Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 1 - Năm học 2010-2011

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 8 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN. CA 1
Câu 1 : Cho ma trận A =
(
1 + 2 i 2 − i
1 + 2 i 3 + 2 i
)
. Đặt z =det ( A) . Tính 5
√
z.
Câu 2 : Cho hai ma trận A =

 1 −1 0−1 2 1
3 −3 1

 và B =

 −2 3 61 − 2 5
3 1 7

 .
Tìm ma trận X thỏa 2 I +AX = BT .
Câu 3 : Giải hệ phương trình


x1 + x2 − x3 − 2 x4 = 0
2 x1 + x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0
3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 = 0
5 x1 + 3 x2 − 7 x3 − 1 2 x4 = 0
Câu 4 : Trong IR3, cho tích vô hướng
( x, y ) = ( ( x1, x2, x3 ) , ( y1, y2, y3 ) ) = 3 x1y1 + 2 x1y2 + 2 x2y1 + 5 x2y2 + x3y3.
Tìm độ dài của vécto u = ( 1 , 2 ,−1 ) .
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết
f ( 1 , 1 , 1 ) = ( −6 ,−3 ,−3 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 6 , 5 , 2 ) , f ( 1 , 0 , 1 ) = ( 6 , 2 , 5 ) .
Tìm tất cả các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3 .
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết
f ( x ) = f ( x1, x2, x3 ) = ( 2 x1 + x2 − 3 x3, x1 + 2 x2 + x3, x1 − 2 x3 ) .
Tìm ma trận của f trong cơ sở E = { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 0 ) }
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f ( x1, x2 ) = 5 x21− 4 x1x2+ 8 x22 về dạng chính tắc bằng biến đổi TRỰC
GIAO. Nêu rõ phép đổi biến.
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 3, X1, X2,X3 ∈ IR3 là 3 vécto cột, độc lập tuyến tính. Biết
A ·X1 = X2, A ·X2 = X3, A ·X3 = X1. Tìm tất cả trị riêng và vécto riêng của A3.
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1