Bài giảng Cơ học lý thuyết

cebk.com
Design By haughtycool
A là đĩa tròn đặc, đồng chất có bán kính r và trọng lượng Q. AB là
thanh thẳng, mảnh, đồng chất, Ɵết diện đều, dài , trọng lượng
P. Cho r, , P, Q, , đĩa A lăn không trượt trên mặt
phẳng ngang cố định.
Bỏ qua ma sát lăn của đĩa và ma sát tại khớp bản lề A.
a. Xác định bậc tự do cho hệ và các tọa độ suy rộng cho hệ.
b. Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ. Phân ơch
chuyển động phức hợp của khối tâm C thuộc thanh AB. Viết
biểu thức ơnh vector vận tốc tuyệt đối cho điểm C này.
c. Tính động năng cho toàn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng
đã chọn cho hệ.
constM
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ.
Bài sửa
a.
Dofhệ = 2 (để biết chuyển động của hệ cần phải biết chuyển động
của 2 vật hoặc nếu ta giữ cố định cả 2 vật thì hệ mới đứng yên
được)
b.
 Phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ:
(Hình II.15.1)
Chọn 2 tọa độ suy rộng: q1  1; q2 2
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.15.1
A
C
B
P

Q

Ir
M
2
1
x
 AAav

C
ev

C
av

C
rv

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Thanh thẳng AB:
Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với TVTTT là 
điểm chưa xác định.
Chuyển động song phẳng trong mặt phẳng chứa vật với tâm vận 
tốc tức thời (TVTTT) là điểm Ɵếp xúc I.
 Phân ơch chuyển động phức hợp của khối tâm C của thanh
AB.
 Chuyển động kéo theo : tịnh Ɵến cùng với tâm A.
 Quỹ đạo tâm A là đường thẳng .   AA a Av 

 
 Đĩa tròn A:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Chuyển động tương đối: quay quanh tâm A.
 Viết biểu thức ơnh: 
c. Động năng toàn hệ:
C C C
a e rv v v 
  
        
 
2 2 2
2
2
2
1 2 2 1 2
2 cos
. . . .cos . .
2
C A C A C
a a r a rv v v v v
r r

    
   
    
 
   
A ABT T T heä
C CA
rv v AC 
 
Do đó:
C A
e av v
 
Do đó:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 2 21 1 .
2 2
A A
A a A AT m v J  Vôùi :
1
2 2
1
; . .
1
. .
2 2
A
A a
A A
A
Ta
Q
m v r
g
Q
J m r r
g

 
 
 

 coù : 

2 2 2 2
1 1
2 2
1
. .
2 4
3
.
4
A Q QT r r
g g
Q
r
g
 

  

 

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 2 21 1 .
2 2
AB C
AB a C ABT m v J   
2
2 2
;
1
. .
12 12
AB AB
C AB
Ta
P
m
g
P
J m
g
  
 
 coù : 
 
2 2 2 2
1 2 2 1 2. . . .cos . .2 6 2
AB P P PT r r
g g g
           
2 2 2 2
1 2 2 1 2
1 3
. . . .cos . .
2 2 6 2
P P
T P Q r r
g g g
         
 
heäVaäy :     
d.
 Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q1  1 .
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0
 Tổng công khả dĩ của các tải:
 
1
A A 


 
 M
M.
1
1
A
Q


   M
 Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q2 2 .
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 > 0.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
  2 2. sin2CA A P P h P           
 
2 2
2
.sin
2
A
Q P



    
1
2 2.sin2
Q
Q P 

 
Vaäy :

M
2
0C
2
C
A
2
Ch
P

Hình II.15.2
 Tổng công khả dĩ của các tải tác động:(Hình II.15.2)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e.
 Phương trình Lagrange 2:
1
1 1
d T T
Q
dt  
  
    
2
2 2
d T T
Q
dt  
  
    
2
1 2 2
1
1 2
. . .cos .
3 2
T P
P Q r r
g g
  

           
Vôùi :  

2 2
1 2 2 2 2
1
1 2
. . . . sin . cos .
3 2
d T P
P Q r r
dt g g
    

                  
  

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
10
T




2
2 2 1
2
. . . cos .
3 2
T P P
r
g g
  

 
     
  

 2 2 2 1 2 2 1
2
. . sin . . cos .
3 2
d T P P
r
dt g g
     

   
         
    

2 1 2
2
. .sin . .
2
T P
r
g
  


 

 
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 2 21 2 2 2 21 3 . . .cos . . . sin .2 2 2
P P
P Q r r r
g g g
         
 
Vaäy :     M
2
2 1 2 2. .cos . . .sin2 3 2
P P
r P
g g
     
  
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài tập 16. Cho
a. Xác định bậc tự do cho hệ và chọn tọa độ suy rộng cho hệ.
b. Phân ơch chuyển động của các vật rắn trong hệ. Xác định vận
tốc góc của ròng rọc kép 3 và vận tốc tuyệt đối của vật A.
c. Tính động năng cho toàn hệ.
d. Xác định các lực suy rộng cho hệ.
e. Viết hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ. Giải hệ
phương trình này.
1 2 31 2 3 1 2 2 1 3 3
, , , , , , , , , 2 2 2 .A O O Om m m m J J J R r R r r   M M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Các nhánh dây trong hệ có
các ơnh chất: mềm, nhẹ,
không giãn, không trượt
trên các vật và luôn căng. Bỏ
qua ma sát ở các khớp bản
lề. (Hình II.16)
Hình II.16
1O
1r
3R
3r
2R
2O
3O
A
1M
B D
EC
2M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Bài sửa
a. Dofhệ = +2. vì ta cần dùng 2 thông số độc lập 1 và 2 mới xác
định được vị trí của toàn hệ.
Chọn 2 tọa độ suy rộng q1 1 ; q2  2
b.
 Phân ơch chuyển động các vật:
 Ròng rọc 1: quay quanh tâm O1 cố định.
 Ròng rọc 2: quay quanh tâm O2 cố định.
 Ròng rọc kép 3: chuyển động song phẳng.
 Vật A tịnh tiến thẳng đứng.
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
Hình II.16.1
1O
1r
3R
3r
2R
2O
3O
A
1M
21 D
av

