Sử dụng số phức giải câu 8 trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm 2015 theo 5 cách

 đồng nhất 
với một số phức .
M
z a bi  Theo cách đồng 
nhất đó thì véc-tơ OM

 có tọa độ là 
M
z (Hình 1). 
Nói cách khác, véc-tơ  ,a a b

 cũng được đồng 
nhất với số phức .
a
z a bi  Khi đó, các phép 
cộng, trừ hai véc-tơ, nhân một số thực với một 
véc-tơ bằng các phép toán đó trên các số phức 
tương ứng. Phép nhân vô hướng 2 véc-tơ được 
tính theo công thức: 
   1. Re . . . .
2a a ab b b
a b z z z z z z      

Đặc biệt, độ dài của a

 được tính theo công thức 
. .
a a
a z z  

Hình 1. Một điểm và một véc-tơ trên mặt phẳng được đồng nhất với một số phức 
Tiếp theo, chúng ta thể hiện các khái niệm tâm tỉ 
cự của 2 điểm, phương trình chính tắc của đường 
tròn, đường thẳng theo ngôn ngữ của số phức. 
Trong mục này, chúng ta cho ,A B là 2 điểm 
phân biệt trên mặt phẳng. 
2.1 Tâm tỉ cự của 2 điểm 
Điểm M là tâm tỉ cự của 2 điểm ,A B ứng với 
cặp hệ số , , 0,a b a b   nghĩa là 
0,aMA bMB 
  
 khi và chỉ khi: 
.A B
M
az bz
z
a b



Đặc biệt, M là trung điểm của đoạn thẳng AB 
khi và chỉ khi 
.
2
A B
M
z z
z

 
2.2 Phương trình chính tắc của đường tròn 
Do khoảng cách giữa 2 điểm A và ,B ký hiệu 
 d , ,A B bằng AB

 nên chúng ta được 
    d , .B A B AA B z z z z   
Từ đó, chúng ta suy ra được đường tròn tâm ,A 
bán kính 0R  có phương trình dạng: 
   2.A Az z z z R   
2.3 Phương trình của đường thẳng 
Giả sử  d là đường thẳng qua điểm A nhận 
0a 

 làm véc-tơ chỉ phương. Điểm M nằm trên 
đường thẳng  d khi và chỉ khi 
, .AM ta t 
 
 Điều này tương đương với 
đẳng thức: 
 hay .M A M A M A
a a a
z z z z z z
t
z z z
           
Do đó, đường thẳng  d có phương trình dạng: 
Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 
3 
  : .A A
a a
z z z z
d
z z
 

 
Lý luận tương tự, chúng ta được đường thẳng 
 'd qua điểm A nhận 0n 

 làm véc-tơ pháp 
tuyến có phương trình dạng 
 ' : .A A
n n
z z z z
d
z z
 

 
3. SỬ DỤNG SỐ PHỨC GIẢI CÂU 8 
TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ 
THÔNG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 
HỌC 2014 - 2015 
Trong mục này, chúng tôi sử dụng các kết quả 
được trình bày trong mục 2 để đưa ra 5 cách giải 
cho câu 8 trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc 
gia môn Toán năm học 2014 – 2015. 
Đề bài. Trong mặt phẳng ,Oxy cho tam giác 
ABC vuông tại .A Gọi H là hình chiếu vuông 
góc của A trên cạnh ;BC D là điểm đối xứng 
của B qua ;H K là hình chiếu vuông góc của 
C trên đường thẳng Giả sử  5, 5 ,H   
 9, 3K  và trung điểm cạnh AC thuộc 
đường thẳng   : 10 0.d x y   Hãy tìm 
tọa độ điểm .A 
Chuyển giả thiết bài toán sang mặt phẳng phức 
Do đường thẳng  d đi qua hai điểm 
 1 10, 0 10z     và  2 0,10 10z i  
nên  d có phương trình dạng: 
  10 10:
10 10 10 10
z z
d
i i
 

