Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Không gian Euclid - Đặng Văn Vinh

------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Cho là không gian
con của R3. Tìm cơ sở và chiều của .
(1,1,1),(2,1,0),(1,0, 1)F   
F
Giải. 1 2 3( , , )x x x x F x F
    
(1,1,1)
(2,1,0)
(1,0, 1)
x
x
x


 
  
1
2
3
2
x
x
x





  
 
(1, 2,1)F    cơ sở: {(1,-2,1)}; Dim =1.F

1 2 3
1 2
1 3
0
2 0
0
x x x
x x
x x
  

  
  
( , 2 , ) (1, 2,1)x        
5.2. Bù vuông góc của không gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Cho
F
 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3( , , ) | 0 & 2 0F x x x R x x x x x x       
là không gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của .
Giải. Bước 1. Tìm tập sinh của F.
1 2 3( , , )x x x x F  
1
2
3
2
3
x
x
x





  
 
Bước 2. Tương tự như ở ví dụ trước.
Vậy tập sinh của F là {(2,-3,1)}
1 2 3
1 2 3
0
2 0
x x x
x x x
  
 
  
(2 , 3 , ) (2, 3,1)x        
5.2. Bù vuông góc của không gian con
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý
Cho S= {u1, u2, ..., um} là tập hợp con, trực giao, không chứa
véctơ không của không gian Euclid V. Khi đó S độc lập tt.
Chứng minh (bằng định nghĩa của độc lập tuyến tính)
Giả sử 1 1 2 2 ... 0m mu u u     
Khi đó 1 1 1 2 2( , ... )m mu u u u     1( ,0) 0u 
1 1 1 2 1 2 1( , ) ( , ) ... ( , ) 0m mu u u u u u      
1 1 1( , ) 0u u 
vì S không chứa véctơ 0 nên 1 1( , ) 0u u  1 0 
Tương tự ta chứng minh được 2 3 ... 0m     
Vậy S độc lập tuyến tính.
5.2. Bù vuông góc của không gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh.
Định lý
Giả sử E = {e1, e2, ..., en} là cơ sở trực chuẩn của không
gian Euclid V. Khi đó với mọi , x có thể biễu diễn
duy nhất ở dạng x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen
với ( , )i ix x e
x V
1 1 2 2 ... n nx V x x e x e x e     
khi đó 1 1 2 2( , ) ( ... , )i n n ix e x e x e x e e   
1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )i i i n n ix e x e e x e e x e e   
vì E là cơ sở trực chuẩn nên
0,
( , )
1,
neáu 
neáu 
i j
i j
e e
i j

 

vậy ta có ( , )i ix x e
5.2. Bù vuông góc của không gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
1 1 2 1 1 1 1 1
, , ; , ,0 ; , ,
6 6 6 2 2 3 3 3
E
             
     
Cho cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V
Tìm tọa độ của véctơ trong cơ sở E.(3, 2,1)v  
1
2
3
[ ]E
v
v v
v
 
 
 
 
 
1 1 2 2 3 3v v e v e v e   
1 1( , )v v e
3
;
6

2 2( , )v v e
1
;
2
 3 3( , )v v e
6
3

5.2. Bù vuông góc của không gian con
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 2{ , ,..., }nE e e e
Cho cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V
Cho hai véctơ của V: 1 1 2 2 .. n nx x e x e x e   
1 1 2 2 .. n ny y e y e y e   
Xét tích vô hướng của x và y:
1 1 2 2 1 1 2 2.. ..(x,y)=( , )n n n nx e x e x e y e y e y e     
1 1 1 1 2 2 2 2( , ) ( , ) .. ( ,(x,y)= )n n n nx y e e x y e e x y e e  
1 1 2 2 ..(x,y)= n nx y x y x y  
Khi làm việc với cơ sở trực chuẩn thì công việc tính tích vô
hướng của hai véctơ rất nhanh gọn!!
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khi làm việc với không gian Euclid V, ta làm việc với cơ sở của
không gian véctơ.
Theo định lý trên và ví dụ ở slide trước ta thấy nếu cơ sở là trực
chuẩn thì công việc tính toán rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vô
hướng của hai véctơ, tính độ dài, khoảng cách, )
Yêu cầu đặt ra: tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V.
Bước 1. Trước hết, ta chọn một cơ sở tùy ý E của V.
Bước 2. Dùng quá trình Gram – Schdmidt sau đây đưa E về cơ sở
trực giao.
Bước 3. Chia mỗi véctơ cho độ dài của nó ta được cơ sở trực chuẩn.
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quá trình Gram – Schmidt là quá trình đơn giản dùng để
tìm một cơ sở trực giao, sau đó là cơ sở trực chuẩn cho một
không gian con của không gian Euclid.
Cho là họ độc lập tuyến tính của không
gian Euclid V.
Định lý (quá trình Gram – Schmidt)
1 2, ,...,{ }mE e e e
1 2, ,...,{ }mF f f f
Khi đó có thể xây dựng từ E một họ trực giao
sao cho 1 2 1 2, ,..., , ,...,m mf f f e e e  
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt
Chọn 1 1f e
2 1
2 2 1
1 1
( , )
( , )
e f
f e f
f f
  
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
e f e f
f e f f
f f f f
  
1 2 1
1 2 1
1 1 2 2 1 1
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
k k k k
k k k
k k
e f e f e f
f e f f f
f f f f f f


 
    
Khi đó {f1, f2, ..., fm} là cơ sở trực giao của W.
Tìm 2 2 1 1f e f 
2 1 2 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )f f e f f f   2 1 1 1 10 ( , ) ( , )e f f f  
2 1
1
1 1
( , )
( , )
e f
f f
  
3 3 3 1 1 2 2Tìm ôû daïng f f e f f   
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Trong cho họ đltt E= {(1,0,1,1), ), (0,1,1,1), (1,1,1,1)}
Dùng quá trình Gram –Schmidt tìm họ trực giao, họ trực chuẩn.
4R
1 2 3{ , , }F f f f 1 1 (1,0,1,1)f e Chọn
2 1
2 2 1
1 1
( , )
( , )
e f
f e f
f f
 Tìm
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
e f e f
f e f f
f f f f
  Tìm
2
(0,1,1,1) (1,0,1,1)
3
 
2 1 1
( ,1, , )
3 3 3


Chọn 2 ( 2,3,1,1)f  
2 2 1 1
( , , , )
5 5 5 5
 

Chọn 3 (2,2, 1, 1)f    Họ trực giao cần tìm 1 2 3, ,{ }F f f f
Chia mỗi vectơ cho độ dài của nó ta được họ trực chuẩn
1 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1
,0, , , , , , , , , ,
3 3 3 15 15 15 15 10 10 10 10
        
      
      
5.3 Quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Chọn một cơ sở tùy ý của F:
Bước 3. Cơ sở trực chuẩn là:
2 1 1 2 5 1 6
, , ,0 , , , ,
6 6 6 66 66 66 66
     
    
    
Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho
không gian con
Ví dụ
 1 2 3 41 2 3 4
1 2 3 4
0
( , , , ) 
2 3 3 0
x x x x
F x x x x
x x x x
    
 
    
Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của F.
(2, 1,1,0);(0, 1,0,1){ }E   
Bước 2. Dùng quá trình Gram Schmidt đưa E về cơ sở trực giao
1 2,{ }F f f 1 1 (2, 1,1,0)f e  Chọn
Tìm ở dạng2f
2 1
2 2 1
1 1
( , )
( , )
e f
f e f
f f
  (2,5,1, 6) 
5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian Euclid V cho không gian con F và
một véctơ v tùy ý.
Véctơ v có thể biễu diễn duy nhất dưới dạng:
| & v f g f F g F   
véctơ f được gọi là hình chiếu vuông góc của v xuống F:
prFf v
Nếu coi véctơ v là một điểm, thì độ dài của véctơ g là khoảng
cách từ v đến không gian con F.
( , ) || || || ||d prFv F g v v  
5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán. Cho không gian con F và một vectơ v.
1) Tìm hình chiếu vuông góc của v xuống F.
Giải câu 1). Tìm một cơ sở của F. Giả sử đó là:
v f g 
2) Tìm khoảng cách từ v đến F.
1 2, ,...,{ }mf f f
1 1 2 2 ... m mx f x f x f g    
1 1 1 2 1 2 1 1 1
1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , )
... ... ...
( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , )
m m
m m
m m m m m m m
x f f x f f x f f g f v f
x f f x f f x f f g f v f
x f f x f f x f f g f v f
    
     


     
Giải hệ tìm 1 2, ,..., mx x x 1 1 2 2 ...prF m mv f x f x f x f    
câu 2). ( , ) || || || ||prFd v F g v v  
5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho
không gian con
Ví dụ
 1 2 3 41 2 3 4
1 2 3 4
0
( , , , ) 
2 3 3 0
x x x x
F x x x x
x x x x
    
 
    
1) Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ xuống F.(1,1,0,1)x 
2) Tìm khoảng cách từ véctơ đến F.(1,1,0,1)x 
1). Tìm một cơ sở của F: 1 2(2, 1,1,0), ( 2,1,0,1){ }E f f    
1 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2 2 2 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
x f f x f f x f
x f f x f f x f
 

 
1 2
1 2
6 5 1
5 6 1
x x
x x
 
 
   
1 2
1 1
,
11 11
x x

   1 1 2 2Fpr x x f x f  
4 2 1 1
( , , , )
11 11 11 11
 

2). ( , ) || || || ||d prFx F g x x  
7 13 1 12
, , ,
11 11 11 11
   
 
3
2) Tìm khoảng cách từ đến F.
5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian véctơ P2[x] với tích vô hướng
1
0
( , ) ( ) ( )p q p x q x dx 
Cho không gian con
Ví dụ
( ) | (1) 0{ }F p x p 
1) Tìm hình chiếu của xuống F.2( ) 2 1f x x x  
2( ) 2 1f x x x  
1). Tìm một cơ sở của F: 21 2, 1{ }E f x x f x    
1 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2 2 2 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
f f f f f f
f f f f f f
 
 
 

 
Sử dụng tích vô hướng đã cho, tìm hệ ptrình, giải, tìm 1 2, 
Suy ra hình chiếu vuông góc và khoảng cách.