Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân - Đặng Văn Vinh

x xx x x
n
        
2
arctan
1
dx
x
x
 

 2 3 1 1 11 ( 1) ( )n n nx x x x x dx          
 2 4 1 2 2 2 21 ( 1) ( )n n nx x x x dx         
3 5 2 1
1 2 1arctan ( 1) ( )
3 5 2 1
n
n nx x xx x x
n


        


ln(1 ),arctan ,arcsin ,arccos ,...x x x x
2 2 3
1 2 3( ) 1 ; ( ) 1 ; ( ) 1 ;
2! 2! 3!
x x x
P x x P x x P x x        
3( )P x
1( )P x
2 ( )P x
3( )P x
2 ( )P x
Các ứng dụng của công thức Taylor, Maclaurint 
1) Xấp xỉ hàm y = f(x) bởi một đa thức bậc n. 
2) Tìm đạo hàm cấp cao của y = f(x) tại điểm x0. 
3) Tìm giới hạn của hàm số. 
4) Tính gần đúng với độ chính xác cho trước. 
Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 3 của hàm 
2
1
( )
5 6
f x
x x

 
  
1
( )
2 3
f x
x x

 
 2 31 1
1
n nx x x x x
x
      


 2 31 1 ( 1)
1
n n nx x x x x
x
       


1 1
2 3x x
 
 
1 1 1 1
2 1 / 2 3 1 /3x x
   
 
2 3 2 3
3 31 11 ( ) 1 ( )
2 2 4 8 3 3 9 27
x x x x x x
x x 
   
            
   
 
2 3
31 5 19 65( )
6 36 216 1296
x x x
f x x    
Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 5 của hàm 
22( ) x xf x e 
 
   2
2 32 2
2 2
2 2
( ) 1 2
2! 3!
x x
x x x x
f x e x x
 
      
   
4 52 2
5
2 2
( )
4! 5!
x x x x
x
 
  
2 3 4 5 52 5 1( ) 1 2 ( )
3 6 15
f x x x x x x x      
Khai triển, rút gọn, sắp xếp các số hạng theo bậc tăng dần
Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm 
( )
1x
x
f x
e


2 3 4 5
5
( )
1 ( ) 1
2! 3! 2! 2!
x
f x
x x x x
x x

      
2 3 4
4( )
2! 3
1
1
5!
( )
! 4!
x x
f
x
x
x
x
   


Chia tử và 
mẫu cho x 
2 3 4 41 1 ( )
1
t t t t t
t
      

chú ý: 0t
2 4
4( ) 1 ( )
2 12 720
x x x
f x x    
Ví dụ. Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm 
Nhân tử và mẫu cho 1 + x, ta được: 
2
2
1
( )
1
x x
f x
x x
 

 
 2
3
1 2 2
( )
1
x x
f x
x
 


 2 3
1
1 2 2
1
x x
x
   

   2 3 41 2 2 1 ( )x x x x     
2 4 4( ) 1 2 2 2 ( )f x x x x x    
Đổi biến, đặt: 
Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm 
2 1
( )
1
x
f x
x



 2 2 1
2 1
X
f
X
 

 
2 3
1
X
X



2 2X x x X    
  2 3 32 3 1 ( )X X X X X     
2 3 33 ( )f X X X X    
        2 3 33 2 2 2 2f x x x x        
Đổi biến, đặt: 
Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 2 đến cấp 3 của hàm 
2
1
( )
5 6
x
f x
x x


 
   
2
1 5 1 6
X
f
X X

    2 3 2
X
X X

 
1 1X x x X    
1 1
1 2
X
X X
 
  
  
1 1 1
1 2 1 / 2
X
X X
 
  
  
    
2
2 2 211 1
2 2 4
X X
f X X X X X 
  
         
  
        2 3 31 3 7( ) -1 + -1 + -1 1
2 4 8
f x x x x x   
Đổi biến, đặt: 
Ví dụ. Tìm khai triển Taylor tại x0 = 1 đến cấp 3 của hàm 
( ) ln(2 3 )f x x 
  ln 2 3 1f X    ln 5 3X 
1 1X x x X    
3
ln5 ln 1
5
X 
   
 

2 3
33 1 3 1 3ln5
5 2 5 3 5
X X X
X
    
             
3
ln 5 1
5
X  
   
  
        2 3 33 9 9( ) ln(5) -1 - -1 -1 -1
5 50 125
f x x x x x   
Đổi lại biến x, sắp xếp theo thứ tự tăng dần của bậc 
Ví dụ. Tính giới hạn 30
tan sin
lim
x
x x
I
x


 
3
4sin
3!
x
x x x    
3
3tan
3
x
x x x  
3 3
3 3tan sin ( ) ( )
3 3!
x x
x x x x x x 
   
         
   
30
tan sin
lim
x
x x
I
x


3
3tan sin ( )
2
x
x x x  
3
3
30
( )
2lim
x
x
x
x




3
30
1 ( )
lim
2 x
x
x


 
1
0
2
 
Ví dụ. Tính giới hạn 
 3 2
30
ln 1 2sin 2 cos
lim
x
x x x x
I
x
  

     
3 4
3 3 4 5
30
( ) 2 2 1
3! 2!
lim
x
x x
x x x x x x
I
x
  

   
         
   
3 3 3ln(1 ) ( )x x x  
3
3
30
4
( )
3lim
x
x
x
x




3
30
4 ( )
lim
3 x
x
x


 
4
0
3
 
 
3
4sin
3!
x
x x x  
 
2
3cos 1
2!
x
x x  
Ví dụ. Tính giới hạn 
2
0
1 2 tan
lim
arcsin sin
x
x
x e x
I
x x
  


 
3
4sin
3!
x
x x x    
3
3arcsin
6
x
x x x  
 
3
3tan
3
x
x x x  
2 3
31 ( )
2! 3!
x x xe x x    
   
2 3 2 3
3 3 2
3 30
3 4
5
1 ( ) 1 ( )
2 6 2! 3!
lim
6 3!
x
x x x x
x x x x x
I
x x
x x x x
 
 

   
            
   
   
       
   
3 3
3 30
2 / 3 ( ) 2
lim
3/3 ( )x
x x
I
x x



 

 dụ. Tính giới hạn 
 
3
2
0
ln 1
3lim
tanhx
x
x x x
I
x x
   


 
3
4sinhtanh
cosh 3
x x
x x x
x
   
 
3 4 3
3 40
/ 6 ( ) /3 1
lim
18/3 ( )x
x x x x x
I
x x x x


   
 
  
  
'
2
2
1
ln 1
1
x x
x
  

 
2
31
2
x
x  
   
3
2 4ln 1
6
x
x x x x     
Phần dư trong khai triển Maclaurint của hàm y = cos x là 
 
 
(2 2)
2 2( ) ,0
2 2 !
n
n
n
f
R x x x
n



  

 
 
2 2cos ( 1)( )
2 2 !
n
n
x n
R x x
n
  
  
 
2 21
0.2
2 2 !
n
n

 

Tìm n để 
7
2 2
1 1 1
10
(2 2)! 100000005
n n
R
n


   

Ví dụ. Tính gần đúng với độ chính xác .  cos 0.2A  710
2n 
2 4
cos 1
2! 4!
x x
x   
2 4(0.2) (0.2)
cos(0.2) 1
2! 4!
    =0.9800666667
Tìm đạo hàm cấp n 
11) ( 1)2xx 
3
2) ln
3
x
x
x


 23) ln 3 2x x x 
2 24) ( )cosx x x
 
2 2 35) 3 2 xx e 
 1 1ln 2 2 ((ln 2)( 1) )n x x n   
( 2)!((3 )(3 ) ( 1) (3 )(3 ) )n n nn n x x n x x       
( 1) ( 2)!(( )( 1) ( 2 )( 2) )n n nn x n x x n x       
 3 2 22 ((4 4 )cos 2 2 2 1 sin 2
2 2
n n nx x n n x n x x
              
   
 2 2 2 2 3( 3) 36 12(9 2 ) 81 32 4n xx n x n n e      
Tìm khai triển Maclaurint đến cấp n 
2
2
3
1) , 3
x
x
x e
n
e


2 3
2) ln , 3
3 2
x
n
x



 23) ln 3 2 , 4x x n  
4) (1- ) ln(1 ) - (1 )ln(1- ), 5x x x x n  
2
4
5) 
5 6
x
x x

 
2 3 35 53 3 ( )
2 3
x x x x   
2 3 313 65 793ln(2 / 3) ( )
6 72 648
x x x x   
2 3 4 43 5 3 17ln 2 ( )
2 8 8 64
x x x x x    
3 5 55 92 ( )
3 10
x x x x  
2 3 32 13 53 187 ( )
3 18 108 648
x x x x   
22
5 5
6) , 3
2
x x
n
x x
 

 
7) cosh3 , 5x x n 
4
2
1
8) , 4
1
x
n
x



 29) ln 1 , 5x x n  
211) cosh , 5x x n 
10) sinh cosh 2 , 5x x n 
2 3 35 5 7 17 ( )
2 4 8 16
x x x x   
3 5 59 27 ( )
2 8
x x x x  
2 4 41 2 ( )x x x  
3 5 51 3 ( )
6 40
x x x x  
3 5 513 121 ( )
6 120
x x x x  
3 5 51 ( )
3
x x x x  
 312) 4 sinh 2 , 4x x x n 
2 2
1
13) , 8
2 2 -
n
x x

 
2
1
14) , 9
1
n
x x

 
cos15) , 4x xe n 
2 3
1
16) , 5
1
n
x x x

  
2
2
1 1
17) , 6
1 1
x
n
x
 

 
2 4 4108 ( )
3
x x x 
4 8 82 2 7 2 ( )
4 128 8192
x x x  
3 4 6 7 9 91 ( )x x x x x x x      
2 3 4 41 1 111 ( )
2 3 24
x x x x x    
4 5 51 ( )x x x x   
2 4 6 61 1 5 ( )
4 8 64
x x x x   
Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n 
2 21) ( 1) , 1, 3xx e x n   
 2) ln 2 1 , 1/ 2, 3x x n  
2 1
3) ln , 1, 4
-1
x
x x n
x

 
2 3
4) , 1, 3
1
x x
x n
x

 

2 2 15) , 1, 4x xe x n    
      2 32 32 1 3 1 2 1 (( 1) )e x x x x       
2 3 3
1 1 1 1 1 1
ln 2
2 2 2 3 2 2
x x x x
       
              
       
      3 4 4
1 1 1
3 1 1 1 1
2 12 10
x x x x       
      2 3 3
3 1 1
2 1 1 1 1
2 4 18
x x x x       
     2 4 42
1
1 1 1 1
2
e x x x
 
      
 
26) ln(2 ), 1, 3x x x n   
2
2
7) , 2, 3
1
x
x n
x
 

2
1
8) , 1, 4
2 -
x n
x x
 
2
9) 2 , 1/ 2, 3x x x n  
3 2
2
10) , 2, 5
4 5
x
x n
x x

 
 
     2 3
1 5 7
ln 2 1 1 1 (( 1) )
2 8 24
x x x x       
      2 3 3
4 10 28 82
2 2 2 2
3 9 27 81
x x x x        
     2 4 4
1 3
1 1 1 1
2 8
x x x     
2 3
4 4 1 12 2 ln 2
2 2
x x
   
        
   
       3 5 5
1 2
2 2 2 1
3 9
x x x x     
Tính giới hạn 
2
40
cos 1
21) lim
x
x
x
x
 
0
arctan arcsin
2) lim
tan sinx
x x
x x


0
1 cos 1 2
3) lim
ln(1 )x
x x x
x x
  
 
 
20
1 1
4) lim
x
x
x
x
 
arctan
30
ln(1 ) 1
5) lim
2 4
x
x
e x
x
  
 
1
24
1
1
1
2
Tính giới hạn 
sin
0
ln(1 ) 1
6) lim
arcsin sin
x
x
e x
x x
  

tan 2
30
sin
7) lim
tan
x
x
xe x x
x x x
 
 
2 2 3
20
ln(1 ) arcsin
8) lim
sin
x
x
x e x x
x x x
  

3 4
0
1 2 cos
9) lim
tanx
x x
x x
 

/(1 )
6 60
sinh cos
10) lim
1 1 2
x x
x
e x x
x x


 
   
6
3
1
3
4
72
5

1/ 3
20
cosh 2 (1 3 )
11) lim
/ 2 ln(1 tan ) arcsinx
x x x
x x x


  
  
sin 2
20
1 arcsin
12) lim
sinh( ) ln 1 2
x
x
e x x
x x x
  
  
sinh 1/ 2 20
sin arctan tan
13) lim
(1 2 )xx
x x
e x x

  
20
arcsin
14) lim
1 tan
x
x
x xe
x x x

 
2
0
tan ln( 1 )
15) lim
sin cosx
x x x
x x x
  

3
2
1
7
5
1
28
3
20
1 2 2
16) lim
tan sin 2
x
x
e x x
x x x
  
 
0
1 1
17) lim
sin cosh sinh
x
x
e x x
x x x
  

3 40
ln(1 sin ) 1
18) lim
8 2
x
x
e x
x
  
 
3
50
sin 1 sin1
19) lim
1 2 ln cos 1x
x
x x
 
 
3cos 2
20
1 4
20) lim
(1/ )arcsin 2 2cosh
x
x
e e x
x x x
 

5
8
e
5
cos1
2
1
2
7
4
2
5