 
hay 
  : 10 10 .d z i z i   
Từ đó, chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức 
cho tam giác ABC vuông tại .A Gọi H là 
hình chiếu vuông góc của A trên cạnh ;BC D 
là điểm đối xứng của B qua ;H K là hình 
chiếu .AD vuông góc của C trên đường thẳng 
.AD Giả sử hai điểm H và K lần lượt có tọa 
độ 5 5 , 9 3
H K
z i z i     và trung điểm 
cạnh AC thuộc đường thẳng 
  : 10 10 .d z iz i   Hãy tìm tọa độ 
điểm .A 
Thông thường, tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
gồm 2 phương trình của 2 đường thẳng đi qua .A 
Lần lượt tìm 2 đường tròn, 1 đường tròn và 1 
đường thẳng, 2 đường thẳng đi qua điểm ,A 
chúng ta được 3 cách giải sau. 
Cách 1. (Hình 2) 
Gọi M là trung điểm cạnh .AC Do hai tam giác 
AHC và AKC lần lượt vuông tại H và 
K nên 4 điểm , , ,A H K C cùng nằm trên đường 
tròn tâm M đường kính .AC Do đó, M nằm 
trên đường trung trực đoạn thẳng .HK 
Trung điểm đoạn thẳng HK có tọa độ 2 4 .i Chúng ta suy ra được, đường trung trực đoạn thẳng 
HK có phương trình 
     ' : 7 7 20.d i z i z   
Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 
4 
Hình 2. Điểm A nằm trên 2 đường tròn C(M , MA) và C(H , HK). 
Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương 
trình: 
   
10 10 ,
7 7 20.
z i z i
i z i z
    

    
Do đó 10
M
z i và tọa độ điểm A thỏa mãn 
phương trình: 
    , : 10 10 250C M MH z i z i   
hay 
 . 10 150.z z i z z   (1) 
Mặt khác, do AH BD và hai điểm ,B D đối 
xứng nhau qua H nên chúng ta được 
  .HKA BAH HAK  
Chúng ta suy ra được tam giác AHK cân tại 
H hay điểm A nằm trên đường tròn 
 , .C H HK Do đó, tọa độ điểm A thỏa mãn 
phương trình: 
  5 5 5 5 200z i z i     
hay 
   5 5 150.zz z z i z z     (2) 
Từ (1) và (2), chúng ta được tọa độ điểm A là 
nghiệm của hệ phương trình: 
   
     
10 150,
5 5
a
150. b
z z z z i
z z z z z z i

  
    
 (3) 
Chúng ta suy ra được    3z z i z z   hay 
Re 3Im .z z Do đó, 3 , .z a ai a    
Thay 3z a ai  vào phương trình (3a), chúng 
ta được: 
210 20 150.a a  
Phương trình trên có nghiệm 5a  và 3.a  
Từ đó, chúng ta được 15 5 .A i  
Vậy, điểm A có tọa độ bằng  15,5 . 
Cách 2. (Hình 3) 
Theo Cách 1, điểm A nằm trên đường tròn 
 , .C M MK 
Mặt khác, do 
  AH HK nên đường thẳng 
 MH vuông góc với đường thẳng  .AK Do 
đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ: 
Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 
5 
     
 
, : 10 10 250,
9 3 9 3
: .
1 3 1 3
C M MA z i z i
z i z i
AK
i i
           
Hình 3. Điểm A nằm trên đường tròn C(M , MA) và đường thẳng (KD) 
Hệ phương trình trên tương đương với hệ phương 
trình 
   
     
10 150, a
1 3 1 3 0. b
z z z z i
i z i


  
   
 (4) 
Từ phương trình (4b), chúng ta được 
Re 3Im .z z Do đó, 3 , .z a ai a    
Thay 3z a ai  vào phương trình (4a), chúng 
ta được 
210 20 150.a a  
Khi đó 5a  hoặc 3.a  
Vậy, 15 5A i  hay  15,5 .A   
Cách 3. (Hình 4) 
 Theo Cách 2, điểm A nằm trên đường thẳng qua 
điểm K và vuông góc với  .MH Mặt khác, gọi 
F là điểm đối xứng của K qua điểm .M Khi 
đó, tứ giác AKCF là một hình chữ nhật và điểm 
F có tọa độ 9 23 .
F
z i  Chúng ta suy ra 
được đường thẳng  AF song song với đường 
thẳng  MH (cùng vuông góc với AK ). 
Do đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ phương 
trình: 
 
