Liên thông của môđun các đạo hàm

 Y g Z
         
       
      
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
17 
       
              
           
             
          
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2, ,
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
, , ,
. . , . , .
, , , ,
. . , ,
( ) , , .
Y Y Y
X Y X Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y
X f Z g Z Y f Z Y g Z f X Z g X Z
X f Z X g Z f Z g Z X Y f Z X Y g Z
f X Z g X Z Y f X Z Y g X Z X f Z
X g Z X Y f Z X Y g Z f X Z g X Z
X f Z X g Z Y f X Z Y g X Z Y X f Z Y
          
       
       
       
           2.X g Z
               
           
1 2 1 1 2 2, ,
1 2 1 2 1 2, ,
. .
X Y X Y
X Y X Y Y X Y X X Y X Y
f Z g Z X Y f Z Y X f Z X Y g Z Y X g Z
fL Z gL Z f L Z g L Z f Z g Z
       
           
             
   
1 2 1 2 2 2, ,
1 2
. , ,
X Y Y X X Y Y XX Y X Y
X X
f L Z L Z Z g L Z L Z Z
f L Y Z gL Y Z
       
   
Vậy 
X
L  là B – tuyến tính theo tƣ̀ng biến 
       
        
             
             
   
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 2 21 2
1 2
,
1 2 1 2 , ,
1 2 1 2 , ,
, ,
2, ,
, ,
, , , ,
, ,
aX bX aX bX Y Y aX bX aX bX Y
Y Y a X Y b X Y
Y Y Y Y X Y X Y
X Y Y X X Y Y XX Y X Y
X X
L x y L Z L Z Z
aX bX Z aX bX Z Z
a X Z b X Z a X Z b X Z a Z b Z
a L Z L Z Z b L Z L Z Z
aL Y Z bL Y Z
   

 
    
     
           
       
   
1 2 1 2aX bX X X
L aL bL

     
2.2. Mệnh đề: 
     1 2 2 11 2, X X X XX XL L L L L    
Chứng minh. 
            
              
              
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
, , , , ,
, ,
, ,
,
Y YX X X X X X X X Y
X X Y X X Y Y X X X X X X Y
X X Y X X Y Y X X X X X X Y
L Y Z L Z L Z Z
L L Z L L Z L L Z L L Z Z
L L Z L L Z L L Z L L Z Z
  
  
  
    
      
      
Mặt khác 
     
1 2 2 1
, ,
X X X X
L L Y Z L L Y Z   
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
18 
        
        
1 2 2 1 2 1
2 1 1 2 1 2
, , ,
, , ,
X X X X X X
X X X X X X
L L Y Z L L Y Z L Y L Z
L L Y Z L L Y Z L Y L Z
      
     
         
           
             
                
     
1 2 2 22 1
2 2 1 2 11 2 1
1 2 1 1 12 1 2
1 1 2 1 2 22 11 2
1 2 2 1
, ,
, , ,
, , ,
, ,, ,
X X Y Y X XX Y X Y
X X Y X Y X XX Y X X Y
X X X Y Y X XX Y X Y X Y
X X Y X Y X X XX Y X YX X Y
X X Y X X Y
L L Z L Z Z L Z
L Z Z L L Z L L Z
L Z L L Z L Z Z L Z
L Z Z L L Z L L Z L Z
L L Z L L Z
  
  
      
    
       
     
            
                
1 2 2 1
1 2 1 2 1 12 22 1 1 2
, ,, ,
Y X X Y X X
X X Y X X Y X XX Y X YX X Y X X Y
L L Z L L Z
Z L Z L L Z L L Z L Z
      

        
Lại có:      1 2 2 1 1 2, , , , , , 0X X Y X Y X Y X X             
       
     2 1 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2 1 2
, , , , , ,
, , , , , , , ,
X X Y X X Y X X Y
X Y X X X Y Y X X X X Y
          
                  
  
2.3. Mệnh đề: Đạo hàm Lie của tensor T và R của hàm liên thông  thỏa mãn. 
1,      , , ,X X XL T Y Z L Y Z L Z Y    
2, 
          
1 21 2 3 2 3 1 2 1 2 3
, , , , , ,
X Z X Z X X
L R Z Z Z L Z Z L Z Z L T Z Z Z     
Chứng minh: 
        
     
      
             
      
,
,
, ,
1, , , , ,
, , ,
, ,
, , , , , ,
X X X X
X Y Z X Y Z X
Y X X Z
X Y Y X X Z Z XX Y X Z
L T Y Z L T Y Z T L Y Z T Y L Z
L Z Y Y Z Z L Y X Y Z
L Z Y Y X Z
L Z L Z Z L Y L Y Y
X Y Z X Y Z Y X Z
  
          
      
       
        
Ta lại có: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
19 
           
     
, , , , , , 0 , , , , , , 0
, , ,
X X X
X Y Z Y Z X Z X Y X Y Z Y X Z X Y Z
L T Y Z L Y Z L T Z Y
                            
   
     
         
           
             
1 1 1
2 2 2 1 2
1 2 2 1 2 12
2 1 1 2 1 12 1
2 3 1 2 2 1
1 3 1 3 1 3 2 1 1 2 3
3 3 3 1 2 3,
3 3 3 3 3, ,
2, , , ,
, , , , ,
,
,
Z X X Z X Z
Z X X Z X Z X Z Z
Z X Z Z X X Z X Z ZX Z
Z X Z Z Z X Z Z XX Z X Z
VP L Z Z L Z Z L Z Z
L Z Z L Z Z L Z Z L Z Z Z Z Z
L Z L Z Z L Z Z L Z
L Z Z L Z L Z Z
       
            
         
       
           
      
2 1 2 1 2 21
1 2
1 3 3 3 3,
2 3 1 3 1 2 3
,
, , , ,
X Z X Z Z Z X Z ZX Z
X Z X Z X
L Z Z L Z L Z Z
L Z Z L Z Z L Z Z Z
         
       
      
   
               1 2 2 1 2 21 2 1 1 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
3 3 3 3 3 3, , , , ,
: , , , , , ,
, , , ,
X X X
X X
X Z Z Z Z Z ZZ Z X Z X Z X Z Z
VP L R Z Z Z L R Z Z Z R L Z Z Z
R Z L Z Z R Z Z L Z
L Z Z Z Z Z Z
  
 
 
           
        
            
1 12 2 1 2
1 2 2 1 1 2
3 3 3, , , ,
3 3 3 1 2 3,
, , , , ,
Z ZX Z X Z Z X Z
Z Z Z Z XZ Z
Z Z Z
X Z X Z X Z L Z Z Z
  
    
      
          
      
     
     
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
3 3 3 3, ,, , , ,
3 3 3, , , ,
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1
,
, , , , , , 0
, , , , , , 0 
X Z Z Z ZZ X Z X Z Z
X XZ Z Z Z X Z Z
L Z Z X Z Z
L Z L Z Z
Z X Z X Z Z X Z Z
Z X Z X Z Z Z Z X
      
  
    
   
             
             
1.1. Định lý:    , ,X XL Y Z L Z Y   
       
          
           
       
,
,
,
,
,
, , , , , ,
, , , , , , , 0
, 
Y Y X YX X X
X Z ZX Z
X Z ZX Z
X X Z Z X X Z
L Y Z L Z L Z Z
L Y Y Z Y Y X Z X Y X Y Z
L Y Y X Y X Y Z Y X Z Z X Y
L Z Y L Y L Y Y
    
            
                 
    
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
20 
1.1. Định nghĩa: Một đạo hàm X của đại số B (B là một đại số trên đại số A) 
đƣợc gọi là một đạo hàm Affin theo hƣớng đối với liên thông  nếu 0XL  . 
Từ định nghĩa ta có đƣợc nếu 
1 2,X X là hai đạo hàm Affin thì 1 1 2 2a X a X cũng là 
một đạo hàm Affin. 
Thật vậy 
1 1 2 2 1 21 2
0a X a X X XL a L a L    
Ta lại có 
     1 2 2 11 2, X X X XX XL L L L L    nên 1 2,X X là hai đạo hàm Affin thì 
 1 2;X X cũng là một đạo hàm Affin. 
 1.3. Mệnh đề: Tập tất cả các đạo hàm Affin theo hƣớng đối với liên thông cùng với 
các phép cộng tự nhiên, phép nhân với một số trên A và tích trong  .,. là một A-đại số Lie. 
 1.4. Mệnh đề: X là một đạo hàm trên đại số B. Các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng: 
1. X là một đạo hàm affin theo hƣớng  . 
2. X là một đạo hàm affin theo hƣớng  . 
3. X là một đạo hàm affin theo hƣớng 
0
 và 0XL T  (trong đó T là tensor cong của 
liên thông ). 
Chứng minh: 
Từ  (1) 2 là hiển nhiên do ( , ) ( , )X XL Y Z L Z Y   
Do đó X là một đạo hàm theo hƣớng  ( , ) 0 ,
X
L Z Y Y Z B     
 ( , ) 0 ,
X
L Y Z Y Z B     
Từ  (1) 3 . Nếu 0XL  . Ta có: 
 
0 0 0 0
,( , ) ( ) ( )Y Y X YX X XL Y Z L Z L Z Z     
= 
   ,,
1 1 1 1 1 1
( ) ( ( ) ( )) ( )
2 2 2 2 2 2
Y X YX Y Y X X X Y
L Z Z L Z L Z Z Z           
= 
1 1
( , ) ( , ) 0
2 2
X XL Y Z L Y Z    và 
( , ) ( , ) ( , ) 0X X XL T Y Z L Y Z L Z Y     
Từ  (3) 1 , tức là ta đã có 
0
0XL  và 0XL T  
Ta lại có 
0 1 1
( ) ( )
2 2
X X XX X XY Y Y Y Y Y        = 
1
( , )
2
XY T X Y  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
21 
Vậy  
0 0 0 0
,0 ( , ) ( ) ( )Y Y X YX X XL Y Z L Z L Z Z      
   ,
1 1 1
( ) ( ( , )) ( ) ( , ) ( , , )
2 2 2
X Y X Y X X X Y
L Z L T X Y L Z T Y L Z Z T X Y Z     
 =  
1
( ) ( ( ( , )) ( , ) ( , , ))
2
X Y X XL Z L T X Y T Y L Z T X Y Z   
 = 1( ) ( ( , )) ( , )
2
X Y X XL Z T Y Z L Y Z    
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 [1] Nguyễn Hữu Quang, Kiều Phƣơng Chi and Bùi Cao Vân (2012), The Lie derivative of 
currents on Lie group, Lobasevski journal of Mathematics; Vol33, No1, pp10-21. 
 [2] G-M.Greuel, Introduction to Algebraic geometry, notes for a class taught at the 
University of Kaiserslautern, Mathematics International Lecture Notes, University of 
Kaiserslautern (1997-1998). 
[3] Katharina Haberman, Andreas Klein (2003), Derivative of Symplectic Spinor fields, 
metaplectic representation, and quantization. Rostock. Math. Kolloq. 57, 71-91. 
[4] A. Ya. Sultanov, Derivations of linear Algebras and linear connections, Journal of 
Mathematical Sciences (in Russian), Vol. 169, No. 3, 2010. 
[5] K. Yano, The theory of Lie derivatives and its applications, North-Holland Publishing Co. 
Amsterdam; P-Noordhooff Ltd, Gronin-gen; Interscience. Publishers Inc New York. 
THE LINEAR CONNECTION ON MODULE OF ALGEBRA 
DERIVATION 
Le Viet Sơn 
ABSTRACT 
In this article , we review the nature of the inter- linear , giving some formula of 
connected Lie derivative linear and some properties of the derivative in one direction 
affine interconnected . 
Key words: Lie derivative, the linear connection, Lie derivative of linear 
connection, Affine derivations.