Bài giảng Vật lý 2 - Chương 6: Cơ cở cơ học lượng tử - Lê Quang Nguyên

ồn tại, phải bằng đơn vị, do đó: 
• Đó là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng vật 
chất. 
( ) 2 *, ,x y zΨ =Ψ⋅Ψ
( ) 2, , 1
V
x y z dVΨ =∫
1f. Bài tập 1 
• Hình bên cho thấy sóng 
dừng trong một lò vi ba, 
màu xám là nơi sóng điện 
từ bằng không, còn màu 
trắng và đen là nơi sóng 
cực đại. 
• Hãy so sánh mật độ photon 
ở các vị trí A, B và C trên củ 
cà-rốt. 
1f. Bài tập 1 
• Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ 
lệ với bình phương biên độ 
sóng vật chất (sóng điện từ 
đối với photon). 
• Biên độ sóng cực đại ở A và 
C, 
• do đó mật độ photon cũng 
cực đại ở A và C. 
1f. Bài tập 2 
 Hàm sóng của một hạt bị “giam” trong khoảng 
từ 0 đến L là Asin(πx/L), A là một hằng số. Xác 
suất tìm thấy hạt ở vị trí nào sau đây là lớn 
nhất? 
 (a) L/4 
 (b) L/2 
 (c) 3L/4 
 (d) L 
1f. Trả lời bài tập 2 
• Mật độ xác suất: 
• w = A2sin2(πx/L) 
• Cực trị của w được 
cho bởi: 
• sin(πx/L)cos(πx/L) = 
0 
• πx/L = 0, π/2, π 
• x = 0, L/2, L 
• w cực đại ứng với x = 
L/2. 
• Câu trả lời đúng là 
(b). 
L/2 
Hàm 
sóng 
Mật độ 
xác suất 
1f. Bài tập 3 
 Bước sóng De Broglie của một electron được 
tăng tốc không vận tốc đầu bởi hiệu điện thế U 
bằng: 
 (a) (b) 
 (c) (d) 
2 e
h
m eU e
h
m eU
2
2 e
h
m eU 2 e
h
m eU
1f. Trả lời bài tập 3 
• Động năng của electron sau khi tăng tốc: 
• Suy ra động lượng: 
• Vậy bước sóng De Broglie là: 
• Câu trả lời đúng là (a). 
2
2 e
p
K eU
m
= =
2 ep m eU=
2 e
h
m eU
λ =
2. Phương trình Schrödinger 
a. Phương trình 
Schrödinger tổng quát 
b. Phương trình 
Schrödinger dừng 
c. Hàm sóng của hạt tự do 
Erwin Schrödinger 
1887-1961 
2a. Phương trình Schrödinger tổng quát 
• Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m, 
chuyển động trong trường có thế năng 
U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrödinger tổng 
quát: 
• trong đó ħ = h/2π, và Δ là Laplacian: 
2
2
i U
t m
 ∂Ψ
= − ∆+ Ψ ∂  
ℏ
ℏ 1i = −
2 2 2
2 2 2x y z
∂ ∂ ∂∆ = + +
∂ ∂ ∂
2b. Phương trình Schrödinger dừng 
• Khi thế năng U không phụ thuộc vào thời gian 
thì nghiệm của phương trình Schrödinger có 
thể viết dưới dạng: 
• với E là năng lượng của hạt, Φ(x,y,z) là hàm 
sóng dừng, thỏa phương trình Schrödinger 
dừng: 
( ) ( ), , , , ,
E
i t
x y z t e x y z
−
Ψ = Φℏ
2
2
U E
m
 
− ∆+ Φ = Φ 
 
ℏ ( )22 0m E U∆Φ+ − Φ =
ℏ
2c. Hàm sóng của hạt tự do − 1 
• Phương trình Schrödinger dừng của một hạt tự 
do chuyển động theo dọc trục x: 
• với E bây giờ là động năng của hạt. Phương 
trình này có nghiệm tổng quát là: 
2
2 2
2
0
m
E
x
∂ Φ
+ Φ =
∂ ℏ
ikx ikxAe Be−Φ = + 2
2mE p
k = =
ℏ ℏ
2c. Hàm sóng của hạt tự do − 2 
• Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất: 
• là một sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần 
số góc ω, vectơ sóng k, và bước sóng phù hợp 
với giả thuyết De Broglie: 
( )E p ii t i x Et px
e Ae Ae
− − −
Ψ = ⋅ =ℏ ℏ ℏ
( )i t kxAe ω− −Ψ =
E p
kω = =
ℏ ℏ
2 h
k p
piλ = =
3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều 
a. Giếng thế vô hạn một chiều 
b. Năng lượng bị lượng tử hóa 
c. Hàm sóng 
d. Bài tập 
3a. Giếng thế vô hạn một chiều 
• Hạt chuyển động trong 
giếng thế vô hạn một 
chiều có thế năng xác 
định bởi : 
• trong đó a là độ rộng 
của giếng thế. 
0 0
0,
x a
U
x x a
< <
= 
∞ ≤ ≥ 0 a 
U → ∞ 
x 
3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 1 
• Sóng vật chất chuyển động lui tới giữa hai vách 
giếng thế, tạo nên sóng dừng. 
• Khi đó bề rộng của giếng thế phải là một bội số 
của một nửa bước sóng: 
• Suy ra động lượng hạt: 
1,2
2
a n n
λ
= = 
2 2
h h h
p n
a n aλ= = = n = 1 
n = 2 
n = 3 
a 
3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 2 
• Do đó năng lượng của hạt là: 
• Năng lượng hạt đã bị lượng tử hóa. 
• Số n được gọi là số lượng tử năng lượng. 
• Mức năng lượng thấp nhất, ứng với n = 1, là 
khác không, trái với quan niệm cổ điển. 
2 2
2
22 8n
p h
E n
m ma
= =
3b. Năng lượng bị lượng tử hóa − 3 
n = 1 
n = 2 
n = 3 
n = 4 
0 a x 
a = λ/2 
a = 2(λ/2) 
a = 3(λ/2) 
U → ∞ 
3c. Hàm sóng − 1 
• Phương trình Schrodinger dừng của hạt trong 
giếng thế: 
• Phương trình này có nghiệm tổng quát: 
2
2 2
2
0
m
E
x
∂ Φ
+ Φ =
∂ ℏ
( ) ( ) ( )sin cosx A kx B kxΦ = +
2k mE p= =ℏ ℏ
3c. Hàm sóng − 2 
• Hàm sóng ở ngoài giếng là bằng không, vì hạt bị 
giam trong giếng thế vô hạn. 