 
9 3 9 3
: ,
1 3 1 3
9 23 9 23
: .
1 3 1 3
z i z i
AK
i i
z i z i
AF
i i
        
       
Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 
6 
Hình 4. Điểm A nằm trên hai đường thẳng (KD) và (AF) 
Hệ phương trình trên tương đương với hệ phương 
trình: 
   
   
1 3 1 3 0,
1 3 1 3 100 .
i z i
i z i i
   
   



Chúng ta suy ra được: 
50
15 5 .
1 3
i
z i
i
  

Vậy, điểm A có tọa độ là  15,5 . 
Lý luận như đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo, 
chúng ta được 2 điểm A và K đối xứng nhau 
qua đường thẳng  .MH Cách 4 thể hiện các 
phép tính theo ngôn ngữ số phức. 
Cách 4. (Hình 5) 
Do hai tam giác AHK và AMK cân tại 
H và M nên điểm A đối xứng với điểm K 
qua đường thẳng  .HM 
Đường thẳng  HM có phương trình: 
     : 1 3 1 3 20 .HM i z i z i    
Đường thẳng  t qua K và vuông góc  MH 
có phương trình: 
     : 1 3 1 3 0.t i z i z    
Chúng ta suy ra được, tọa độ giao điểm I của 
 HM và  t bằng 3 .Iz i  
Do đó, 2 15 5
A I K
z z z i    hay 
 15,5 .A  
Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 
7 
Hình 5. Hai điểm A và K đối xứng nhau qua đường thẳng (MH) 
Cách 5. (Hình 6) 
Đổi mục tiêu  1 2; ,O e e
 
 sang mục tiêu 
 1 2; , .M e e
 
 Khi đó, 0,
M
z  5 15
H
z i  
và 9 13 , .
K C A
z i z z    Do điểm A nằm 
trên đường tròn bán kính R MH nên 
2. .
A A
z z R 
Tiếp tuyến  AB của đường tròn  ,C M R có 
phương trình: 
  2: . . 2 .AB Az Az R  (5) 
Mặt khác, hai tam giác ABH và CAH 
đồng dạng nên chúng ta được 
.
BH AH
AH CH
 
Chúng ta suy ra được: 
2 2
2 2 2
1
.
4(2 )
HB AH HK
HC HC MH HK
  

Do đó, 
5 5
.
4 4
H C H A
B
z z z z
z
 
  (6) 
Từ (5) và (6), chúng ta được: 
    25 5 8 .A H A A H Az z z z z z R    
hay 
25 6 5 0.
H A H A
z z R z z   
Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 
8 
Hình 6. Điểm A nằm trên tiếp tuyến (AB) của đường tròn C(M , MH). 
Do 
2
A A
z z R nên phương trình trên tương đương với: 
 2 2 25 6 5 0.
H A A H
z z R z z R   
Chúng ta suy ra được, 
   
   
 
2
2
3 4 3 4
15 5 ,
55
3 4 3 4
9 13 .
55
H
A
H
H
A
H
i R i z
z i
z
i R i z
z i K
z
       


  
    


trïng víi 
Trong hệ tọa độ ban đầu điểm A có tọa độ 15 5i  hay  15,5 .A  
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2015). Đề thi Trung học 
Phổ thông Quốc gia môn Toán. 
Đoàn Quỳnh. (1997). Số phức với hình học 
phẳng. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục. 
Katz, J. V. (2004). A history of mathematics: 
Brief version. Boston: Pearson Addison-
Wesley. 
Li, Y. K. (2004). Geometry via complex numbers. 
Mathematical Excalibur. 9(1), 1-4. 
Nguyễn Hữu Điển. (2000). Phương pháp số 
phức và hình học phẳng. Hà Nội: Nhà xuất 
bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. 
Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên)., Trần Nam Dũng., 
Đinh Công Hướng., Nguyễn Đăng Phất., Tạ 
Duy Phượng. & Nguyễn Thủy Thanh. (2009). 
Biến phức định lý và áp dụng. Hà Nội: Nhà 
xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. 
Võ Thanh Vân (Chủ biên) & Lê Hiểu Dương & 
Nguyễn Ngọc Giang. (2009). Chuyên đề ứng 
dụng số phức trong giải toán Trung học phổ 
thông. Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.