Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát quang điện tử trên phương tiện cơ động

 (13) 
Tổng mô-men ngoại lực tác động lên trục tà là: 
 wEx E Ev EcM M M M   (14) 
Thay (13) vào (14): 
 Ex E E Em Ev EcM i M M M   (15) 
Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa 
Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát  phương tiện cơ động.” 74 
Từ (10) và (15) có được: 
  21 sin 2
2
E E Em Ex Ez Ey
Ev Ec Ed
i M J J J
M M M
     
  

(16) 
Phương trình (16) được viết lại: 
 2 sin 2
2
Ez EyEx Ev Ec Ed
Em
E E E E E E
J JJ M M M
M
i i i
  
  
  
   
(17) 
Gọi Ef là nhiễu tác động lên kênh tà, do chuyển động của phương tiện và lực 
ma sát gây ra. 
 
1
E Ev Ec Ed
E E
f M M M
i 
   
(18) 
Phương trình (17) được viết lại: 
2 sin 2
2
Ez EyEx
Em E
E E E E
J JJ
M f
i i
  
 

   
(19) 
3.2. Phương trình động lực học kênh phương vị 
Véc-tơ động lượng cơ hệ kênh phương vị được tính bằng tổng động lượng của 
kênh phương vị và động lượng của kênh tà quy về trục quay phương vị. 
 1A A A E E EAH J T J   (20a) 
 Tương tự như kênh tà, tính được: 
Ax Ax Ex Ex
Ay Ey Ez
Az Ey Ez
cos sin
sin cos
A
Ay Ey Ez
Az Ey Ez
J J
H J J J
J J J
 
    
    
  
      
      
(20b) 
Véc-tơ mô-men tổng tác động lên kênh phương vị: 
A
A A Ad HM H
dt
   
(21) 
Mô-men ngoại lực tác động lên trục quay góc phương vị tương ứng với hàng 
thứ ba của véc-tơ AM , đặt là AzM : 
 Az
A
A A
z
z
d H
M H
dt
   
(22) 
Tính tích có hướng A AH  , tính vi phân bậc nhất của AH sau đó thay vào 
(22), có được: 
 
 
Az Az Ey Ey
Ez Ez
Ax Ay Ey Ez
Ay Ax Ex
sin cos
cos sin
cos sin
Az Ey Ey
Ez Ez
Ay Ey Ez
Ax Ex
M J J J
J J
J J J
J J
     
    
     
  
  
 
  
 
  
 
 (23a) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san TĐH, 04 - 2019 75
Thay 
Ey , Ez từ (5) vào (13a), tính được: 
 
 
 
 
 
 
Az Az Ay
Az
Ax Ay Ey Ez
Ay Ax Ex
cos sin sin cos sin
cos sin cos
cos sin sin cos cos
cos sin sin
cos sin
Az Ay Az Az Ey
Ay Az Ey
Az Ay Ay Ez
Az Ay Ez
Ay Ey Ez
Ax Ex
M J J
J
J
J
J J J
J J
           
     
          
     
     
  
    
 
   
 
  
 
    

   

Az Az
2 2
Ay
2
2 2
Az
1 1
sin2 sin sin sin2
2 2
1
cos sin 2
2
1 1
cos sin 2 sin 2 cos
2 2
1
sin2
2
Az
Ey Ay Ey Az Ey Az Ey
Ay Ey Az Ey
Ez Az Ez Ay Ez Ay Ez
Az Ez Ay Ez
M J
J J J J
J J
J J J J
J J

         
     
         
    

 
    
 
 
  
 
 
    
 
 

   
 
   
 
   
2
Ax Ay Ey Ez Ay Ax Ex
sin
cos sinAy Ey Ez Ax ExJ J J J J

        
 
 
 
    
 
   
   
 
2 2
Az Az Az
Ay Ax Ex
Ay
Ax Ay Ey Ez
sin cos
sin2
1
sin2
2
cos sin
Az Az Ey Ez
Az Ey Ez Ax Ex
Ey Ez Ay Ey Ez
Ay Ey Ez
M J J J
J J J J
J J J J
J J J
    
     
   
     
  
   
   
  
  

 
 (23b) 
Thay Az từ (4) vào (13b): 
   
   
   
 
 
2 2
Az
2 2
Bz
Ay
Ax Ay Ey Ez
Ay Ax Ex
sin cos sin2
sin2 sin cos
1
sin2
2
cos sin
Az Ey Ez Ez Ey
Bz Ez Ey Az Ey Ez
Ez Ey Ay Ez Ey
Ay Ey Ez
Ax Ex
M J J J J J
J J J J J
J J J J
J J J
J J
    