• Ngoài ra, để hàm sóng biến thiên liên tục thì ở 
hai vách giếng nó cũng phải bằng không: 
( ) ( )0 0, 0aΦ = Φ =
( ) ( ) ( )0 sin 0 cos 0 0 0A B BΦ = + = ⇒ =
( ) ( ) ( )sin 0 sin 0a A ka kaΦ = = ⇒ =
1,2k n a npi= = 
3c. Hàm sóng − 3 
• Hàm sóng dừng phụ thuộc vào n: 
• Vì k bị lượng tử hóa nên năng lượng cũng vậy: 
• Từ điều kiện chuẩn hóa ta tìm được hằng số A: 
( ) sinn x A n x
a
pi Φ =  
 
( )2 2 2 22 2
2 22 2 8n
k h
E n n
m ma ma
pi
= = =
ℏ ℏ
( ) 2 sinn x n x
a a
pi Φ =  
 
3c. Hàm sóng − 4 
• Hàm sóng (phụ thuộc thời gian) sẽ là: 
• Mật độ xác suất của hạt (độc lập với thời gian): 
( ) 2, exp sinnn Ex t i t n x
a a
pi   Ψ = −   
  ℏ
( ) 2 * 22, sinn n nx t n x
a a
pi Ψ =Ψ ⋅Ψ =  
 
3c. Hàm sóng − 5 
Mật độ xác suất 
Hàm sóng dừng 
n = 1 
n = 2 
n = 3 
3d. Bài tập 1 
Một vi hạt khối lượng m, chuyển động trên trục x 
trong trường thế có dạng hố thế cao vô hạn, bề 
rộng a. Khi hạt có năng lượng: 
thì khả năng tìm thấy hạt là lớn nhất ở tọa độ x 
bằng: 
(a) a/4 và 3a/4 
(b) a/2 
(c) a/4 
(d) 3a/4 
2 2 22E mapi= ℏ
3d. Trả lời bài tập 1 
• Năng lượng của vi hạt trong hố thế vô hạn: 
• En = n2π2ħ2/2ma2 
• Trong trường hợp đang xét: 
• E = 2π2ħ2/ma2 
• n = 2, câu trả lời đúng là (a). 
Mật độ xác suất Hàm sóng dừng 
n = 1 
n = 2 
n = 3 
3d. Bài tập 2 
 Xét một vi hạt trong giếng thế cao vô hạn, bề 
rộng a. Ở vị trí nào sau đây thì xác suất tìm thấy 
hạt ở trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau (trừ 
tại hai vách giếng thế): 
 (a) a/3 
 (b) 2a/3 
 (c) (a) và (b) đúng. 
 (d) (a) và (b) sai. 
3d. Trả lời bài tập 2 
• Ở vị trí cần tìm mật độ 
xác suất của hai trạng 
thái là như nhau: 
• w1 = w2 
• sin2(πx/a) = 
sin2(2πx/a) 
• cos(πx/a) = ±1/2 
• πx/a = π/3, 2π/3 
• x = a/3, 2a/3 
• Câu trả lời đúng là (c). 
a/3 2a/3 
w2 
w1 
3d. Bài tập 3 
 Một electron trong một giếng thế vô hạn có bề 
rộng 2 nm chuyển từ mức có n = 5 xuống mức 
có n = 3. Bước sóng của photon phát ra là: 
 (a) 97,8 nm 
 (b) 824 nm 
 (c) 2 nm 
 (d) 8971 nm 
3d. Trả lời bài tập 3 
• Khi electron chuyển từ mức n2 về mức n1 thì nó 
phát ra một photon có năng lượng: 
• Suy ra bước sóng của photon: 
( )
2 1
2
2 2
2 1 28n n
c h
h E E n n
maλ = − = −
2
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
1 8 1
8
hc cma
h ma n n h n n
λ = ⋅ = ⋅
− −
3d. Trả lời bài tập 3 (tt) 
• λ = 824 nm, câu trả lời đúng là (b). 
( )( )( )28 31 9
34 2 2
8 3 10 / 9,1 10 2 10 1
6,626 10 5 3
m s kg m
J s
λ
− −
−
× ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
⋅ ⋅ −
4. Hệ thức bất định Heisenberg 
a. Hệ thức bất định của 
vị trí và động lượng 
b. Ví dụ 
c. Hệ thức bất định của 
thời gian và năng 
lượng 
d. Hiệu ứng đường 
ngầm 
Werner Heisenberg 
1901-1976 
4a. Bất định của vị trí và động lượng 
• Giữa độ bất định (độ chính xác) của tọa độ và 
động lượng có hệ thức: 
• Không thể xác định được chính xác đồng thời 
tọa độ và động lượng của các vi hạt. 
• Không thể xác định quỹ đạo vi hạt. 
x
y
z
x p h
y p h
z p h
∆ ⋅∆ >
∆ ⋅∆ >
∆ ⋅∆ >
ɶ
ɶ
ɶ
4b. Ví dụ 1 
• Một electron có vận tốc bằng 2,05 × 106 m/s, 
được đo với độ chính xác là 1,5 %. Tìm Δx. 
