Mã mạng trên một số cấu trúc đại số

 ý tưởng mã mạng như sau: 
Hình 5. Mã mạng dựa trên 
p
 . 
Nhận xét: Vì 
p
 là nhóm cộng (theo modulop ) của các số nguyên ,a b nên A 
và B hoàn toàn xác định được a và b , và như vậy, A và B luôn có thể tính 
được thông tin cần nhận [13], [14]. 
* Ví dụ 2: Xét 
31
31 {0,1,2,..., 30}p    
- pha 1: A phát bản tin 13a  cho C. 
- pha 2: B phát bản tin 25b  cho C. 
- pha 3: C nhận được ,a b và tạo ra: ( )mod 31 (13 25)mod 31 7c a b     , sau 
đó, C phát quảng bá c cho A và B. 
+ A nhận được 7c  và tạo ra bản tin cần nhận là: 
( )mod (7 13)mod31 (7 18)mod31 25b c a p       
 Chú ý: 13mod 31 18mod 31  
+ B nhận được 7c  và tạo ra bản tin cần nhận là: 
( )mod (7 25)mod31 (7 6)mod31 13a c b p       
 Chú ý: 25mod31 6mod31  
2.3. Mã mạng trên vành đa thức 
2
[ ] / 1nx x  
Nếu ta coi thông tin cần truyền giữa A và B là các đa thức ( )
a
f x và ( )
b
f x 
(
2
( ), ( ) [ ] / 1n
a b
f x f x x x  ), khi đó ta có thể tạo được CR sử dụng mã mạng như 
hình 6 dưới đây. 
Hình 6. Mã mạng dựa trên 
2
[ ] / 1nx x  . 

p
a  pha 1 pha 2 
p
b  
pha 3 pha 3 
( )
p
c a b  
b c a  
A B C 
a c b  
( )
a
f x pha 1 pha 2 ( )
b
f x 
pha 3 pha 3 
( ) ( ) ( )
c a b
f x f x f x  
( ) ( ) ( )
b c a
f x f x f x  
A B C 
( ) ( ) ( )
a c b
f x f x f x  
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 54, 04 - 2018 129
Nhận xét: Vì các đa thức ( )
a
f x và ( )
b
f x là các phần tử trong nhóm cộng các đa 
thức (theo modulo 1nx  ) nên luôn tồn tại các đa thức ( )
a
f x và ( )
b
f x [13] và 
như vậy A và B luôn có thể xác định được thông tin cần nhận của chúng. 
* Ví dụ 3: Chọn 5n  xét vành đa thức 5
2
[ ] / 1x x  . 
- pha 1: A phát bản tin 3( ) 1
a
f x x x   cho C. 
- pha 2: B phát bản tin 3 4( ) 1
b
f x x x   cho C. 
- pha 3: C nhận được ( ), ( )
a b
f x f x và tạo ra 
3 3 4 4( ) ( ) ( ) 1 1
c a b
f x f x f x x x x x x x          
 sau đó, C phát quảng bá 4( )
c
f x x x  cho A và B. 
+ A nhận được ( )
c
f x và tạo ra bản tin cần nhận là 
4 3 3 4( ) ( ) ( ) (1 ) 1
b c a
f x f x f x x x x x x x          
+ B nhận được ( )
c
f x và tạo ra bản tin cần nhận là: 
4 3 4 3( ) ( ) ( ) (1 ) 1
a c b
f x f x f x x x x x x x          
2.4. Mã mạng sử dụng nhóm nhân 
2.4.1. Mã mạng trên GF(p) 
Với p là số nguyên tố, các thông tin là , ( )a b GF p . Khi đó, ta có thể dùng 
mô hình CR với mã mạng như sau: 
Hình 7. Mã mạng dựa trên GF(p). 
Nhận xét: Vì , ( )a b GF p và * ( ) \ {0}
p
GF p là một nhóm nhân cyclic cấp 
1p  , nên luôn tồn tại các phần tử nghịch đảo 1a và 1b . Như vậy, A và B luôn 
có thể tính được thông tin cần nhận [13], [14]. 
* Ví dụ 4: Xét *
17
17 {1,2,3,...,16}p    
- pha 1: A phát bản tin 6a  cho C. 
- pha 2: B phát bản tin 7b  cho C. 
- pha 3: C nhận được ,a b và tạo ra: . 6.7mod17 8c a b   , sau đó C phát quảng 
bá c cho A và B. 
+ A nhận được 8c  và tạo ra bản tin cần nhận là: 
 1. mod 8.3mod17 7b c a p   ( 6a   1 3a  ) 
+ B nhận được 8c  và tạo ra bản tin cần nhận là: 
( )a GF p pha 1 pha 2 ( )b GF p 
pha 3 pha 3 
.c a b 
1.b ca 
A B C 
1.a cb
Công nghệ thông tin & Cơ sở toán học cho tin học 
P. L. Âu, , N. L. Cường, “Mã mạng trên một số cấu trúc đại số.” 130 
 1. mod 8.5mod17 6a cb p   ( 7b   1 5b  ) 
Chú ý: các phép toán trên ( )GF p thực hiện theo modulo của .p 
2.4.2. Mã mạng trên trường đa thức 
2
[ ] / ( )x g x 
Giả sử ( )g x là một đa thức nguyên thủy bậc m trong phân tích của nhị thức 
1nx  và khi đó 
2
[ ] / ( )x g x là một trường các đa thức. Trong trường hợp này, ta 
coi thông tin cần truyền từ A tới B là đa thức ( )
a
f x và từ B đến A là ( )
b
f x với 
deg ( ) 1
a
f x m  ;deg ( ) 1
b
f x m  , vì 
2
( ), ( ) [ ] / ( )
a b
f x f x x g x  nên luôn tồn 
tại và tính được 1( )
a
f x và 1( )
b
f x (có thể tính theo thuật toán Euclide mở rộng). Vì 
vậy, ta có thể xây dựng CR với mã mạng như sau: 
Hình 8. Mã mạng dựa trên trường đa thức. 
Nhận xét: C tạo ra thông tin quảng bá ( ) ( ) ( )
c a b
f x f x f x (sử dụng phương pháp 
che giấu dữ liệu dùng mặt nạ nhân nhưng không dùng để bảo mật). 
* Ví dụ 5: Chọn 5n  ta có 5 1x  có phân tích như sau: 
5 2 3 4
1 2
1 (1 )(1 ) ( ). ( )x x x x x x g x g x        
Xét trường: 2 3 4
2 2 2
[ ] / ( ) [ ] / (1 )x g x x x x x x      
Với 
2
deg ( ) 4m g x  
Quá trình truyền tin: 
- pha 1: A phát bản tin 2( ) 1
a
f x x x   cho C. 
- pha 2: B phát bản tin 2( ) 1
b
f x x  cho C. 
- pha 3: C nhận được ( ), ( )
a b
f x f x và tạo ra ( )
c
f x 
2 2 2
2
( ) ( ). ( )mod ( ) (1 )(1 )
c a b
f x f x f x g x x x x x      
 sau đó, C phát quảng bá 2( )
c
f x x cho A và B. 
+ A nhận được ( )
c
f x và tạo ra bản tin cần nhận là: 
1 2 3 2
2 2
( ) ( ) ( )mod ( ) (1 )mod ( ) 1
b c a
f x f x f x g x x x g x x     
+ B nhận được ( )
c
f x và tạo ra bản tin cần nhận là: 
1 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )mod ( ) ( )mod ( ) 1
a c b
f x f x f x g x x x x g x x x      
Chú ý: 
 + 2 1 3( ) 1 ( ) 1
a a
f x x x f x x      
( )
a
f x pha 1 pha 2 ( )
a
f x 
pha 3 pha 3 
 ( ) ( ) ( )
c a b
f x f x f x ( ) ( ) ( )
c a b
f x f x f x
A B C 
1( ) ( ) ( )
b c a
f x f x f x
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 54, 04 - 2018 131
 + 2 1 2( ) 1 ( )
b b
f x x f x x x     
 + Các phép tính khi lấy modulo theo 2 3 4
2
( ) 1g x x x x x     ta coi: 
 4 2 31x x x x    . 
 3. KẾT LUẬN 
Bài báo đưa ra một số ý tưởng xây dựng mã mạng trên năm cấu trúc đại số: 
trên đường cong elliptic; vành số p ; vành đa thức; trường ( )GF p và trên trường 
đa thức. 
Ngoài các cấu trúc trên, có thể mở rộng ý tưởng mã mạng trên cấu trúc đại số 
khác như vành ma trận 
Các nội dung trong bài báo mới chỉ là các đề xuất sử dụng một số cấu trúc đại 
số trong mã mạng hay vô tuyến hợp tác, hiệu quả của các vô tuyến hợp tác này như 
thế nào thì cần phải có các đánh giá và khảo sát trên từng cấu trúc đại số cụ thể. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. A. Nosratinia, T. Hunter and A. Hedayat, “Cooperative communication in wireless 
networks”, Communication Magazine, IEEE, vol. 42, Oct 2004, pp.74 – 80. 
[2]. X. Tao, X. Xu, and Q. Cui, “An overview of cooperative communications”, 
Communications Magazine, IEEE, vol. 50, June 2012, pp. 65-71. 
[3]. T. Ho, M. Medard, R. Koetter, D. Karger, M. Effros, J. Shi, and B. Leong, “A 
random linear network coding approach to multicast,” IEEE Transactions on 
Information Theory, vol. 52, pp. 4413-4430, Oct, 2006. 
[4]. N. Ratnakar, D. Traskov, and R. Koetter, “Approaches to network coding for 
multiple unicast,” in Communications, 2006 International Zurich Seminar on, 
pp.70-73, Oct 2006. 
[5]. X. Wang, W. Guo, Y. Yang, and B. Wang, “A secure broadcasting scheme with 
network coding,” Communications letters, IEEE, vol. 17, pp.1435-1538, July 2013. 
[6]. Q. Li, J.-S Lui, and D.-M Chiu, “On the security and efficiency of content 
distribution via network coding,” Dependable and secure computing, IEEE 
Transactions on, vol. 9, pp. 211-221, March 2012. 
[7]. X. Yang, E. Dutkiewicz, Q. Cui, X. Tao, Y. Guo, and X. Huang, “Compressed 
network coding for distributed storage in wireless sensor networks,” in 
Communications and Information Technologies (ISCIT), 2012 International 
Symposium on, pp. 816-821, Oct 2012. 
[8]. Cuong Cao Luu, Dung Van Ta, Quy Trong Nguyen, Sy Nguyen Quy, Hung Viet 
Nguyen, (Oct 15-17, 2014), “Network coding for LTE-based cooperative 
communications”, the 2014 International Conference on Advanced Technologies for 
Communications (ATC), Hanoi, Vietnam. 
[9]. F. de Asis Lopez-Fuentes and C. Cabrera Medina, “Network coding for streaming 
video over p2p networks”, in Multimedia (ISM), 2013 IEEE International 
Symposium on, pp. 329-332, Dec. 2013. 
Công nghệ thông tin & Cơ sở toán học cho tin học 
P. L. Âu, , N. L. Cường, “Mã mạng trên một số cấu trúc đại số.” 132 
[10]. R. Ahlswede, N. Cai, S. Y. Li & R. Young, “Network information flow”. Information 
theory. IEEE. Trans on vol IT- 46, No. 4, pp 1204 - 1216, jul 2000. 
[11]. R. W. Yeung and Z. Zhang, “Distributed source coding for satellite 
communications”, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-45, pp. 1111–1120, 1999. 
[12]. Jean-Yves Chouinard - ELG 5373, “Secure Communications and Data Encryption, 
School of Information Technology and Engineering”, University of Ottawa, April 2002. 
[13]. Rudolf Lidl, Harald Niederreiter, “Finite Fields”, (Encylopedia of Mathematics and 
Its Appliaction; Volume 20. Section, Algebra), Addison-Wesley Publishing 
Company, 1983. 
[14]. Nguyễn Chánh Tú, “Lý thuyết trường và Galois”, Đại học Sư phạm Huế. 
ABSTRACT 
NETWORK CODING OVER SOME ALGEBRAIC STRUCTURES 
Network coding is a networking technique in which transmitted data is 
encoded and decoded to increase network throughput, reduce delays and make 
the network more robust. Network coding techniques use some mathematical 
manipulations on the data to minimize the number of transmission sessions 
between the source node and the destination node, but this requires more 
processing at intermediary nodes and terminal nodes. This paper presents some 
ideals constructing network coding based on some common algebraic structures 
such as addition groups on elliptic curve; on number ring; on polynomial ring, 
multiplicative groups on ( )GF p ; polynomial field. 
Keywords: Network coding, Cooperative radio, Number ring, Polynomial ring, Finite field, Elliptic curve. 
Nhận bài ngày 20 tháng 12 năm 2017 
Hoàn thiện ngày 08 tháng 3 năm 2018 
Chấp nhận đăng ngày 10 tháng 4 năm 2018 
Địa chỉ: 1 Cục Kỹ thuật nghiệp vụ II, Tổng cục An ninh, Bộ Công an; 
 2 Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông; 
 3 Đại học Điện lực. 
 * Email: thiennd@ptit.edu.vn.