
<£
+
<£
=
)4;0[,0
41,
9
1
10,
9
2
)(
y
y
y
y
y
y
yg
ngược lại 
15 
Các ý chính trong bài giảng tuần 3 
· Khái niệm biến ngẫu nhiên và phân loại 
· Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên: Hàm phân phối, hàm 
xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm mật độ của biến ngẫu 
nhiên liên tục. 
· Hàm của một biến ngẫu nhiên. 
Bài tập 
3.1 (2.t73) 3.2 (5.t73) (ĐS: (a) c = 1/30 (b) c = 1/10) 
3.3 (7.t74) (ĐS: (a) 0,68 (b) 3/8) 3.4 (9.t74) (ĐS: (b) 19/80) 
3.5 (11.t74)(ĐS:P(X=0)=2/7,P(X=1)=4/7, P(X=2)=1/7) 3.6 (12.t74) (ĐS: (a)1/4 (b)1/2 (c) 1/2) 
3.7 (13.t75) 3.8 (14.t75) (ĐS: (a) (b) ~ 0,798) 
3.9 (22.t76) (ĐS: P(X=0)=703/1700 , , P(X=3)= 11/850) 
3.10 (25.t76) (ĐS: P(T = 20) = 0,2 P(T=25) = 0,6 P(T = 30) = 0,2) 
3.11 (26.t76) (ĐS: P(X = 0) = 8/27 P(X=1) = 4/9 P(X = 2) = 2/9 P(X=3)=1/27). 
3.12(1.t214) 3.13(2.t214) 3.14(9.t215) 3.15(14. t216)