E
av

C
av

B
av

B D
E
C
2M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Xác định 3:
 Ta có: C B
a a
E D
a a
v v
v v
 


 
 
1 1 1
2 2 2
. .
. 2 .
B
a
D
a
v r r
v R r
 
 
  

 
Maø : 


 Xác định tâm vận tốc tức thời ròng rọc 3:
(Hình II.16.2)
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Vận tốc góc của ròng rọc 3:
 1 23 1 2
. 2 . 1
2
3 3
C E C E
a a a av v v v r r
PC PE PC PE r
 
  
 
     

   
 Xác định vận tốc vật A:
Hình II.16.2
3O
E
av

C
av

EC
P
3O
av

Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 Vận tốc tâm O3:
3
3 3.
O
av PO 
 
1 1
3 1 2
1 2
. 3
.
1 22
3
C
av r r
 
   
 

Ta coù : PC =
 
  
 1 21
3 3
1 2 1 2
23
2 2
PO PC O C r r r
 
   

     
 
 
   
 3 1 2
2
.
3
O
av r   Vaäy :  
Do dây không giãn nên:
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 
 
3
3
3 1 2
1 2
1
2
3
2
3
OA
a a
OA
a a
v v
v v r
  
 

 
  
 
 
 
c.
 Tính động năng hệ:
1 2 3 AT T T T T   heä
1 1
1 2 2
1 1
1 1
.
2 2O O
T J J  Vôùi : 
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
2 2
2 2 2
2 2
1 1
. .
2 2O O
T J J   
 
   
     
3
3
3
3 3 3
23 2
3 3
2 2 2 2 2
3 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
3 1 3 2 3 1 2
1 1
.
2 2
1 4 1 1
2 . . 4. 4 .
2 9 2 9
1 2 2
4 . . . 2. . . .
18 9 9
O
a O
O
O O O
T m v J
m r J
m r J m r J J m r

       
   
 
     
     
       
   
   2 2 2 21 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 4
. 2 .
2 2 9
2 2 4
. . . . . . .
9 9 9
A A
A a A
A A A
T m v m r
m r m r m r
   
   
   
  
   
   
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 
1 3
3
3
2
2 2
2
1
2
2
2
1
2
3
2
2
3
3
1 4 4 4
.
2
1 4 1 4
. .
2 9
9
2
2
9 9
9
9
9
.
O O A
O O
O A
A
C
B
A
J m r J
J m m r
J m m r
m
JT r
r


 
    
 
 

 
 

 



 


heä 



 

d.
 Tính lực suy rộng Q1:
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0
 Tính A :      1 3 AA A A P A P     
 
M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 1 3 1
2
.
3 A
A gr m m       
 M
 
  3
1 1 1
3 3 3 3
.
. . . O
A
P P h m g s
 
  
 
   
Vôùi : 

M M
 33 1 21 2
2 2
3 3
OO
a
s
v r r
dt dt dt
  
        
 
Ta coù :  
 
  3
3 3 1
1
2
. . .
3
2
. . . . . .
3A A A A O A
A P m gr
A P P s m g s m gr
 
   
 
     
Do ñoù :


 
3 1 2 1
2 2
.
3 3O
s r r      
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 1 1 3
1
2
.
3 A
A
Q m m gr


      
 M
 Tính lực suy rộng Q2:
 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 >0
 Tính A :
     2 3 AA A A P A P     
 
M
 
  3
2 2 2
3 3 3 3
.
. . . O
A
A P P h m g s
 
  
 
   
Vôùi : 

M M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
 33 1 21 2
2 2
3 3
OO
a
s
v r r
dt dt dt
  
        
 
Ta coù :  
 
3 1 2 2
2 2
.
3 3O
s r r       
 
  3
3 3 2
2
2
. .
3
2
. . . . . .
3A A A A O A
A P m gr
A P P s m g s m gr
 
   
 
     
Do ñoù :


 2 2 3
2
2
.
3 A
A
Q m m gr


       
 M
 2 3 2
2
.
3 A
A gr m m        
 M
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool
e. Viết hệ phương trình vi phân cho hệ bằng cách dùng phương
trình Lagrange 2:
1 2
1
2 . C
d T
dt
A 

 
   
 

1 2
2
2
T
C
d
dt
B 

 
   
 

1 2
0
T T
 
 
 
 
 
 
1 2 1 3
1 2 2 3
2
2 .
3
2
. 2 . .
3
A
A
m m gr
m mB
A C
grC
 
 
    

    

Vaäy :
 
 
M
M
, 1,2i
i i
d T T
Q i
dt  
  
     
Copyright By Focebk.com
Design By haughtycool