• Động lượng của electron: 
• Độ bất định động lượng: 
• Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử ! 
82,4 10 24
x
h
x m nm
p
−∆ > = × =
∆
ɶ
31 6
24
(9,11 10 ) (2,05 10 )
1,87 10 .
p mv kg m s
kgm s
−
−
= = ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
261,5% 2,80 10 .p p kgm s−∆ = = ⋅
4b. Ví dụ 2 
• Electron trong nguyên tử có Δx ~ kích thước 
của nguyên tử, tức là 0,1 nm. Tìm Δp. 
• Electron trong nguyên tử có động năng vào 
khoảng 1 eV, do đó có động lượng : 
• Δp ~ 10 p ! 
34
24
9
6,626 10
6,626 10 .
0,1 10x
h J s
p kg m s
x m
−
−
−
⋅ ⋅∆ > = = ⋅
∆ ⋅
ɶ
( ) ( )31 19
25
2 2 9,11 10 1,6 10
5,4 10 .
xp mK kg J
kg m s
− −
−
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ×
4b. Ví dụ 3 
• Một quả banh golf có khối lượng 45 g đang bay 
với vận tốc 35 m/s. Vận tốc được đo với độ 
chính xác là 1,5 %. Tìm Δx. 
• Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra độ 
bất định về vị trí của quả banh: 
• Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ mô vẫn 
xác định được chính xác đồng thời vị trí và 
động lượng. 
323 10x m−∆ > ×ɶ
4b. Ví dụ 4 
• Bó sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều sóng 
hình sin có động lượng rất gần nhau. 
• Phân bố của động lượng càng rộng (Δp lớn), 
• thì bó sóng càng hẹp (Δx nhỏ). 
4c. Bất định của thời gian và năng lượng 
• Gọi Δt là thời gian hạt tồn tại ở một trạng thái; 
• ΔE là độ bất định của năng lượng hạt ở trạng 
thái đó. 
• Giữa chúng có hệ thức: 
• Độ bất định năng lượng của một trạng thái 
càng lớn thì thời gian tồn tại của trạng thái đó 
càng ngắn. 
• Do đó một bó sóng không thể tồn tại lâu. 
t E h∆ ⋅∆ >ɶ
4d. Hiệu ứng đường ngầm – 1 
• Xét một hạt bị giam trong giếng thế có độ sâu U. 
• Giả sử trạng thái hạt là không bền, chỉ tồn tại 
trong thời gian rất ngắn Δt ≈ h/U . 
• Trong khoảng thời gian đó độ bất định năng 
lượng của hạt là : 
• Hạt có độ bất định năng lượng lớn hơn độ sâu 
giếng thế, do đó có thể thoát ra khỏi giếng thế! 
h h
E U
t h U
∆ > = =
∆
ɶ
4d. Hiệu ứng đường ngầm – 2 
U 
ΔE 
E 
4d. Hiệu ứng đường ngầm – 3 
• Hiệu ứng cũng xảy ra đối 
với một rào thế (hay 
tường thế). Hạt có thể 
chui qua rào dù có năng 
lượng nhỏ hơn chiều cao 
của rào thế. 
• Xác suất vượt rào (hệ số 
truyền qua) là: 
• Minh họa. 
( )02exp 2aD m U E ≈ − − 
 ℏ
0 a 
U0 
x 
E 
5. Scanning Tunneling Microscope 
Minh họa 
Khi quét trên bề 
mặt mẫu đầu 
kim được kéo 
lên hay hạ xuống 
thấp để giữ cho 
dòng e- chui 
ngầm không đổi. 
Độ cao của đầu 
kim được hiển 
thị trên màn 
hình, đó chính là 
hình ảnh bề mặt 
mẫu.