Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục - Đặng Văn Vinh

có đều hội tụ. 
Nếu các dãy hội tụ và , thì    ,n nu v    ,n nu a v b 
     ; ; ( 0 0); , & nn n n n n n
n
u
u v u v v b u
v
 
    
 
các dãy 
 1) lim n n
n
u v a b

  
 2) lim n n
n
u v a b

  
3) lim n
n n
u a
v b
 
 
 
4) lim | |n
n
u a


Ta nói dãy bị chặn trên, nếu 
Định nghĩa 
 nu
: , nA R n N u A    
Ta nói dãy bị chặn dưới, nếu 
: , nB R n N u B    
 nu
Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy 
bị chặn. 
Ta nói dãy là dãy tăng, nếu 
Định nghĩa 
 nu
1, n nn N u u  
Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy 
đơn điệu. 
Ta nói dãy là dãy giảm, nếu  nu
1, n nn N u u  
 0 0: | | 1nn n n u a      Giả sử lim nn u a 
nu M 
Nếu dãy hội tụ, thì bị chặn. 
Mệnh đề 2 
 nu  nu
1 1na u a    
Đặt:  01 2, ,..., ,1 | |Max nM u u u a 
Chú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ
Ví dụ.  
1
( 1)n
n



Cho 3 dãy sao cho 
Mệnh đề 3 (định lý kẹp) 
     , ,n n nu v w 0 0, n n nn n n u v w     
và cùng hội tụ đến a, khi đó    ,n nu w  
n
nv a


Cho . 0  Vì hội tụ đến a, nên    ,n nu w 1 2, :n n N 
1
2
| |
| |
n
n
n n u a
n n w a


    

    
 0 1 2,Maxn n nĐặt 
Khi đó , ta có 0n n 
| |
| |
n
n n n
n
u a
u a v a w a
w a

 

 
        
 
| |nv a   
  nnv a
Vậy 
a
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy   2
1
n
n
k
n
u
n k
 
  
 
2
2 2
1
1
11
n n
n
k
n n
u
n n


  
 
2
1
1
1
n n
n
k
n
n
n
u
nn


  

 lim 1n
n
u

 
 nu  nw nv 
 Tìm 
Ví dụ. 
5
lim
n
nn n
Ta có 
5 5
0 , 6
6
nn
n
n
n
 
    
 
0
5
lim 0
n
nn n
 
Chứng tỏ 
Ví dụ. 
lim 1, 0.n
n
a a

  
0 n
a
n
  
0
lim 0n
n


 
Đặt 1 0n na     1
n
n na n    TH1. 1a 
lim 1n
n
a

 
TH2. 0 1a 
1 1
lim , 1
lim
n
nn
n
a b
ab

  
Sử dụng TH1, lim 1.
n
n
b


Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 
Mệnh đề 4 (định lý Weierstrass) 
Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 
Cho tăng và bị chặn trên.  nu
Tập khác rỗng và bị chặn trên.  1 2, ,...S u u
Theo nguyên lý Supremum, có supS = a. 
Theo định nghĩa của supS:  000, nn a u a      
Vì tăng nên  nu
00 n n
n n u u   
na u a a       nu a   
lim n
n
u a

 
Chứng tỏ dãy truy hồi 
Ví dụ. 
  1 1, 2; 2n n nu u u u  
1 2 2 2 2k ku u     
là dãy tăng và bị chặn trên. 
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. 
Dùng qui nạp, chứng tỏ 2nu 
Giả sử : 2nn k u   Khi đó với 1n k 
Vậy dãy bị chặn trên. 
2
1 2n n n n n nu u u u u u       Vậy dãy tăng. 
lim nu a  2a a 
2 2 0a a    2.a 
Chứng tỏ dãy 
Ví dụ. 
 
 
!
,
2 1 !!
n n
n
u u
n


là dãy giảm và bị chặn dưới. 
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. 
1 1 1
2 3 2
n
n
u n
u n
  

Vậy dãy bị chặn dưới. 0 nu
Vậy dãy giảm. 
lim nu a 
1
1 1
lim
2 3 2 3
n n
n
n n
u u a a
n n


 
    
 
1
0
2
a a a   
1
2
n
n n
u
u u  
 
!
lim 0
2 1 !!n
n
n
 

Định nghĩa (dãy con) 
Cho dãy    1 2, ,..., ,...n nu u u u
kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải. 
của nó được lấy từ dãy theo một cách chọn bất  nu
Dãy con của dãy là một dãy mà các phần tử  
kn
u nu
(-1) 1 3 1 5 1
-1, , - , , - , ,...
2 8 4 32 142
n
n
n   
       
Một dãy con là:  
1 1 1
, , ,...
2 4 14
nv
 
  
 
Nếu dãy có giới hạn là a, thì mọi dãy con của nó 
Mệnh đề 5 
cũng có giới hạn là a. 
 nu
lim n
n
u a

  0 0, | |nn n n u a       0 
Với dãy con , tồn tại  knu 0 0.kn n Khi đó 
 0 | |knk k u a      lim knn u a 
Chú ý 
Thường sử dụng mệnh đề 5 để chứng tỏ không tồn tại 
giới hạn của dãy: 
1/ Nếu tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau, thì 
không tồn tại giới hạn của dãy ban đầu. 
2/ Nếu tồn tại một dãy con phân kỳ, thì dãy ban đầu cũng
phân kỳ. 
Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn 
Ví dụ: 
 
1
2 1
1
3 2
n
n
n
n


 
 
 
2
4 1 4 1 4 2
( 1)
6 2 6 2 6 3
kk
k
k k
u
k k
 
    
 
Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k 
Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau 
2 1
2 1
4 3 4 3 4 2
( 1)
6 5 6 5 6 3
kk
k
k k
u
k k


 

 
    
 
Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1 
Vậy dãy đã cho không có giới hạn. 
Số e 
 Xét dãy:  
1
1
n
nu
n
  
      
1 1 1 1 1 2
1 ... 1 1 1 1 1 ...
2! 3!
1 1 2 1
1 1 ... 1 .
!
n
n n n n
n
n n n n
      
               
      
    
       
    
Sử dụng nhị thức Newton: 
1 1
1
s s
n n
  

Vì , nên 1n nu u 
Vậy dãy tăng. 
Số e Ta có 1 1s
n
 
1 1 1
2 ...
2! 3! !
nu
n
     
Vậy dãy bị chặn ( và tăng), nên dãy hội tụ. 
và 
1
1 1
, 1,2,3,...
! 2
n
n
n 
  
1
1 1 1
2 ...
2 4 2n
    
1 1
1 1
2 1 3 3
2 2
n n n
u
 
      
Giới hạn của dãy này được ký hiệu là e, và người ta
chứng minh được e là số vô tỷ, 2.718281828...e 
1
lim 1
n
n
e
n
 
  
 
Một số giới hạn cơ bản 
1
1) lim 0, 0 
n n


 
1
2) lim 0, 0
lnn n


  
1
3) lim 0
nn e
 
4) lim 1,
n p
n
n p

  
5) lim 1, 0n
n
a a

  
6) lim 0
p
nn
n
e
 
7) lim 0,| | 1n
n
q q

  
1
8) lim 1
n
n
e
n
 
  
 
9) lim 1 ,a
n
a
e a
n
 
   
 
ln
10) lim 0, , 0
p
n
n
p
n


  
Qui tắc: 
ln !( 1)nn a na   
Ví dụ. 
5ln
lim 0
n
n
n

100
lim 0
2nn
n


4
lim 0
!
n
n n

5
4loglim 0
2nn
n


Các phương pháp tìm giới hạn của dãy: 
1) Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử 
dụng các đẳng thức quen biết, ) 
2) Dùng định lý kẹp 
3) Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn điệu và
bị chặn. 
4) Dùng giới hạn của số e. 
5) Dùng dãy con để chứng minh không tồn tại. 
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 
 2lim 1
n
n n

 
HD. Nhân lượng liên hiệp 
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 
1 1 1
lim ...
1 2 2 3 ( 1)n n n
 
       
HD. Phân tích 
1 1 1
( 1) 1n n n n
 
 
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 
2 3sin cos
lim
n
n n
n

HD. Sử dụng định lý kẹp 
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 
84 2lim 2 2 2 2
n
n
   
HD. Phân tích, biến đổi số mũ. 
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 
3 2 sin( !)
lim
1n
n n
n


HD. Dùng định lý kẹp. 
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 
23 12
2
3
lim
5
n
n
n
n


 
   
HD. Sử dụng giới hạn của dãy số e. 
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 
2
1 2 3 ...
lim
3 5n
n
n n
   
 
HD. Sử dụng đẳng thức 
( 1)
1 2 ...
2
n n
n

   
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy 
3 ( 1)
lim
1
n
n
n
n
 

HD. Tìm hai dãy con 
Bài tập. 
21) lim 3 4 
n n n
n
n


I) Tìm các giới hạn sau: 
12) lim ( 1) nn
n
n

 
4
1
2 32 3
3) lim
2 3
n n
n nn
 



15 2 3 5
4) lim
100 2 2 5
n n
n nn


  
  
1
1
( 1) 6 5
5) lim
5 ( 1) 6
n n n
n n nn


 
  
2 3
6) lim
2 3
n n
n nn




2
10
ln( 1)
7) lim
ln( 1)
n
n n
n n
 
 
2 3
2
8) lim
1 1
n
n n
n n
 
    
4 4
2 2 2 2
( 1) ( 1)
9) lim
( 1) ( 1)
n
n n
n n
  
  
2
2
lg 10
10) lim
lg
n
n
n
 
1
1 
1
5

0
27
15
2
 
1
6

2 3
3
11) lim
3/ 3/ 1/
n
n
n n n
 
 
  
   
   
3 3
2 2
3 32 2
3 4 3 4
12) lim
5 6 5 6
n
n n n n
n n n n

    
    
100 100 99
98 2
(2 ) 200
13) lim
10 1
n
n n n
n n
   
 
2
( 1) 1/
14) lim
1/ ( 1)
n
nn
n
n
 
 
 2lg 2 cos 1
15) lim
1 lg( 1)
n
n n n
n
 
 
1 
2
3

19800
1 
2
 2
1
) l1 im
1
6
n n n n  
2 1
17) lim
1
n
n n
n n
 
 
2 
0
2
3
1
18) lim
1
n
n n
n n n
 
 
4 3
19) lim
2 1
n
n n n
n n
 
  
2008
20) lim 
n
n n
 
 
 
5 1
) li2 m1
5
n
n
n
n


3
2
7
22) lim
3 3
n n
n nn
n
n n


2
5
2 5 3
23) lim
1
 n
n
n n
n
 

2 4
) lim2
5
4
n
n
nn
n
n


2log ( 3)25) lim
1/ 3
n
n
n


4
5

0
1
1
2

1
 
0
0
2 1
)
2
 nn
n
u
a v
u



2
1
)
1
 nn
n
u
b v
u



2 2
)
1
 n nn
n
u u
c v
u
 


2
2
3 2
)
1
 n nn
n
u u
d v
u
 


II) Cho Tìm 1, lim 1.n n
n
u u

  lim n
n
v

1 
1
2

3
1
2
 
22 1
1)
5 1
n
n
n
u
n
 
  
 
( 1) /( 1)2
2
2)
1
n n
n
n
u
n
 
 
    
(1 ) /(1 )
1
3)
2
n n
n
n
 
 
 
 
1
4)
!
 n nu n

III) Tìm lim n
n
u

0
1
1
0
3 /(1 )2
2
3 1
5)
2 1
n n
n
n n
u
n n

  
     
sin !
6)
1
n n
n n n 
!
7)
n
n
n
2
arctan
8)
2
n n
n 
0
0
0
0
1 1 1
1) ...
1 3 3 5 (2 1) (2 1)
 nu
n n
   
    
1 1 1
3) ...
1 2 3 2 3 4 ( 1) ( 2)n n n
  
       
1
1
4)
( 1)
n
n
k
u
k k
 

 Tìm lim n
n
u

1
2

1
4

1
1
2
1 1 1 12) ...
1 3 3 5 2 1 2 1
 nu
n n n
 
    
     
1 11) 13; 12 n nu u u  
1 13) , ; , 0 
k k
n nu a u au k N a   
2
1 1
1 4
4) ,
2 3
 n n nu u u u  
 Chứng tỏ rằng các dãy sau đây có giới hạn và tìm các
giới hạn này 
4
1
3

1 5
2


1 5k1 12) 5, 5 ; 
k k
n nu u u k N  
1 1
1
5) 1, 1 n
n
u u
u
  
HD. Xét hai dãy con và  2ku  2 1ku 
1k a
CMR không tồn tại các giới hạn lim sin , lim cos 
n n
n n
 