Bài giảng Trường Điện Từ - Chương 1, Lecture 2: Giải tích vectơ (Tiếp theo)

1 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
Chương 1. Vectơ và trường
Lecture-2: Giải tích vectơ (cont)
[1. Be familiar with the different vector operators used in Maxwell’s equations]
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 
3) Các toán tử

 Toán tử Gradient (grad)

 Toán tử Divergence (div) & ðịnh lý Divergence

 Toán tử Rotation (rot) & ðịnh lý Stokes

 Toán tử Laplace

 Các kết hợp toán tử bằng 0

 ðịnh lý duy nhất nghiệm
2 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Gradient (grad)
1 2 3( , , )u u uΦ = Φ
1 2 3( , , )P u u u 1 1 2 2 3 3( , , )Q u du u du u du+ + +
1 2 3
1 2 3
d du du du
u u u
∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ = + +
∂ ∂ ∂
Xét vô hướng và hai ñiểm lân cận
và . Ta có:
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1d a a a d
h u h u h u
 ∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ = + + ∂ ∂ ∂ 

 
 
 

ℓ⇒
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1grad a a a
h u h u h u
∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ ≡ ∇Φ = + +
∂ ∂ ∂

 
 

 Toán tử gradient: (VH VT)
.d grad dΦ = Φ


ℓ⇒
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Gradient (grad)
na


d


ℓ
α
0Φ = Φ 0 dΦ = Φ + Φ
.d a =ℓ


ℓ
 Ý nghĩa của toán tử gradient:
na


4d


ℓ3d


ℓ
2d


ℓ
1d


ℓ
0Φ = Φ
hướng của gradΦ tại P ðộ lớn của gradΦ tại P bằng tốc ñộtăng cực ñại của Φ tại P
ngrad a
n
∂ΦΦ ≡ ∇Φ =
∂


. .grad a a∂Φ = Φ ≡ ∇Φ
∂ ℓ ℓ

 

ℓ
ndn dna=

 

2Q
3 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Gradient (grad)
Ví dụ: cho mặt kín trường vô hướng Φ=x2+2y2+z2. Xác ñịnh
vectơ ñơn vị pháp tuyến hướng ra khỏi mặt kín Φ=4 tại
P(1,1,1).
2 4 2x y zgrad xa ya zaΦ = + +

 
 

2 4 2x y zPgrad a a a⇒ Φ = + +

 
 

2 4 2
4 16 4
1 2 1
6 6 6
x y zP
n
P
x y z
grad a a a
a
grad
a a a
Φ + +
⇒ = =
Φ + +
+ +

 
 




 
 

 =
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Divergence (div) & ñịnh lý Divergence
 ðịnh nghĩa toán tử Divergence:
0
lim S
V
AdS
div A A
V
∆
∆ →
≡ ∇ =
∆
∫




 
 
 Ý nghĩa của toán tử Divergence: mật ñộ nguồn
Không có Mð nguồn Có Mð nguồn dương Có Mð nguồn âm
0div A =


0div A >


0div A <


V 0∆ →V 0∆ →
V 0∆ →
4 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Divergence (div) & ñịnh lý Divergence
 Biểu thức tính toán tử Divergence:
( ) ( ) ( )2 3 1 1 3 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 h h A h h A h h Adiv A A
h h h u u u
 ∂ ∂ ∂
≡ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ 

 

 ðịnh lý Divergence: trường liên tục trong thể tích V
S V
AdS divAdV=∫ ∫


 


 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Divergence (div) & ñịnh lý Divergence
Ví dụ: tìm thông lượng của trường vectơ trong hệ toạn ñộ
cầu thoát ra khỏi mặt cầu tâm trùng gốc tọa ñộ bán kính
bằng 2m. 
a) (ñịnh lý Divergence ñúng)
b) (không áp dụng ñược ñịnh lý Divergence)
rA ra=

 

2
5
rA a
r
=

 

5 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Rotation (rot) & ñịnh lý Stokes
 ðịnh nghĩa toán tử rotation:
0
lim n
S
Max
Ad
rot A A a
S
∆
∆ →
 
 ≡ ∇ × =
∆ 
 
∫ ℓ



ℓ
 
 

 Ý nghĩa của toán tử rotation: mật ñộ nguồn của trường có
tính chất xoáy
0rot A =


0;rot A IN≠


0;rot A OUT≠


S 0∆ → S 0∆ →S 0∆ →
 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Rotation (rot) & ñịnh lý Stokes
 Biểu thức tính toán tử rotation:
1 2 31 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
h a h a h a
rot A A
h h h u u u
h A h A h A
∂ ∂ ∂
≡ ∇ × =
∂ ∂ ∂

 
 


 

 ðịnh lý Stokes: trường phải liên tục trên S
C S
Ad rot AdS=∫ ∫


 


ℓ
6 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Rotation (rot) & ñịnh lý Stokes
Ví dụ: tìm lưu số của trường vectơ trong hệ tọa ñộ trụ trên
ñường tròn bán kinh 2m trong mp z=const, tâm trên trục z và
hướng hợp với +z theo quy tắc cái ñinh ốc thuận. 
a) (ñịnh lý Stokes ñúng)
b) (không áp dụng ñược ñịnh lý Stokes)
A raφ=

 

5A a
r
φ=

 

 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Toán tử Laplace
 Tác dụng lên vô hướng:
2 ( )div grad∆Φ ≡ ∇ Φ = Φ
2 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 h h h h h h
h h h u h u u h u u h u
     ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ∆Φ ≡ ∇ Φ = + +     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂      
 Tác dụng lên vectơ:
2 ( ) ( )A A grad divA rot rot A∆ ≡ ∇ = −

 
 
 

7 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 Các kết hợp toán tử bằng 0
 Kết hợp 1:
rot(gradΦ)=0
S
rot(gradΦ)dS gradΦd dΦ=0
C C
= =∫ ∫ ∫

 

ℓ 
 Kết hợp 2:
div(rotA)=0


V S
div(rotA)dS rotAdS 0= =∫ ∫

 
 



 Trần Quang Việt – BMCS – Khoa ðiện – ðHBK Tp.HCMa et Faculty of EEE – HCMUT-Semester 1/13-14 

 ðịnh lý duy nhất nghiệm
Trong không gian liên tục một trường vectơ sẽ hoàn toàn
xác ñịnh (duy nhất) có rot và div là xác ñịnh. Nếu không
gian không liên tục (biên) thì cần thêm các ràng buộc trên
biên của vectơ trường trong 2 miền với nhau (ñiều kiện
biên)
Ví dụ: Mô hình toán của trường ñiện từ cần
 2 phương trình div và rot của trường ñiện + 2 phương
trình div và rot của trường từ  Hệ pt Maxwell trong
không gian liên tục
 Các ñiều kiên biên trên mặt phân cách giữa 2 môi trường