     
   
     
  
    
    
   
  
 
  
 
  (24) 
Đặt: 
Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa 
Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát  phương tiện cơ động.” 76 
2 2sin cosAz Az Ey EzJ J J J     
(24a) 
   
   
 
 
2 2
Ad Bz
Ay
Ax Ay Ey Ez
Ay Ax Ex
sin2 sin cos
1
sin2
2
cos sin
Bz Ez Ey Az Ey Ez
Ez Ey Ay Ez Ey
Ay Ey Ez
Ax Ex
M J J J J J
J J J J
J J J
J J
     
   
     
  
     
   
  
 
 
 
 (24b) 
Thay (24a) và (24b) vào (24): 
  Az Adsin2Az Ez EyM J J J M        (25) 
Trong (24a), AdM chính là nhiễu do chuyển động của phương tiện tạo ra. 
Mô-men ngoại lực AzM bao gồm mô-men sinh ra từ CCCH AwM , mô-men ma 
sát nhớt AvM , mô-men ma sát Coulomb AcM . 
Gọi tỉ số truyền và hiệu suất truyền mô-men tương ứng là ,A Ai  . Gọi mô-men 
đầu trục động cơ là AmM . Mô-men sinh ra từ CCCH tác động lên kênh phương vị: 
Aw A A AmM i M (26) 
Tổng mô-men ngoại lực tác động lên trục phương vị là: 
 AwAz Av AcM M M M   (27) 
Thay (26) vào (27): 
 Az A A Am Av AcM i M M M   (28) 
Mô-men sinh ra từ CCCH chính là tổng mô-men ngoại lực tác động lên kênh 
phương vị. Cân bằng (25) và (28): 
  1 sin 2Az Av Ac AdAm Ez Ey
A A A A A A
J M M M
M J J
i i i
  
  

 
      
(29) 
Gọi Af là nhiễu tác động lên kênh phương vị, do chuyển động của phương tiện 
và lực ma sát gây ra. 
 
1
A Av Ac Ad
A A
f M M M
i 
   
(30) 
 Phương trình (29) được viết lại: 
sin 2
Az Ez Ey
Am A
A A A A
J J J
M f
i i
  
 


     
(31) 
Như vậy phương trình động lực học cơ hệ quay/quét của ĐQS có dạng (19), 
(31). Nhiễu tác động lên kênh tà và kênh phương vị có dạng (18), (30). Động lực 
học cơ hệ ĐQS dưới dạng phương trình Euler-Lagrange như sau: 
( ) ( , )u D q q C q q q d     (32) 
     Am A; ;
T T T
Em Eu M M q d f f    
(32a) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san TĐH, 04 - 2019 77
Có rất nhiều cách để có được ma trận C trong (32). Tuy nhiên, để thuận lợi 
trong quá trình thiết kế bộ điều khiển sau này, chọn C như (32c) nhằm thỏa mãn 
điều kiện 2D C là ma trận đối xứng lệch. 
2 2
Ey Ezsin cos
0
0
Az
A A
Ex
E E
J J J
i
D
J
i
 


  
 
 
 
 
 
(32b) 
sin 2 sin 2
2 2
sin 2 0
2
Ez Ey Ez Ey
A A A A
Ez Ey
E E
J J J J
i i
C
J J
i
   
 
 

  
  
 
 
 
 


(32c) 
4. HIỆU CHỈNH MÔ HÌNH VÀ BÌNH LUẬN 
Công nghệ CAD, CAM, đặc biệt là công nghệ in 3D hiện nay cho phép thiết kế, 
chế tạo, lắp đặt và hiệu chỉnh đảm bảo cho cơ hệ quay quét đạt được trạng thái cân 
bằng động học. Nếu đảm bảo mô-men quán tính kênh tà trên trục Ey và trục Ez 
bằng nhau, khi đó 
Ey EzJ J ≜ EyzJ , có nghĩa ma trận Coriolis sẽ bị triệt tiêu. 
Phương trình (19) và (31) được rút gọn dưới dạng (33) và (34). 
Ex
Em E
E E
J
M f
i


  
(33) 
EyzAz
Am A
A A
J J
M f
i



  
(34) 
 Trong đó: Ex AxE
E E
J
f
i




(35a) 
   
 
2
Ax Ax Ex Bz
Ax Ay
Az Eyz
A
A A
Ay Ax Eyz
A A
J J J
f
i
J J J
i
  

 

   

 

 
(35b) 
Trong trường hợp phương tiện không di chuyển, các thành phần gia tốc liên 
quan đến chuyển động phương tiện sẽ triệt tiêu, Bz 0  . Khi đó nhiễu tác động lên 
kênh phương vị là: 
   2Ax Ax Ex Ax Ay Ay Ax Eyz
A
A A A A
J J J J
f
i i
   
 
   
 

(35c) 
Xem xét công thức (35a) và (35c) thấy rằng mặc dù phương tiện không chuyển 
động nhưng mặt phẳng ngang của phương tiện không phải là mặt phẳng ngang 
trong hệ tọa độ chuẩn (hệ tọa độ nhận được từ phép biến đổi tịnh tiến hệ tọa độ cố 
định mặt đất đến tâm quay của đài quan sát khi bỏ qua sự thay đổi theo phương 
Kỹ thuật điều khiển & Tự động hóa 
Vũ Quốc Huy, “Phương trình Euler-Lagrange của đài quan sát  phương tiện cơ động.” 78 
thẳng đứng trên mặt cong của trái đất [2]), do đó các trục Axa và Aya của hệ tọa độ 
A có sự chuyển động khi khối phương vị quay, có nghĩa là 0Ax  , Ax 0  , 
Ay 0  . Nghiên cứu trong [4] không sử dụng các tham số này mà thay vào đó sử 
dụng gián tiếp góc nghiêng mặt sàn của phương tiện (mặt phẳng bệ) để tính toán 
bù nghiêng cho hệ truyền động bám của các kênh điều khiển độc lập. Việc sử dụng 
bù góc nghiêng bệ chỉ xem xét được ảnh hưởng của nhiễu đến động học mà không 
thể đánh giá trực tiếp được ảnh hưởng của nó đến động lực học cơ hệ. 
5. KẾT LUẬN 
Bài báo đã diễn giải lại kết quả nghiên cứu xây dựng phương trình Euler-
Lagrange được thực hiện trong [2]. Trong điều kiện hoạt động thực tế của các đài 
quan sát trang bị trong quân đội, bài báo đã phân tích, đánh giá ảnh hưởng của 
chuyển động phương tiện đến hệ quay quét của đài quan sát trên quan điểm động 
lực học. Kết quả nghiên cứu trong bài báo là một gợi ý đề xuất trong việc sử dụng 
cảm biến góc nghiêng tĩnh hay cảm biến gia tốc góc trong tổ hợp phòng không tầm 
thấp trên phương tiện cơ động hiện nay. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Viện Tự động hóa KTQS (2005), “Đại đội PPK 37mm - 2N tác chiến ngày 
và đêm”, Tài liệu kỹ thuật tổng hợp, Hà Nội. 
[2]. Vũ Quốc Huy (2017), “Nghiên cứu tổng hợp hệ thống tự động bám sát mục 
tiêu cho đài quan sát trên phương tiện cơ động”, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, 
Viện KH-CN Quân sự, Hà Nội. 
[3]. Nguyễn Trung Kiên (2015), “Xây dựng phương pháp tổng hợp hệ thống điều 
khiển các đài quan sát tự động định vị từ xa các đối tượng di động”, Luận án 
Tiến sĩ kỹ thuật, Viện KH-CN Quân sự, Hà Nội. 
[4]. Trần Ngọc Bình và cộng sự (2017), “Nghiên cứu nâng cao khả năng cơ động 
cho đại đội pháo phòng không 37mm - 2N phục vụ bắn trong hành quân”, 
Báo cáo tổng hợp, Đề tài độc lập Nhà nước, Viện Tự động hóa KTQS. 
ABSTRACT 
EULER-LAGRANGE EQUATION OF OPTICAL ELECTRONICS 
OBSERVATOR IN MOBILE VEHICLE 
The paper explains the research results of building Euler-Lagrange equation 
which was carried out in [2] and emphasizes some modifications of the model 
based on actual operating conditions of optical electronics observators [1] has 
been equipped in the Vietnamese military today. 
Keywords: Euler-Lagrange; Observator; Mobile vehicle; Incline angle. 
Nhận bài ngày 15 tháng 01 năm 2019 
Hoàn thiện ngày 22 tháng 02 năm 2019 
Chấp nhận đăng ngày 15 tháng 3 năm 2019 
Địa chỉ: Viện Tự động hóa KTQS. 
 * Email: maihuyvu@gmail.com.