Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 0: Số phức - Đặng Văn Vinh

-----------------------------------------------------------------------------------
dụ
Tìm dạng mũ của số phức sau
3= - +z i
Dạng lượng giác:
5 5
2(cos sin )
6 6
z i
 
= +
Dạng mũ:
5
62
i
z e

=
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ. Cho z = 2 + i. Tính z5.
=+= 55 )2( iz
=++++++= 555
44
5
323
5
232
5
41
5
50
5 22222 iCiCiCiCiCC
=++-+-++= iii 1.2.5).(4.10)1.(8.10.16.532
i4138+-=
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức
2 ; iz e R += 
Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn
2(cos sin )z e i = +
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức
3 ; a iz e a R+= 
(cos3 sin3)az e i= +
Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa
thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n
z a bi= +
2 2 2( )( ) ( ) (2 )z z z a bi a bi a b ab i=  = + + = - +
3 3 3 2 2 3( ) 3 3 ( ) ( ) ...= + = + + + =z a bi a a bi a bi bi
0 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n n n n n n nn n n nz a bi C a C a bi C a bi C bi
- -= + = + + + +
nz A iB= +
--------------------------------------------------------------
Lũy thừa bậc n của số phức i:
i=1
12 -=
iiii -=-== )1(23
1)1()1(224 =--== ii
iiiii === 145
1)1(1246 -=-== iii
iiiii -=-== )(1347
111448 === iii
Lũy thừa bậc n của i
Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in = ir, với r là phần dư của n chia
cho 4.
0.3 Dạng mũ của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dụ
Tính
1987=z i
1987 4 496 3=  +
1987z i=
4 496 3 3i i i += = = -
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho z = 1 + i.
a) Tìm z3;
b) Tìm z100.
Ví dụ
3 3) (1 )a z i= + 2 31 3 3i i i= + + +
1 3 3z i i= + - -
2 2z i= - +
) Tính töông töï raát phöùc taïp. Ta söû duïng caùch khaùcb
[ (cos sin )] (cos sin )n nr i r n i n   + = +
Công thức De Moivre
Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
z a bi= + (cos sin )r i = +
2 2(cos2 sin2 )z z z r i =  = +
3 2 3(cos3 sin3 )z z z r i =  = +
1 (cos sin )n n nz z z r n i n -=  = +
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:
a) (1 + i)25 200)31( i+-b)
20
17
)212(
)3(
i
i
+
-
c)
Giải. a) Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác
)
4
sin
4
(cos21

iiz +=+=
Bước 2. Sử dụng công thức de Moivre’s:
)
4
25
sin
4
25
(cos)2()]
4
sin
4
(cos2[ 252525

iiz +=+=
Bước 3. Đơn giản )
4
sin
4
(cos221225

iz +=
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa căn bậc n của số phức
Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong 
đó n là số tự nhiên.
(cos sin )z a bi r i = + = +
2 2
(cos sin ) (cos sin )n nn k
k k
z r i z r i
n n
   
 
+ +
= + = = +
với k = 0, 1, 2, , n – 1.
Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diễn các nghiệm lên 
trên mặt phẳng phức.
3 8a)
4 3 + ib) 8
16
1
i
i+
c)
6
1
3
i
i
+
-
d) 5 12i+e) 1 2i+f)
Giải câu a)
Viết số phức ở dạng lượng giác: 8 8(cos0 sin 0)i= +
Sử dụng công thức: 
3 0 2 0 28(cos0 sin 0) 2(cos sin )
3 3
k
k k
i z i
 + +
+ = = +
0,1,2.k =
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý cơ bản của Đại số cho biết được số nghiệm của phương
trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế nào.
Hệ quả
Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực,
a – bi cũng là một nghiệm phức.
Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng
sau đây
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu b)
Viết số phức ở dạng lượng giác:
Sử dụng công thức: 
44
2 2
6 62(cos sin ) 2(cos sin )
6 6 4 4
 
   + +
+ = = +k
k k
i z i
0,1,2,3.=k
3 2(cos sin )
6 6
 
+ = +i i
0 z
1 z
2 z
 z
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng
minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm.
Định lý cơ bản của Đại số
Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)
1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i
dụ
làm nghiệm.
2) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i
làm nghiệm.
1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.
Đa thức cần tìm là:
1 1 2 2( ) ( )( )( )( )P z z z z z z z z z= - - - -
( ) ( 3 )( 3 )( (2 ))( (2 ))P z z i z i z i z i= - + - + - -
2 2( ) ( 9)( 4 5)P z z z z= + - +
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Giải các phương trình sau trong C.
015 =-+ iza)
0122 =-++ izzd)
0224 =++ zzc)
012 =++ zzb)
Giải. Giải phương trình 02 =++ cbzaz
acb 42 -=Bước 1. Tính
Bước 2. Tìm 2,1
2 4 =-= acb
Bước 3. 1 21 2 ; 2 2
b b
z z
a a
- + - +
= =
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ
quả ta có 2 –i cũng là nghiệm.
P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) =
= z2 – 4z + 5
P(z) có thể ghi ở dạng
P(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9)
z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm
của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i.
(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)
Tìm tất cả các nghiệm của 
biết 2 + i là một nghiệm. 
dụ
4536144)( 234 +-+-= zzzzzP
0.5 Định lý cơ bản của Đại số
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải phương trình sau trong C.
9 0z i+ =
dụ
9z i= - 9z i = - 9 cos sin
2 2
z i
 - -
 = +
2 2
2 2cos sin
9 9k
k k
z i
 
 
- -
+ +
 = +
0,1,...,8.k =
Kết luận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
. Dạng Lượng giác của số phức
)sin(cos  irz +=
. Nâng lên lũy thừa
)sin(cos)]sin(cos[  ninrirz nnn +=+=
. Căn bậc n của số phức
2
sin
2
(cos)sin(cos
n
k
i
n
k
rzirz nk
nn


+
+
+
==+=
.1,...,3,2,1 -= nk
. Dạng Đại số của số phức
biaz +=
Thực hiện phép toán
tập 1
)2(
)32(
5
2
ii
i
z
-
+
=
Viết số phức sau ở dạng lượng giác.
tập 2
)3)(1( iiz ++-=
Viết số phức sau ở dạng đại số
tập 3
5)32( iz -=
Tìm tất cả các số phức z thỏa
tập 4
1|21| +- iz
Cho |z| = 2. Chứng tỏ
tập 5
6 8 13z i+ + 
Cho |z| = 1. Chứng tỏ
tập 6
21 | 3 | 4z - 
Tìm số phức z thỏa
tập 7
2z z i- = +
Tìm số phức z thỏa
tập 8
2
1 12 6z i z+ + =
Cho z là một số phức khác 0. Tìm môđun của số phức sau
tập 9
2008z i
z

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các
phức z thỏa mãn
Bài tập 10
z
k
z i
=
-
với k là số thực dương cho trước.
Tìm số phức z thỏa mãn
Bài tập 12
4
1
z i
z i
+ 
= 
- 
Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
tập 11
1
1
z
z i
-
=
-
và
3
1
z i
z i
-
=
+
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
tập 13
3 2
1
i i
z
i i
- +
= -
+
Giải phương trình .
tập 14
2 | | 0z z+ =
Viết dạng lượng giác của mỗi số phức
tập 15
2) sin 2sin
2
 a i

 + ) cos (1 sin ) b i + +
Tìm số căn bậc hai của số phức z = - 8 + 6i.
Bài tập 16
Viết số phức sau ở dạng đại số
tập 17
5)32( iz -=
Tìm tất cả các số phức z thỏa
tập 18
1|21| +- iz
Chứng minh rằng nếu là một số ảo thì |z| = 1.
tập 20
1
1
z
z
+
-
Xác định phần thực của số phức
tập 19
1
1
z
z
+
-
biết rằng |z| = 1 và 1.z 
tập 21
Tính và5cos 5sin
Tính vàncos nsin
tập 22
Tính , với
31
1
i
i
z
+
-
=6 z
tập 23
Tính , với 16=z4 z
Bài tập 24
Tính 3 22 i+-
tập 25
Tính i41+
tập 26
Giải phương trình 07 =+ iz
tập 27
Giải phương trình 012 =-++ izz
Bài tập 28
Chứng tỏ rằng số phức 2 + 3i là một nghiệm của phương trình
05216174 234 =+-+- zzzz
và tìm tất cả các nghiệm còn lại.
Bài tập 29
Giải phương trình
02)22()2( 23 =-+++- iziziz
biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
Bài tập 30
Phân tích x3 + 27 ra thừa số bậc nhất và bậc hai.
Bài tập 31
Tính 0 2 4 2006 20082008 2008 2008 2008 2008A C C C C C= - + -    - +
Bài tập 32
Tính
 nA cos3cos2coscos ++++=
Bài tập 33
Tính
cos cos( ) cos( ) cos( )A b b b b n  = + + + + + +    + +2
Viết dạng lượng giác của mỗi số phức
tập 34
2) sin 2sin
2
 a i

 + ) cos (1 sin ) b i + +
Tìm số phức z sao cho |z| = |z – 2| và một argument của z – 2 bằng
tập 35
một argument của z + 2 cộng với .
2

Chứng minh rằng nếu ba số phức thỏa mãn
tập 36
thì một trong ba số đó phải bằng 1.
1 2 3, ,z z z
1 2 3
1 2 3
| | | | | |
1
z z z
z z z
= =

+ + =
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
tập 37
2
2
z
z
-
+
phức z sao cho có một argument bằng .
3
