Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụng

u khả tích 
đều thì và trong khi . 
Chứng minh. Tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.10 (phần ). 
Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng trong phát biểu của Định lý 3.11, ta không thu được kết luận 
mạnh hơn: “ khả tích đều khi và chỉ khi trong 
”. 
Ví dụ 3.12. Ta định nghĩa mảng các biến ngẫu nhiên như sau 
Khi đó, mảng hội tụ h.c.c. và theo trung bình cấp tới biến ngẫu 
nhiên hằng 2015 khi . Tuy nhiên, do nên mảng 
 không khả tích đều. 
Tiếp theo, chúng tôi mở rộng Định lý 3.10 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên. 
Định lý 3.13. Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới phần 
tử ngẫu nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , hai phát biểu sau đây là 
tương đương: 
 mảng là khả tích đều, 
 81 
 và trong khi . 
Hơn nữa, nếu và một trong hai điều kiện , thỏa mãn thì khi 
. 
Chứng minh. : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7), Bổ đề 2.2 và Định nghĩa 2.3, ta có 
Mặt khác, theo bất đẳng thức , ta có 
 với mọi . Do đó, mảng các biến ngẫu nhiên là khả tích đều. 
Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng các biến ngẫu nhiên ta thu 
được trong khi . Điều này tương đương với 
trong . 
: Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng các biến ngẫu nhiên 
ta suy ra mảng này khả tích đều. Từ giả thiết và bất đẳng thức 
 (với mọi ) ta suy 
ra mảng là khả tích đều. 
Cuối cùng, chúng tôi mở rộng Định lý 3.11 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên. 
Định lý 3.14. Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới phần 
tử ngẫu nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , nếu 
khả tích đều thì và trong khi . 
Chứng minh. Lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 3.13. 
4. Một số ứng dụng 
Trong [2], N. Dunford chứng minh định lý ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi cho 
trường hợp thực, trong đó kết quả hội tụ là một hàm khả tích. Kết quả này sau đó được N. 
Dunford, J. T. Schwartz [3] và N. A. Fava [6] mở rộng cho trường hợp các toán tử co. Sử 
dụng Định lý 3.11, chúng tôi thiết lập được định lý ergodic Birkhoff cho nhiều phép biến 
đổi mà giới hạn thu được là kỳ vọng có điều kiện ứng với -đại số các tập bất biến. Các 
phép biến đổi bảo toàn độ đo được giả thiết là giao hoán. 
Định lý 4.1. Giả sử là các phép biến đổi giao hoán, bảo toàn độ đo. Khi 
đó, nếu phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn thì 
82 
trong đó . Hơn nữa, nếu là ergodic với nào đó thuộc , thì 
 h.c.c. 
Chứng minh. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị thực. 
Với mọi , ta có 
Dựa trên kết quả của N. A. Fava [6, Hệ quả, tr. 281] (hoặc có thể tham khảo [9,Định lý 1.1, 
tr. 196]), tồn tại các tập với xác suất sao cho 
và 
trong đó và đều thuộc . 
Do là phép biến đổi bảo toàn độ đo nên . Đặt , 
ta có . Tiếp tục, đặt , chúng ta có . Vì vậy, trong công 
thức (4.1), với mọi , cho , chúng ta thu được . Điều 
này tương đương với h.c.c., và do đó là -đo được. 
Dựa trên tính giao hoán của các phép biến đổi , ta suy ra hàm giới hạn là 
biến ngẫu nhiên -đo được với mọi . Từ đó, là -đo được. 
 83 
Cố định bất kỳ thuộc . Với mọi , do là -đo được nên là -bất 
biến. Điều này dẫn tới 
Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng mảng các biến ngẫu nhiên 
là khả tích đều. Thật vậy, do nên ta có thể giả sử . Cố định bất 
kỳ, từ , ta suy ra tồn tại sao cho 
Đặt , ta kiểm tra được rằng và . 
Do đó, 
Từ , ta suy ra . Kết hợp điều này 
với , ta có . Vì vậy, 
Tiếp tục, do , nên với mọi , 
Từ đó, 
Bây giờ ta chọn sao cho . Khi đó, với mọi thỏa mãn 
, chúng ta thu được . Kết hợp điều này với 
 với mọi số nguyên dương , ta suy ra 
rằng là khả tích đều. 
Kết hợp (4.2) với đẳng thức với 
mọi , ta thu được rằng mảng các biến ngẫu nhiên 
84 
 hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu nhiên khi 
. Từ đó, theo (4.4) và áp dụng Định lý 3.11, ta có . Vì vậy, 
. Như vậy, định lý được chứng minh cho trường hợp nhận giá trị thực. 
Phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị trên không 
gian Banach thực, khả ly. Với mọi và mọi , áp dụng định lý ergodic 
Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (chứng minh ở trên) , ta có 
Do đó, định lý được chứng minh cho trường hợp là phần tử ngẫu nhiên đơn giản. 
Với phần tử ngẫu nhiên bất kỳ và với mọi dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản 
, ta có 
Với mỗi cố định, áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho mỗi phần tử ngẫu nhiên đơn 
giản , số hạng thứ hai ở vế phải của bất đẳng thức (4.5) hội tụ tới h.c.c. khi 
. Do vậy, 
Bởi vì nên ta có thể chọn được dãy các phần tử ngẫu nhiên 
đơn giản thoả mãn h.c.c. với mọi , h.c.c. khi , và số 
hạng cuối ở vế phải của (4.6) hội tụ tới h.c.c. khi . 
 Tiếp theo, từ đẳng thức , ta có 
, với và . 
Với mỗi , áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên thực, ta suy ra 
 hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu nhiên khi sao cho 
. Điều này kéo theo dãy các biến ngẫu nhiên hội tụ theo 
trung bình tới , và do đó nó hội tụ theo xác suất tới . Từ đó, tồn tại dãy con 
 của dãy sao cho hội tụ h.c.c. tới . Vì vậy, 
 h.c.c. khi . Định lý được chứng minh. 
Năm 1996, N. Etemadi và M. Kaminski [5] đã chứng minh luật số lớn đối với mảng 
các biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi được cho các trường hợp hội tụ h.c.c. và hội tụ theo trung 
 85 
bình. Sau đó, năm 1997, N. Etemadi [4] mở rộng [5, Định lý 2] của N.Etemadi và M. 
Kaminski đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly 
cho trường hợp hội tụ h.c.c. Dựa trên Định lý 3.10, chúng tôi hoàn thiện sự mở rộng trên 
của N. Etemadi đối với [5, Định lý 2]. 
Định lý 4.2. Giả sử là một mảng các phần tử ngẫu nhiên -hoán đổi được, 
nhận giá trị trên . Nếu thì 
 h.c.c. và trong khi , 
trong đó là một phần tử ngẫu nhiên nào đó thỏa mãn . 
Chứng minh. Theo [4, Hệ quả 1], tồn tại phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn 
h.c.c. khi . 
Sử dụng [5, Định lý 2] cho mảng các biến ngẫu nhiên -hoán đổi được , ta 
suy ra rằng mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn và 
trong tới một biến ngẫu nhiên nào đó khi sao cho 
Theo Định lý 3.10, mảng các biến ngẫu nhiên là khả tích đều, và 
do đó mảng các phần tử ngẫu nhiên cũng là khả tích đều. Hơn nữa, 
mảng các phần tử ngẫu nhiên này hội tụ hầu chắc chắn tới khi , do vậy nó 
hội tụ trong tới phần tử ngẫu nhiên khi bằng cách áp dụng Định lý 3.13. 
Vì vậy, 
Định lý được chứng minh. 
Giả sử . Để thuận tiện, các tôpô (tôpô sinh bởi chuẩn) và 
(tôpô yếu) trên được ký hiệu chung là . Đặt 
trong đó là một mảng con của mảng (ở đây, mảng con 
86 
được hiểu theo nghĩa là dãy con theo từng tọa độ). Ta nói mảng hội tụ 
Mosco tới khi nếu 
Kết quả thu được sau đây được sử dụng khi chứng minh chiều “ ” của hội tụ Mosco 
đối với luật số lớn đa trị cho mảng kép. 
Định lý 4.3. Giả sử và là một tập con đếm được của 
sao cho khi và chỉ khi với mọi (sự tồn tại của 
dựa vào định lý tách Hahn-Banach). Khi đó, nếu 
với mọi , thì 
Chứng minh. Với mỗi , tồn tại mảng sao cho 
 với là mảng con của mảng và 
khi . Áp dụng Định lý 3.6, 
Điều này kéo theo . Do đó, ta thu được điều phải chứng minh. 
Cuối cùng, chúng tôi cho một ứng dụng của giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các số 
thực khi mở rộng điều kiện mà F. Hiai sử dụng trong [8, Định lý 3.3] từ trường hợp dãy 
sang trường hợp mảng nhiều chỉ số. 
Định lý 4.4. Giả sử . Khi đó, nếu tồn tại sao cho 
thì với mọi , khi . 
Chứng minh. Do (4.7) nên 
Mặt khác, với mỗi , tồn tại mảng sao cho và 
 87 
. Khi đó, với mọi , 
Do điều này đúng với mọi nên 
Từ (4.9) và (4.10), ta suy ra 
Kết hợp điều này với giả thiết (4.8) và sử dụng Nhận xét 3.4 (3), ta thu được điều phải 
chứng minh. 
5. Kết luận 
Bài báo này đã xây dựng khái niệm 
giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng 
các biến ngẫu nhiên ứng với max hoặc min 
các tọa độ tiến tới vô cùng, nghiên cứu một 
số tính chất và ứng dụng của chúng. Các 
kết quả này là sự mở rộng các kết quả 
tương ứng từ trường hợp một chỉ số sang 
trường hợp nhiều chỉ số và là sự tiếp nối 
các kết quả nghiên cứu của N. Dunford [2], 
A. Zygmund [11], N. Dunford và J. T. 
Schwartz [3] và N. A. Fava [6] về định lý 
ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi, 
của N. Etemadi [4] về luật số lớn cho mảng 
các phần tử ngẫu nhiên -hoán đổi được, 
của F. Hiai [8] và C. Hess [7] về chiều 
“ limsup ” của hội tụ Mosco đối với mảng 
các biến ngẫu nhiên đa trị. 
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ 
Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia 
(NAFOSTED) trong đề tài mã số 
. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Tiếng Việt: 
1. Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên (2003), Lý 
thuyết xác suất, Nxb Giáo dục. 
Tiếng Anh: 
2. N. Dunford, An individual ergodic theorem 
for non-commutative transformations, Acta 
Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 14 
(1951), 1-4. 
3. N. Dunford and J. T. Schwartz, Convergence 
almost everywhere of operator averages, J. 
Rational Mech. Anal., 5 (1956), 129-178. 
4. N. Etemadi, Criteria for the strong law of 
large numbers for sequences of arbitrary 
random vectors, Statistics and Probability 
Letters, 33 (1997), 151-157. 
5. N. Etemadi and M. Kaminski, Strong law of 
large numbers for -exchangeable random 
variables, Statistics and Probability Letters, 
28 (1996), 245-250. 
6. N. A. Fava, Weak type inequalities for 
product operators, Studia Mathematica, 42 
(1972), 271-288. 
7. C. Hess, Loi forte des grands nombres pour 
des ensembles aléatoires non bornés à valeurs 
dans un espace de Banach séparable, Comptes 
88 
Rendus Hebdomadaires des Séances de 
l’Académie des Sciences, Série A et B, 300 
(1985), 177-180. 
8. F. Hiai, Convergence of conditional 
expectation and strong law of large numbers 
for multivalued random variables, 
Transactions of the American Mathematical 
Society, 291 (1985), 613-627. 
9. U. Krengel, Ergodic theorems, Walter de 
Gruyter Studies in Mathematics, 6, Berlin-
New York, 1985. 
10. D. Williams, Probability with Martingales, 
Cambridge University Press, New York, 
1997. 
11. A. Zygmund, An individual ergodic theorem 
for non-commutative transformations, Acta 
Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 14 
(1951), 103-110. 
Ngày nhận bài: 29/7/2016 Biên tập xong: 15/11/2016 Duyệt đăng: 20/11/2016