Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều

Chương 4. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
▪ Biến ngẫu nhiên xét trong các chương trước là 1 
chiều: chỉ có 1 đại lượng
▪ Trong thực tế phải xét nhiều chiều cùng lúc, vì một
đối tượng cần phải xét trên nhiều góc độ.
▪ Ví dụ: Đánh giá một sản phẩm trên các chiều: kích
thước, trọng lượng, giá thành, giá bán.
▪ Ví dụ: Đánh giá một phương án kinh doanh qua các
chiều: lợi nhuận, doanh thu, tốc độ tăng trưởng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 111
Chương 4. 
NỘI DUNG CHƯƠNG 4
▪ 4.1. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều
▪ 4.2. Bảng phân phối xác suất BNN hai chiều
▪ 4.3. Bảng phân phối xác suất có điều kiện
▪ 4.7. Tham số đặc trưng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 112
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều
4.1. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
▪ Hệ gồm n biến ngẫu nhiên đồng thời (X1, X2,, Xn) có
giá trị có thể có là (x1, x2,, xn)
▪ Trường hợp đơn giản nhất: hai chiều (X, Y)
▪ Nếu X và Y liên tục thì có BNN hai chiều liên tục
▪ Nếu X và Y rời rạc thì có BNN hai chiều rời rạc
▪ (X, Y) với X = {x1, x2,, xn} và Y = {y1, y2,, ym}
▪ Chương này chỉ xét biến hai chiều rời rạc
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 113
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.1.
4.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2 CHIỀU
▪ Ví dụ 4.1: X là số người đi làm, Y là số người phụ
thuộc trong các hộ gia đình ở một khu vực
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 114
Y 
X
0 1 2 
1 0,05 0,05 0,1  0,2
2 0,1 0,15 0,25  0,5
3 0,05 0,1 0,15  0,3
   
 0,2 0,3 0,5  1
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2.
Bảng phân phối xác suất hai chiều
▪ Bảng phân phối xác suất (biên) của X và Y
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 115
X 1 2 3
P 0,2 0,5 0,3
Y 0 1 2
P 0,2 0,3 0,5
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều
Bảng phân phối xác suất hai chiều
▪ Tổng quát nếu X = {x1, x2,, xn} và Y = {y1, y2,, ym}
▪ pij = P(X = xi , Y = yj)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 116
Y
X
y1 y2  ym P(X)
x1 p11 p12  p1m P(x1)
x2 p21 p22  p2m P(x2)
xn pn1 pn2  pnm P(xn)
P(Y) P(y1) P(y2)  P(ym) 1
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều
Bảng phân phối biên – tính độc lập
▪ Bảng phân phối xác suất biên (marginal) của X và Y
▪ X và Y độc lập  P(X = xi).P(Y = yi) = pij i, j
▪ Tồn tại ít nhất một cặp (xi, yj) không thỏa mãn thì X, 
Y không độc lập (phụ thuộc)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 117
X x1 x2  xn
P(X) P(x1) P(x2)  P(xn)
Y y1 y2  ym
P(Y) P(y1) P(y2)  P(ym)
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều
4.3. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
▪ Ví dụ 4.1 (tiếp)
▪ (a) X và Y có độc lập với nhau không?
▪ (b) Tìm phân phối xác suất của số người phụ thuộc
trong số hộ có số người đi làm là 1. 
▪ Hay phân phối của Y khi X = 1, ký hiệu (Y | X = 1)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 118
(Y | X = 1) 0 1 2
P ,
,
,
0 05
0 2
0 25
,
,
,
0 05
0 2
0 25
,
,
,
0 1
0 2
0 5
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.3. 
Bảng phân phối xác suất có điều kiện
▪ Bảng phân phối của (X | Y = yj): 
▪ Bảng phân phối của (Y | X = xi)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 119
(X | Y = yj) x1 x2  xn
P P(x1 | yj ) P(x2| yj)  P(xn | yj)
(Y | X = xi) y1 y2  ym
P P(y1 | xi ) P(y2| xi )  P(ym | xi )
( , )
( | )
( )

i j
i j
j
P x y
P x y
P y
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.3. 
4.4. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
▪ Tham số tính cho từng thành phần:
▪ Kỳ vọng: E(X), E(Y)
▪ Phương sai: V(X), V(Y)
▪ Hiệp phương sai (covariance): Cov(X, Y)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 120
   ( , ) ( ) ( )
( , ) ( ). ( )
 
  
 
1 1
n m
i j i j
i j
Cov X Y E X E X Y E Y
x y P x y E X E Y
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. 
Tham số đặc trưng
▪ Tính chất của hiệp phương sai
• Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
• X, Y độc lập  Cov(X, Y) = 0
• Cov(X, Y) > 0 thì X, Y có “tương quan dương”
• Cov(X, Y) < 0 thì X, Y có “tương quan âm”
▪ Phương sai tổng hiệu tổng quát
• V(X  Y) = V(X) + V(Y)  2Cov(X, Y)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 121
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng
Tham số đặc trưng
▪ Hệ số tương quan (correlation) của X và Y: X,Y :
▪ X,Y = Y,X
▪ –1  X,Y  1
▪ X,Y > 0: tương quan cùng chiều, X,Y < 0: ngược chiều
▪ X,Y = 0: không tương quan
▪ X, Y độc lập X,Y = 0
▪ X,Y =  1: X, Y có quan hệ hàm số bậc 1 với nhau
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 122
,
( , )
.
ρ
σ σ
X Y
X Y
Cov X Y
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng
Tham số đặc trưng
▪ Dựa trên bảng phân phối xác suất có điều kiện
▪ Kỳ vọng có điều kiện
• E(Y | X = xi)
• E(X | Y = yj)
▪ Phương sai có điều kiện
• V(Y | X = xi)
• V(X | Y = yj)
▪ Đây là khái niệm cơ sở cho hồi quy và Kinh tế lượng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 123
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng
Tham số đặc trưng
▪ Ví dụ 4.1 (tiếp)
▪ (c) Tính kỳ vọng và phương sai của tổng số người
trong hộ gia đình theo hai cách:
• Lập bảng phân phối xác suất của X + Y
• Theo công thức phương sai của tổng
▪ (d) X và Y có tương quan với nhau không? Hệ số
tương quan bằng bao nhiêu?
▪ (e) Tìm kì vọng và phương sai của số ăn theo trong
hộ gia đình có 1 người đi làm
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 124
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng
TÓM TẮT CHƯƠNG 4
▪ Biến ngẫu nhiên hai chiều, nhiều chiều
▪ Bảng phân phối xác suất hai chiều
▪ Bảng phân phối xác suất biên
▪ Bảng phân phối xác suất có điều kiện
▪ Kỳ vọng, phương sai
▪ Hiệp phương sai, hệ số tương quan
▪ Kỳ vọng có điều kiện
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 125
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều
Bài tập cơ bản trong Giáo trình
▪ Trang 213: 4.2, 4.3
▪ Trang 229: 4.12, 4.13
▪ Trang 236: 4.16, 4.17, 4.18
▪ Trang 240: 4.23
▪ Trang 258: 4.32, 4.35, 4.37
▪ Trang 261: 4.46, 4.49, 4.64, 4.65
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 126
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều