Tính chất nghiệm của bài toán tối ưu nửa đại số

ết để sử dụng cho các phần tiếp theo. 
Ta nói rằng 𝐹 là một ánh xạ đa trị từ 𝑋 vào 𝑌, ký hiệu là 𝐹: 𝑋 ⇉ 𝑌, nếu với mọi 𝑥 ∈ 𝑋 thì 
𝐹(𝑥) là một tập con của 𝑌. Ta kí hiệu miền hữu hiệu của 𝐹 là 𝑑𝑜𝑚𝐹 ≔ {𝑥 ∈ 𝑋: 𝐹(𝑥) ≠ ∅} và 
đồ thị của 𝐹 là 𝑔𝑟𝐹 ≔ {(𝑥, 𝑦): 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥)}. 
Định nghĩa 1 Cho Ω là một tập con khác rỗng của ℝ𝑛. Một ánh xạ đa trị 𝐻: Ω ⇉ Ω được 
gọi là một ánh xạ Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz (viết tắt là KKM) nếu với mọi tập con 
hữu hạn {𝑦1, . . . , 𝑦𝑛} của Ω thì ta có 𝑐𝑜𝑛𝑣{𝑦1, . . . , 𝑦𝑛} ⊂ ⋂ 𝐻(𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1 , trong đó “𝑐𝑜𝑛𝑣” là ký hiệu 
bao lồi, tức là 𝑐𝑜𝑛𝑣{𝑦1, . . . , 𝑦𝑛} = {𝑦: 𝑦 = ∑ 𝜆𝑖𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1 , ∑ 𝜆𝑖 = 1, 𝜆𝑖 ≥ 0}.
𝑛
𝑖=1 
Ví dụ 1 Ánh xạ 𝐻: (0, +∞) ⇉ ℝ xác định bởi 𝐻(𝑥) = [𝑥, +∞) với mọi 𝑥 ∈ (0, +∞) là 
một ánh xạ KKM. 
Bổ đề 1 Cho Ω là một tập con khác rỗng của ℝ𝑛. Giả sử rằng: 
i) Ánh xạ 𝐻: Ω ⇉ Ω là ánh xạ KKM có giá trị đóng; 
ii) tồn tại một tập con lồi, compact (đóng và bị chặn) và khác rỗng 𝐷 của Ω sao cho 
⋂ 𝐻(𝑦)𝑦∈𝐷 là tập compact. 
Khi đó, ⋂ 𝐻(𝑦)𝑦∈Ω khác rỗng. 
Định nghĩa 2 Cho ánh xạ đa trị 𝐹: ℝ𝑛 ⇉ ℝ𝑚. Khi đó: 
a) 𝐹 được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại 𝑥0 ∈ ℝ
𝑛 nếu với tập mở 𝑈 bất kỳ 
của ℝ𝑚 thỏa mãn 𝐹(𝑥0) ⊂ 𝑈 thì tồn tại 𝜖 sao cho 𝐹(𝑥) ⊂ 𝑈 với ‖𝑥 − 𝑥0‖ ≤ 𝜖. 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NAM CẦN THƠ Tạp chí Khoa học và Kinh tế phát triển số 04 
57 
b) 𝐹 được gọi là nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại 𝑥0 nếu với tập mở 𝑈 bất kỳ của ℝ
𝑚 
thỏa mãn 𝐹(𝑥0) ∩ 𝑈 ≠ ∅ thì tồn tại 𝜖 sao cho 𝐹(𝑥) ∩ 𝑈 ≠ ∅ với ‖𝑥 − 𝑥0‖ ≤ 𝜖. 
c) 𝐹 được gọi là liên tục tại 𝑥0 nếu nó vừa là usc vừa là lsc tại 𝑥0. 
Ánh xạ 𝐹 được gọi là usc, lsc hay liên tục trên tập 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 nếu nó thỏa mãn các tính chất 
tương ứng đó tại tất cả các điểm thuộc 𝐴. Trong trường hợp 𝐴 = 𝑑𝑜𝑚𝐹 thì ta bỏ qua cụm từ 
“trên 𝐴” trong các phát biểu. 
Bổ đề 2 i) 𝐹 là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi với mỗi dãy {𝑥𝑛} hội tụ về 𝑥0 và 𝑦0 ∈
𝐹(𝑥0) thì tồn tại 𝑦𝑛 ∈ 𝐹(𝑥𝑛) sao cho 𝑦𝑛 → 𝑦0. 
ii) 𝐹 là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi mỗi dãy {𝑥𝑛} hội tụ về 𝑥0 thì ta có 𝐹(𝑥0) ⊂
lim inf 𝐹(𝑥𝑛), trong đó lim inf 𝐹(𝑥𝑛): = {𝑦0: ∃𝑦𝑛 ∈ 𝐹(𝑥𝑛), 𝑦𝑛 → 𝑦0}. 
Bổ đề 3 Giả sử ánh xạ đa trị 𝐹: ℝ𝑛 ⇉ ℝ𝑛 có giá trị compact tại 𝑥0. Khi đó, 𝐹 nửa liên 
tục trên tại 𝑥0 khi và chỉ khi với mọi dãy {(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)} ⊂ 𝑔𝑟𝐹 với 𝑥𝑛 → 𝑥0 thì {𝑦𝑛} có một điểm 
tụ trong 𝐹(𝑥0), tức là dãy {𝑦𝑛} có dãy con hội tụ về một phần tử 𝑦0 nào đó của 𝐹(𝑥0). 
Định nghĩa 3 Một hàm số 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ được gọi là lồi trên tập con lồi 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 nếu với 
mọi 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 và 𝑡 ∈ [0,1] thì 
𝑓(𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2) ≤ 𝑡𝑓(𝑥1) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑥2). 
Định nghĩa 4 Một tập con 𝐴 của ℝ𝑛 được gọi là một tập lồi nếu với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 và 𝑡 ∈
[0,1] thì 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦 ∈ 𝐴. 
3. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU NỬA ĐẠI SỐ 
3.1 Tính khác rỗng và lồi của nghiệm 
Định lí 1 Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 
(i) 𝑓 lồi trên ℝ𝑛; 
(ii) (Điều kiện bức) với mỗi 𝑢 ∈ ℝ𝑛 thì tồn tại một tập con compact 𝑁 ⊂ 𝑆 và một tập con 
lồi, compact 𝐷 ⊂ 𝑆 sao cho với mọi 𝑥 ∈ 𝑆\𝑁 thì tồn tại 𝑦 ∈ 𝐷 thỏa mãn 
𝑓(𝑥) − ⟨𝑢, 𝑥⟩ > 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦⟩. 
Khi đó 𝑆𝑜𝑙(𝑢) là tập khác rỗng và là tập lồi. 
Chứng minh: 
 Với mỗi 𝑢 ∈ ℝ𝑛, ta xét ánh xạ 𝐻: 𝑆 → 𝑆 xác định bởi 
𝐻(𝑦): = {𝑥 ∈ 𝑆: 𝑓(𝑥) − ⟨𝑢, 𝑥⟩ ≤ 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦⟩ ∀ 𝑦 ∈ 𝑆. 
Tập lồi Tập không lồi 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NAM CẦN THƠ Tạp chí Khoa học và Kinh tế phát triển số 04 
58 
Nhận xét rằng 𝑥∗ là nghiệm của bài toán (PSOP) khi và chỉ khi 𝑥∗ ∈ ⋃ 𝐻(𝑦)𝑦∈𝑆 . Dễ thấy 
rằng 𝐻(𝑦) luôn khác rỗng vì 𝑦 ∈ 𝐻(𝑦) với mọi 𝑦 ∈ 𝑆. 
 Bây giờ ta chứng minh 𝐻 là một ánh xạ KKM. Giả sử rằng 𝐻 không là ánh xạ KKM. 
Khi đó tồn tại một tập con hữu hạn {𝑦1, . . . , 𝑦𝑛} của 𝑆 với 𝑐𝑜𝑛𝑣{𝑦1, . . . , 𝑦𝑛} không chứa trong 
⋃ 𝐻(𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1 , tức là tồn tại 𝑦 ∈ 𝑐𝑜𝑛𝑣{𝑦1, . . . , 𝑦𝑛} nhưng 𝑦 ∉ ⋃ 𝐻(𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1 . Do đó, 𝑦 ∉ 𝐻(𝑦𝑖) với 
mọi 𝑖. Theo định nghĩa của 𝐻 thì 
 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦⟩ > 𝑓(𝑦𝑖) − ⟨𝑢, 𝑦𝑖⟩ ∀ 𝑖. (1) 
Do 𝑦 ∈ 𝑐𝑜𝑛𝑣{𝑦1, . . . , 𝑦𝑛} nên 𝑦 = ∑ 𝜆𝑖𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1 với ∑ 𝜆𝑖 = 1.
𝑛
𝑖=1 Theo tính lồi của 𝑓 ở giả 
thiết i) ta suy ra 
𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦⟩ = 𝑓 (∑ 𝜆𝑖𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
) − ⟨𝑢, ∑ 𝜆𝑖𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
⟩ ≤ ∑ 𝜆𝑖𝑓(𝑦𝑖) − ∑ 𝜆𝑖
𝑛
𝑖=1
⟨𝑢, 𝑦𝑖⟩
𝑛
𝑖=1
 = ∑ 𝜆𝑖[𝑓(𝑦𝑖) − ⟨𝑢, 𝑦𝑖⟩]
𝑛
𝑖=1
 < ∑ 𝜆𝑖[𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦⟩]
𝑛
𝑖=1
 = 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦⟩. 
Đây là điều vô lý. Do đó, 𝐻 là một ánh xạ KKM. 
Bây giờ ta chứng minh tính đóng của 𝐻(𝑦) với mọi 𝑦 ∈ 𝑆. Lấy 𝑥𝑛 ∈ 𝐻(𝑦) với 𝑥𝑛 → 𝑥0. 
Khi đó, 
𝑓(𝑥𝑛) − ⟨𝑢, 𝑥𝑛⟩ ≤ 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦⟩. 
Bất đẳng thức này kết hợp với tính liên tục của 𝑓 dẫn đến 
𝑓(𝑥0) − ⟨𝑢, 𝑥0⟩ ≤ 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦⟩. 
Điều này chứng tỏ 𝑥0 ∈ 𝐻(𝑦) nên 𝐻(𝑦) là một tập đóng. Để kết thúc chứng minh của 
định lý ta cần chứng tỏ rằng ⋂ 𝐻(𝑦)𝑦∈𝐷 là tập compact. Thật vậy, ⋂ 𝐻(𝑦)𝑦∈𝐷 là tập đóng và do 
ii) nên ⋂ 𝐻(𝑦)𝑦∈𝐷 ⊆ 𝑁. Vì ⋂ 𝐻(𝑦)𝑦∈𝐷 là tập con đóng trong tập compact 𝑁 nên ⋂ 𝐻(𝑦)𝑦∈𝐷 là 
một tập compact. 
Cuối cùng ta chứng minh tính lồi của 𝑆𝑜𝑙(𝑢). Lấy bất kỳ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑆𝑜𝑙(𝑢) và 𝑡 ∈ [0,1] thì 
với mọi 𝑦 ∈ 𝑆, ta có 
𝑓(𝑥1) − ⟨𝑢, 𝑥1〉 ≤ 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉; 
𝑓(𝑥2) − ⟨𝑢, 𝑥2〉 ≤ 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉. 
Sử dụng tính lồi của 𝑓 ta được các ước lượng sau 
 𝑓(𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2) − ⟨𝑢, 𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2〉 ≤ 𝑡𝑓(𝑥1) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑥2) − 𝑡⟨𝑢, 𝑥1〉 
 −(1 − 𝑡)⟨𝑢, 𝑥2〉 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NAM CẦN THƠ Tạp chí Khoa học và Kinh tế phát triển số 04 
59 
 ≤ 𝑡[𝑓(𝑥1) − ⟨𝑢, 𝑥1〉] + (1 − 𝑡)[𝑓(𝑥2) − ⟨𝑢, 𝑥2〉] 
 ≤ 𝑡[𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉] + (1 − 𝑡)[𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉] 
 = 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉. 
Tức là, 𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2 ∈ 𝑆𝑜𝑙(𝑢) hay 𝑆𝑜𝑙(𝑢) là tập lồi. Định lý đã được chứng minh xong. 
3.2 Tính nửa liên tục trên và tính compact của nghiệm 
Định lí 2 
Nếu 𝑆 là tập compact khác rỗng thì 𝑆𝑜𝑙(⋅) là nửa liên tục trên trên ℝ𝑛 và 𝑆𝑜𝑙(𝑢) là tập 
compact với mọi 𝑢 ∈ ℝ𝑛. 
Chứng minh: 
Giả sử rằng tồn tại 𝑢0 ∈ ℝ
𝑛 mà 𝑆𝑜𝑙(⋅) không nửa liên tục trên tại 𝑢0. Khi đó, tồn tại một 
lân cận 𝑈 của 𝑆𝑜𝑙(𝑢0) sao cho có dãy 𝑢𝑛 → 𝑢0 và 𝑥𝑛 ∈ 𝑆𝑜𝑙(𝑢𝑛) nhưng 𝑥𝑛 ∉ 𝑈 với mọi 𝑛. 
Do tính compact của 𝑆 nên ta có thể giả sử rằng 𝑥𝑛 → 𝑥0. Nếu 𝑥0 ∉ 𝑆𝑜𝑙(𝑢0) thì tồn tại 𝑦0 ∈ 𝑆 
sao cho 
 𝑓(𝑥0) − ⟨𝑢0, 𝑥0〉 > 𝑓(𝑦0) − ⟨𝑢0, 𝑦0〉. (2) 
Cũng do tính compact 𝑆 nên tồn tại 𝑦𝑛 ∈ 𝑆 với 𝑦𝑛 → 𝑦0. Vì 𝑥𝑛 ∈ 𝑆𝑜𝑙(𝑢𝑛) nên ta có 
𝑓(𝑥𝑛) − ⟨𝑢𝑛, 𝑥𝑛〉 ≤ 𝑓(𝑦𝑛) − ⟨𝑢𝑛, 𝑦𝑛〉. 
Kết hợp bất đẳng thức này với tính liên tục của 𝑓, ta được 𝑓(𝑥0) − ⟨𝑢0, 𝑥0〉 ≤ 𝑓(𝑦0) −
⟨𝑢0, 𝑦0〉. Điều này mâu thuẫn với (2). Vậy 𝑆 nửa liên tục trên tại 𝜆0. 
Tiếp theo, với mọi 𝑢 ∈ ℝ𝑛, ta kiểm tra tính compact của 𝑆𝑜𝑙(𝑢) bằng cách chứng minh 
tính đóng của nó trong tập compact 𝑆. Lấy 𝑥𝑛 ∈ 𝑆𝑜𝑙(𝑢) với 𝑥𝑛 → 𝑥0. Lập luận tương tự như 
trên ta chứng minh được 𝑥0 ∈ 𝑆𝑜𝑙(𝑢). Vậy 𝑆𝑜𝑙(𝑢) là tập compact. 
3.3 Tính nửa liên tục dưới của nghiệm 
Với mỗi 𝑢 ∈ ℝ𝑛, xét tập hợp sau: 
𝑆𝑜𝑙1(𝑢): = {𝑥 ∈ 𝑆: 𝑓(𝑥) − ⟨𝑢, 𝑥〉 < 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉 ∀