Xây dựng bài toán phương trình bậc nhất liên quan đến thực tiễn

 giải bài toán đã biết 
trước bằng cách sử dụng các kiến thức, kĩ 
năng sẵn có cùng các dữ liệu đã cho trong 
bài toán để xác định được mô hình toán 
học và từ đó hoàn thành nốt bước tiếp 
theo. Điều này giúp người thiết kế thấy 
được rõ bản chất toán học của BTCTHTT. 
Sau đó, trong bước 2, dựa trên BTCTHTT 
đã được giải quyết (với mô hình toán học 
được xác định), người khai thác có thể tìm 
kiếm, liên hệ kết nối một cách thích hợp 
các tình huống thực tiễn (giả định) có 
chung mô hình toán học đã có nhằm tạo ra 
các bài toán mới theo nguyên tắc một mô 
hình, nhiều tình huống. Cách thiết kế này 
có thể sử dụng được cho giáo viên (GV) và 
HS. Tuy nhiên, đối với từng đối tượng thì 
yêu cầu thực hiện từng bước có sự khác 
nhau. Đối với GV khi thực hiện, chỉ cần 
xác định được mô hình toán học để từ đó 
tìm kiếm các BTCTHTT có mô hình toán 
học tương ứng. 
Để làm được như vậy, có thể sử dụng 
các cách sau: 
Cách 1: Thay đổi các đối tượng đề cập 
đến trong bài toán 
Mỗi BTCTHTT đều đề cập đến một 
hoặc nhiều đối tượng nào đó. Chẳng hạn, 
một bài toán “số tiền có được sau 3 năm 
gửi ngân hàng với lãi suất 5,4%”, như vậy 
đối tượng được đề cập ở đây là “số tiền”. 
Tuy nhiên, khi liên hệ với các tình huống 
khác trong thực tiễn, chúng ta có thể thấy 
tình huống này cũng tương tự tình huống 
tăng dân số, tăng trưởng vi khuẩn,... Vậy 
có thể thay “số tiền” bởi “dân số” hoặc “số 
vi khuẩn” để đề xuất một bài toán mới. 
Ví dụ 1: Xét bài toán cổ: “Vừa gà vừa 
chó bó lại cho tròn ba mươi sáu con, một 
trăm chân chẵn. Hỏi có mấy con gà và mấy 
con chó?” 
Mô hình toán học của tình huống thực 
tiễn này là: 
 “giải phương trình 2x+4(36-x)=100”. 
Bằng cách thay đổi đối tượng “gà, 
chó” bởi đối tượng “thuyền chở 2 người và 
thuyền chở 4 người”. Từ mô hình toán học 
trên chúng ta có được bài toán mới: 
Ví dụ 1.1: Để chở hết 100 người người 
ta dùng 36 cái thuyền, gồm 2 loại: thuyền 
chở được 2 người và thuyền chở được 4 
người. Hỏi mỗi loại thuyền có mấy cái”. 
 Bằng cách thay đổi đối tượng “gà, 
chó” bởi đối tượng “cabin chở 2 người và 
thuyền chở 4 người”. Từ mô hình toán học 
trên chúng ta có được bài toán mới: 
 Ví dụ 1.2: Một công ty du lịch dự 
định xây dựng một hệ thống cáp treo để 
chở khách tham quan. Qua khảo sát thì có 
thể lắp đặt được 36 cabin chở khách gồm 
2 loại, loại cabin chở được 2 người và loại 
cabin chở được 4 người. Thời gian để mỗi 
cabin di chuyển hết 1 vòng là 1 giờ. Để 
mỗi giờ công ty du lịch chở được 100 
khách thì phải lắp mỗi loại cabin bao 
nhiêu chiếc? 
Cách 2: Thay đổi các quan hệ, tính 
chất của đối tượng trong bài toán 
Mỗi đối tượng có thể có nhiều quan 
hệ, tính chất. Chẳng hạn, cùng xét về số 
tiền trong tình huống gửi ngân hàng, nhưng 
chúng ta xét số tiền có được sau 2 năm gửi, 
hoặc xét số tiền lãi thu được sau 2 năm, 
hoặc xét số tiền gửi hay xét số tiền trả 
góp... thì chúng ta sẽ có được các yêu cầu 
khác nhau của bài toán. Đây cũng là cách 
tạo ra bài toán mới. 
Ví dụ 1.3: Từ bài toán cổ trên, bằng 
cách thay đổi “gà”, “chó” tương ứng thành 
“xe chở được 4 khách” và “xe chở được 7 
khách”; thay đổi “36 chân” thành “85 xe”; 
thay đổi “100 chân” thành “445 khách”. Ta 
có bài toán: 
Hãng Taxi Airport có 85 xe ôtô chở 
PHẠM SỸ NAM – HÀ XUÂN THÀNH 
17 
khách gồm hai loại, xe chở được 4 khách 
và xe chở được 7 khách phục vụ khách tại 
Sân bay quốc tế Nội Bài. 
Vào thời gian cao điểm khi mà nhiều 
máy bay hạ cánh, nhu cầu khách đi lại 
nhiều, Hãng phải huy động cả 85 xe hoạt 
động và đã vận chuyển được 445 khách 
cùng lúc. Tính số xe ôtô mỗi loại?. 
Cách 3: Thay đổi giả thiết hoặc thay 
đổi kết luận của bài toán. 
Việc thay đổi giả thiết hoặc kết luận từ 
bài toán xuất phát sẽ tạo ra một cấu trúc 
khác. Do vậy, chúng ta sẽ có được một bài 
toán mới. Thực tiễn cuộc sống khá đa dạng 
sẽ tạo cơ hội để có thể thay đổi giả thiết 
hoặc kết luận theo nhiều hình thức khác 
nhau. Điều này làm cho các bài toán mới 
được phong phú hơn về nội dung. 
Ví dụ 1.4: Một lớp học muốn thuê 
dịch vụ của một công ty du lịch để tổ chức 
chuyến tham quan cuối khóa học. Có 2 
công ty đã được liên hệ để lấy các thông tin 
về giá. Công ty A có phí dịch vụ ban đầu là 
375 USD cộng với 0,5 USD cho mỗi km 
chiều đi có hướng dẫn viên tham gia. Công 
ty B có phí dịch vụ ban đầu là 250 USD 
cộng với 0,75 USD cho mỗi km hướng dẫn 
viên tham gia. 
a) Lớp học nên chọn công ty nào để 
thuê dịch vụ nếu biết rằng chuyến đi sẽ đến 
một địa điểm nào đó với tổng khoảng cách 
chiều đi là 600 km. 
b) Lớp học đi tham quan ở địa điểm có 
khoảng cách là bao nhiêu thì chi phí ở hai 
công ty là như nhau? 
Trong bài toán trên, mô hình toán học 
ở câu b là: 
“giải phương trình: 375+ 0,5x = 250 + 
0,75x”. 
Trong bài toán trên, có thể xem như là 
tính toán với hai biểu thức. Bằng cách thay 
đổi giả thiết chuyển mô hình bài toán về ba 
biểu thức, chúng ta có bài toán sau: 
Ví dụ 1.5: Có 3 hình thức trả tiền cho 
việc truy cập Internet như sau: 
- Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 
2.000 đồng; 
- Hình thức B: Thuê bao hằng tháng 
350.000 đồng và số giờ truy cập không hạn chế; 
- Hình thức C: Thuê bao hằng tháng 
45.000 đồng và mỗi giờ truy cập phải trả 
thêm 500 đồng. 
a) Em sẽ chọn hình thức nào để trả ít 
tiền hơn nếu tổng hợp số giờ truy cập hằng 
ngày trong tháng (30 ngày) lần lượt là 1,5 
giờ; 4 giờ; 8 giờ. 
b) Số giờ trung bình mỗi ngày nhà bạn 
D truy cập internet là bao nhiêu thì số tiền 
phải trả cho hình thức A và B là như nhau? 
B và C là như nhau?. 
Mô hình toán học trong câu b của bài 
toán trên là: 
“giải các phương trình 2000x = 
350000; 45000+500x = 350000”. 
Bằng cách chuyển sang điểm, chúng ta 
có bài toán. 
Ví dụ 1.6: Để thi vào lớp 10 chuyên 
Toán THPT, thí sinh phải thi 3 bài (Toán; 
Ngữ văn và Toán chuyên, với điểm bài thi 
Toán chuyên được tính hệ số 2). Trong kì 
thi năm 2015, bạn An đã thi vào chuyên 
Toán. Sau khi làm bài Toán và Ngữ văn, 
bạn An tự đánh giá bài thi Toán đạt 9,5 
điểm, bài thi Ngữ văn đạt 6,5 điểm. Biết 
điểm chuẩn (tổng điểm tất cả các môn đã 
nhân hệ số) vào chuyên Toán năm trước là 
30 điểm. Hỏi điểm bài thi Toán chuyên của 
bạn An phải là bao nhiêu để điểm của bạn 
bằng điểm chuẩn của năm ngoái?. 
Mô hình toán học của bài toán trên là: 
“giải phương trình 9,5 + 6,5+ 2x =30”. 
