Bài giảng Vật lý - Chương I: Trường tĩnh điện - Nguyễn Minh Châu

i trường bị gián đoạn. 
Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu 
 2. Vectơ điện cảm D
r
: ED
rr
.. 0εε= [ ]2mC 
 Đường sức của D
r
 không phụ thuộc ε ε0 nên không bị gián đoạn khi qua mặt phân cách. 
 3. Điện thông (thông lượng của D
r
) gửi qua 1 diện tích dS: SdDd
rr
.=φ ( ). .cos ,D dS D dS= rr 
ε 
4. Định lý Gauss: 
dS
r
D
r
 a/ Góc khối: Cho một diện tích vi phân dS (coi như phẳng) và một 
Điểm đặt : với mọi điểm thuộc dS 
Phương: vuông góc dS 
Chiều: hướng ra ngoài mặt kín. 
Độ lớn: dS 
dS
⎧⎪⎨⎪⎩
r
 điểm O ngoài dS; điểm M ∈ dS cách O một đoạn r. Góc khối từ O nhìn 
diện tích dS : dS
M
α
dSn 
nr
O
r 
 22
cos.
r
dS
r
dSd n==Ω α (sr)(stêradian) 
Góc khối cả không gian: ππ 4.4 2
2
==Ω
R
R (sr) 
 b/ Định lý Gauss đối với điện trường: Thông lựợng của D
r
 qua mặt kín S bằng tổng đại số các điện tích 
chứa trong mặt kín đó. 
( ) 1
.
n
D i
iS
D dS q
=
Φ = =∑∫ rr 
 c/ Công thức dạng tích phân và vi phân của định lý Gauss: 
( ) ( )∫∫ = VS dVSdD .. ρ
rr
 (V: thể tích phần có điện tích nằm trong mặt Gauss) 
( )( )
. .
V V
divD dV dVρ= ⇒∫ ∫r .divD D ρ= ∇ =r r với . yx zDD DD x y z
∂∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂
r
Tương tự với E
r
: 
( ) 0 0
. . ;
. .
i
S V
q
E dS divE dV divE ρε ε ε= = =
∑∫ ∫r r ε
r
5. Aùp dụng định lý Gauss để tính D
r
: 
 a/ Tại 1 điểm nằm ngoài dây tích điện đều ( )0>λ dài vô hạn. 
 Mặt kín S (mặt Gauss) là mặt trụ, trục là sợi dây bán kính aR = , độ cao h bất kỳ. 
( ) ( )1 2 3 3
1 2 3 3 3. . . . . .2
.2 . . .
2 .
S S S S S
i
D dS D dS D dS D dS D dS D dS D a h
D a h q h D
a
π
λπ λ
. .
π
= + + = = =
= = ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∑
r r r rr r r r

KL: Vậy điện trường do dây dài vô hạn gây ra tại M có phương vuông góc dây, chiều hướng ra nếu 
0>λ , hướng vào nếu 0<λ . 
1dS
r
2dS
r
3dS
r
D
r
b/ Tính D
r
 tại M cách mặt phẳng vô hạn ( 0> )σ tích điện đều gây ra tại M cách khoảng h. 
2.2 0
σ
εε
σ =⇒= DE 
Mặt Gauss là mặt trụ bán kính R bất kỳ, độ cao 2h vuông góc mặt phẳng. 
3dS
r
2dS
r
1dS
r
 D
r
Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
.2
.2..
....
11
12121
321
21
321
σσ =⇒==
=+=+=
++=
∑
∫∫
∫∫∫∫
DSqDS
SDSDSDdSDdSD
SdDSdDSdDSdD
i
SS
SSSS
rrrrrrrr
c/ Tính D
r
 tại M cách tâm quả cầu đặc tích điện đều ( )0>ρ 1 đoạn r. 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 3.
3
4 RQ πρ 
Mặt Gauss là mặt cầu tâm 0, bán kính r. 
( ) ( ) ( )
∑∫∫∫ ==== i
SSS
qrDdSDSdDSdD 2.4... πrrrr 
o Xét r < R: 
 2 34.4 . .
3
D r rπ ρ π= ⇒ .
3
rD ρ= 
o Xét r > R: 
2 34.4 . .
3
D r R Qπ ρ π= = ⇒ 
3
2 2
.
4 . 3
Q RD
r r
ρ
π= = 
* Nếu cầu rỗng: 2.4 .Q Rσ π= ∫ ∑== iqrDSdD 2..4.. πrr 
o r < R: 
00..4. 2 =⇒= DrD π 
o r > R: 
2 2
2
0
.4. . .4. .
.
.
D R Q R
D K QE
r
π σ π
ε ε
= = ⇒
⇒ = = 
2
2 2
.
4. .
R QD
r r
σ
π= = 
D
r
 dS
r
D
r
 dS
r
Khi 1 quả cầu tích điện đều đặc hay rỗng, với điện tích toàn thể là Q, thì ta coi quả cầu đó tương 
đương như điện tích điểm đặt tại tâm O quả cầu khi xét điểm M nằm từ mặt quả cầu ra ∞ . 
