Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 1 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009 -20 10
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ L UẬN
CA 1
Câu 1 : Cho ma trận A =

 7 4 1 62 5 8
− 2 −2 − 5

. Tính A2010, b iết A có hai trị riêng là 1 và 3 .
Câu 2 : Tìm chiều và một cơ s ở TRỰC CHUẨN của k hông g ian nghiệm của hệ ph ương trình

x1 + x2 − x3 − 2 x4 = 0
2 x1 + x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0
3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 = 0
5 x1 + 3 x2 − 7 x3 − 1 2 x4 = 0
Câu 3 : Cho ánh x ạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, b iết ma trận của f trong cơ sở chính tắc là
A =

 2 1 − 11 3 4
− 1 1 0

. T ìm ma trận của f trong cơ sở E = { ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }.
Câu 4 : Cho ánh x ạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, b iết ma trận của f trong cơ sở
E = { ( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =

 2 1 −13 2 4
4 3 9

. Tìm cơ sở và số chiều của kerf .
Câu 5 : ChoA là ma trận v uông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10 = 0 . Chứng tỏ rằn g A chéo hoá được k hi
và chỉ khi A là ma trận không.
Câu 6 : Tìm m để ma trận A =

 1 −2 3− 2 5 1
3 1 m

 có b a trị riêng dương (có thể trùng nhau).
Câu 7 : Trong hệ trục toạ độ Oxy ch o đường cong ( C ) có ph ương trình 5 x2+2 xy+5 y2− 2 √2 x+4 √2 y = 0 .
Nhận dạng v à vẽ đường cong ( C ) .
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
Câu 1(1. 5đ). Chéo hóa ma trận ( 1đ) A = PDP−1; P =

 −2 −1 − 4−1 1 0
1 0 1

. D =

 1 0 00 3 0
0 0 3

.
A2010 = PD2010P−1, tính ra được P−1 =

 1 1 41 2 4
−1 − 1 − 3

; D2010 =

 1 0 00 3 2010 0
0 0 3 2010

.
Câu 2 (1 .5đ). T ìm một cơ sở tùy ý của kh ông gian n ghiệm: E = { ( 2 ,− 1 , 1 , 0 ) , ( 3 ,−1 , 0 , 1 ) }
Dùn g quá trình Gram-Schmid t đưa về cơ sở trực giao: E1 = { ( 2 ,− 1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 ,− 7 , 6 ) }
Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2 = { 1√
6
( 2 ,− 1 , 1 , 0 ) , 1√
67
( 4 , 1 ,− 7 , 1 ) }
1
Câu 3 (1.5 đ). Có n hiều cách làm. Ma trận chuyển cơ s ở từ chính tắc san g E là: P =

 1 1 12 1 1
1 2 1


Ma trận của ánh xạ tuyến tín h trong cơ sở E là B = P−1AP=

 8 1 1 6−2 −1 − 2
−3 −9 − 2


Câu 4(1. 5đ) . Giả sử x ∈ Kerf ; [x]E = ( x1, x2, x3 ) T . Khi đó f ( x ) = 0 ⇔ [f ( x ) ]E = 0 ⇔ A · [x]E = 0
⇔

 2 1 −13 2 4
4 3 9



 x1x2
x3

 =

 00
0

 ⇔ [x]E =

 6 α−1 1 α
α

⇔ x = ( − 1 0 α, 7 α,− 4 α ) .
Dim ( Kerf ) = 1 , cơ sở: ( 1 0 ,−7 , 4 ) .
Câu 5 (1 .5đ). Vì A10 = 0 nên A chỉ có một trị riêng là λ = 0 (th eo tính ch ất, n ếu λ0 là TR của A,
thì λ100 là TR của A10. A chéo hóa được ⇔ A = P ·D · P−1, D là ma trận 0 nên A = 0 .
Câu 6 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực có ba trị riêng d ương, suy ra dạng toàn p hương tương ứng xác
định d ương ( hay ma trận đã cho xác định dương ). Theo Sylvester, A xác định dương khi và chỉ khi
các định th ức con chín h dương ⇔ δ1 = 1 > 0 , δ 2 = 1 > 0 , δ3 = det( A) = m− 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 .
Câu 7(1. 0đ). Xét dạng toàn phương 5 x21 + 2 x1x2 + 5 x22 có ma trận A =
(
5 1
1 5
)
. Chéo hóa trực
giao ma trận A bởi ma trận trực giao P =
1√
2
(
1 −1
1 1
)
v à ma trận ch éo D =
(
6 0
0 4
)
Đường cong ( C ) có ptrình trong hệ trục Ouv v ới hai véctơ cơ sở là
(
1√
2
,
1√
2
)
,
(− 1√
2
,
1√
2
)
là:
6 ( u+ 1
6
) 2 + 4 ( v+ 3
4
) 2 = 11
12
. Đây là đường cong ellipse. Hệ trục Ouv thu được từ hệ Oxy bằng cách
quay 1 góc 4 5 o ngược chiều kim đồng hồ.
2