Thay đổi giả thiết về cách xác định 
điểm đỗ tốt nghiệp THPT, chúng ta có bài 
toán sau: 
XÂY DỰNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN 
18 
Ví dụ 1.7: Trong kì thi tốt nghiệp 
THPT, bạn B phải thi 3 môn bắt buộc là 
Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và 1 môn tự 
chọn là Địa lí. Sau khi thi 3 môn, bạn B so 
đáp án thì thấy bài thi môn Toán đạt 7,0 
điểm, bài thi môn Ngoại ngữ là 6,5 điểm, 
bài thi môn Ngữ văn đạt 6,0 điểm. Hỏi để 
được công nhận tốt nghiệp THPT thì bài 
thi môn Địa lí bạn B phải đạt bao nhiêu 
điểm?. Biết rằng để được công nhận tốt 
nghiệp THPT, điểm trung bình các môn thi 
phải đạt ít nhất 5,0 điểm và không có môn 
nào từ 1,0 điểm trở xuống. 
Thay đổi sang mô hình hàm số cho bởi 
nhiều công thức ta có bài toán sau đây: 
Ví dụ 1.8: 
Tập đoàn Viettel cung cấp các dịch vụ 
viễn thông. Trong đó có 2 gói dịch vụ là 
gói cước trả sau Basic + và gói cước trả 
trước Tomato. 
Bảng Gói cước Basic+ 
Loại cước Giá cước 
Cước thuê bao tháng 50.000 đ/ tháng 
Cước gọi: Đồng /phút 
Block 6s 
đầu 
1s tiếp 
theo 
Gọi nội mạng Viettel (Di động, Cố định) 890 89 14,83 
Gọi ngoại mạng Viettel (Di động, Cố định) 990 99 16,50 
Bảng gói cước Tomato 
Loại cước Giá cước 
Cước thuê bao tháng 0 đ/ tháng 
Cước gọi: Đồng/phút 
Block 6s 
đầu 
1s tiếp 
theo 
Gọi nội mạng Viettel (Di động, Cố định) 1590 159 26,5 
Gọi ngoại mạng Viettel (Di động, Cố định) 1790 179 29,83 
a) Hãy biểu thị số tiền phải trả y tính 
theo số phút gọi x đối với từng gói cước? 
b) Trong trường hợp người đó sử dụng 
50% cuộc gọi nội mạng và 50% cuộc gọi 
ngoại mạng thì với tổng thời gian gọi điện 
thoại là bao nhiêu thì số tiền mà người đó 
phải trả cho hai bảng gói cước là như nhau. 
3. Kết luận 
Như vậy, theo các bước nêu trên, 
chúng ta có thể thiết kế các bài tập chứa 
đựng tình huống thực tiễn dựa trên các bài 
toán có liên quan đến thực tiễn cho trước. 
PHẠM SỸ NAM – HÀ XUÂN THÀNH 
19 
Trong bối cảnh chương trình giáo dục phổ 
thông đang tiếp cận theo hướng phát huy 
năng lực học sinh thì việc tạo cơ hội cho 
giáo viên và học sinh xây dựng các bài 
toán có tính thực tiễn phục vụ cho quá trình 
dạy - học toán là một việc làm rất có ý 
nghĩa vì thông qua đó vừa cho học sinh 
thấy được vẻ đẹp của toán học qua các ứng 
dụng thực tiễn của nó; đồng thời qua các 
tình huống thực tiễn, học sinh có cơ hội 
được giải quyết các vấn đề trong thực tiễn 
đời sống hằng ngày. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sách giáo viên Đại 
số 10, Nxb GDVN. 
2. Trần Kiều (1998), “Toán học nhà trường và 
nhu cầu phát triển văn hóa Toán học”, Nghiên 
cứu giáo dục, (10/1998), tr.3-4. 
3. Nguyễn Bá Kim (2013), Phương pháp dạy 
học bộ môn Toán, Nxb ĐHSP Hà Nội. 
4. Pham Sy Nam, Max Stephens, Constructing 
knowledge of the finite limit of a function: An 
experiment in senior high school 
Mathematics, Proceedings of the 24
th
 Biennial 
Conference of The Australian of Mathematics 
Teachers Inc, Melbourne, Australia, page 
133-141, (2013). 
5. Pham Sy Nam, Max Stephens, A Teaching 
Experiments in Constructing the Limit of a 
Sequence, Journal of Science and 
Mathematics Education in Southeast Asia 
2014, Vol 37 No. 1, 1-20, (2014). 
6. Pham Sy Nam, Ha Xuan Thanh, Max 
Stephens (2014), Teaching experiments in 
constructing mathematical problems that 
relate to real life. Proceedings of the 
Innovation and Technology for Mathematics 
and Mathematics Education (ISIM-MED 
2014), Yogyakarta State University, 
Indonesia, page 411-420, (2014). 
Ngày nhận bài: 10/9/2017 Biên tập xong: 15/10/2017 Duyệt đăng: 20/10/2017