I.5. Lực tĩnh điện (lực điện): Một điện tích đặt trong điện trường mà tại đó có vectơ cường độ điện 
trường là
0q
E
r
thì điện tích chịu 1 lực: 0q EqFE
rr
.0= Er EF
r
1/ Điện tích điểm 0 0.Eq E F q→ → =
r r
E
r
r2/ Vật tích điện: E
E Vtd
dq E dF
Vtd E F dF
→ → ⇒
→ → = ∫
r r
r r
Vd: Hai thanh L tích điện đều 0>λ , cách khoảng a. 
Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu 
Thanh 1:
1
2 1 2
2 1 2 2
2
2 2
2
0 0
. 1 1
.
. 1 1 . ln
E
E E
LL
E
kE
a x L a x
dq E dF
Q E F dF
dq dx
k k a x ⎞
⎠F dxa x L a x L a x
λ
ε
λ
λ λ
ε ε
⎡ ⎤→ = −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
→ →
→ → =
=
⎛ +⎡ ⎤ ⎛⇒ = − = ⎜ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜+ + + + +⎣ ⎦ ⎝⎝
∫
∫
r
r r
r r r
 ( )( )
22. a Lk λ ⎡ ⎤+
1 ln 2
F
L a aε= ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
I.6.ĐIỆN THẾ 
1.Công của lực tĩnh điện:Điện tích đặt trong điện trường của q chịu tác dụng của lực tĩnh điện 
và di chuyển từ 
0q
EF
r
BA→ : 
 Cộng nguyên tố: 
 dA . .
B B
E E
A A
.cosF dl A dA F dl α= ⇒ = =∫ ∫rr
 *Công của 
thuộc vào vi t
 Xét điện tích q > 0 và q0 > 0 di chuyển trong điện trường của q : 
lực tĩnh điện khi di chuyển điện tích đi từ chỉ phụ 
rí đầu và vị trí cuối mà không phụ thuộc vào đường 
đi thì lực tĩnh điện là lực thế và trường tĩnh điện là trường thế. 
 2. Thế năng: ( năng lượng phụ thuộc vào vị trí) tW 
0 0. . . .
. .
tB
A B
tA
WB
t t T
A BA W
k q q k q qdA dW W W
r rε ε= − = − = −∫ ∫ 
 ⇒ Hàm thế năng: 0. .
.t
k q qW .Chọn thế năng gốc ởC
rε= + ∞ : ( ) ( ) r
qqK
WCW rtrt .
..
00 0ε=⇒=⇒=∞=
Cũng chính là công di chuyển điện tích trong điện trường gây ra bởi điện tích q đi từ 0q ∞→r . 
3. Điện thế của 1 điện tích điểm đặt cách q một đọan r: 
 Một điện tích điểm q sẽ tạo ra xung quanh nó 1 điện trường và điện thế (V) tại điểm M được xác định 
bằng. 
 .
.M
k qV
rε= 
 *Điện thế này chính là công di chuyển 1 đơn vị điện tích từ 0q ∞→M 
4. Điện thế của 1 hệ điện tích điểm ( ) gây ra tại M: nqqq ,...,, 21
1 1
2 2
1
1
,...,
n n
n
n M
i
q M V
q M V
q M V
q q M V V
=
→ →⎧⎪ → →⎪⎨⎪⎪ → →⎩
→ → =∑
M
i
5. Điện thế của vật tích điện: Vật tích điện → →M
VTD
V d= V∫ 
L a
x 
EdF
r
O
E
r
dl
r
EF
r
α 
rA 
rB 
A
B
0
0 2 2
0 0
. .. .cos
.
( : .cos )
. . . .1 1
B
A
B
A
rB
A r
r
r A B
k q qk q drA q dl
r r
vì dl dr
k q q k q qA
r r
αε ε
α
ε ε
= =
=
⎛ ⎞⎛ ⎤= − = −⎜ ⎟⎜ ⎥⎝ ⎦ ⎝ ⎠
∫ ∫
1
r
0 0
0 0
M
M
q V
q V
> → >
< → < 
Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu 
Vd1: Điện thế tại điểm M gây ra bởi dây L tích điện đều λ > 0 
( )
.
. . .
.
r x a
dq dx
K dq K dxdV
r x
λ
λ
ε ε
= +
=
⇒ = = + a
r
x
L a 
x
O 
M
Cả thanh: 
 ( ) ( ) 00 0
. . . . ln
L L
LK dx K dx KV x a ⇒
x a x a
λ λ λ
ε ε ε= = = ++ +∫ ∫ . lnK LV aλε a+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Vd2: Điện thế tại điểm O gây ra bởi cung (O,R) tích điện đều Q chắn góc α 
 0
. . . . . .
. . .cong
k k Q k R kV dV dq
R R R
λ α λα
ε ε ε ε⇒ = = = = =∫ ∫
6. Mặt đẳng thế: 
 a/ Định nghĩa: là tập hợp mọi điểm có cùng điện thế 
 b/ Tính chất: 
- công di chuyển 1 điện tích trong mặt đẳng thế thì bằng 0. 0q
( ) ( )0 0 0. .. . A Bq A B A B
K q K qA q q V
r rε ε→
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
V 
- Vecto cường độ điện trường tại 1 điểm nằm trên mặt đẳng thế thì vuông góc mặt đẳng thế và 
theo chiều giảm của điện thế. 
I.7 LIÊN HỆ GIỮA E
r
 VÀø V: 
Cho 2 điểm M, N rất gần nhau trong điện trường E
r
: điện thế tại M là VM V= øvà 
O 
dq
α 
 tại N là V+dV (dV>0) Ta di chuyển 1 điện tích đi từ 0q NM → 
( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0
. . . . .cos , . .
.
l
M NM N
l l
dA q E dl q E dl E dl q E dl
dA q V V q dV
dVdV E dl E
dl
→
= = =
= − = −
⇒ − = ⇒ = −
r rr r
Chọn : ; ; ; ;x y z
dV dV dVl x l y l z E E E
dx dy dz
⎛ ⎞≈ ≈ ≈ ⇒ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Mà: . . .x y z
V V VE E i E j E k i j k i j k V
x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = − + + = − + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝
r rr r r r r r r ⎞⎟⎠
r
E
r
dl
r
lE
r
M 
N
. .E grad V V= − = −∇uuuuurr r 
* Từ 
Vd: Cho điện thế trong điện trường phân bố theo quy luật: V=x2+ y3+ z (V) 
 ( )kjyixEzyxV rrrr ++−=⇒++= .3.2 232 
Vd:Điên thế tại điểm M nằm trên đường nối dài của dây (trục x ) cách 
đầu gần nhất gốc O một đoạn x là: 
.E grad V V i j k V
x y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⇒ = − = −∇ = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
uuuuur rr r r r
V 
Tóm tắt bài giảng phần Điện – Từ của GVC :Nguyễn – Minh Châu 
( ). ln ln ln
. 1 1 . 1 1. :
M
K L x KV L x
x
K KE i hay E
x
L x x x L x
λ λ
ε ε
λ λ
ε ε
+⎡ ⎤= = + −⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
r r 
 *Từ: :VE→r Chọn phương Er là phương ⇒rr Tổng quát: .rdV E dr− = 
. .
B B B
A A A
V r r
r A B r
V r r
dV E dr V V E dr⇒ − = ⇒ − =∫ ∫ ∫ 
Lưu ý: 
- Công thức: 
r
qKV (ta chọn thế năng 
.
.
ε= ( ) 0:,00 == ∞= VhayW rt ) thì điện tích phải hữu hạn 
(không được tiến ra ). ∞
- Khi điện tích phân bố vô hạn thì ta tính hiệu điện thế chứ không thể tính được điện thế tại 1 
điểm. 
Vd1: Dây dài vô hạn tích điện đều λ >0 tính hiệu điện thế giữa hai điểm M và N cách dây rM và rN . 
Hay hai mặt trụ dài vô hạn,đồng trục,tích điện đều có mật độ điện dài theo trục là + λ và - λ tính hiệu 
điện thế hai mặt trụ. Dùng định lý Gauss ⇒ E ⇒ VM - VN 
E
r
r
0
0
0 0
2. . 1 .
. 2. . .
.
2 . .
ln . ln
2 . . 2 . .
N N
M M
N
M
V r
r
V r
r N
M N r
M
kE
r r
drdV E dr
r
rV V r
r
λ λ
ε π ε ε
λ
π ε ε
λ λ
π ε ε π ε ε
= =
− = =
⇔ − = =
∫ ∫ ∫ 
Vd2: 
Mặt phẳng vô hạn tích điện đều σ tính hiệu điện thế giữa hai điểm M và N 
cách mặt phẳng rM và rN : 
( )
0 0 0
σ −. .
2 . 2. . 2. .
N
N
M
M
V
r
r M N N Mr
V
dr E dr dV dV r V V r rσ σε ε ε ε ε ε= = − ⇒ − = ⇔ − =∫ ∫ ∫ ∫
M N
r
Vd3:Quả cầu đặc: (0, R) tích điện đều ρ hay điện tích toàn thể là Q tính điện thế ở điểm O , A∈mặt cầu 
và M cách O một đoạn r . 
0
2 2
0
0 0 00
2 2 2 2
3
0
0 0 0 0
0
2 2 2
0
0 0 0
0 :
. .. . .
3. . 3. . 3. . 2 6. .
. 1 4 . . . .. .
. 4 . . . 3 3. . 6. . 3. . 2. .
. . .
6. . 2. . 6. .
:
AV R
r r A
V
A
M M
M
r R
r R RE dV E dr r dr V V
K Q R R R RV R V
R R
r R rV V V
r R V
ρ ρ ρ ρ
ε
0
ε ε ε ε ε ε ε
ρ ρ ρ ρρ πε π ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
ρ ρ ρ
ε ε ε ε ε ε
< <
= ⇒ − = = ⇔ − = =
= = = ⇒ = + =
− = ⇒ = −
>
∫ ∫ ∫
O A M
r
.
.
k Q
r
= ε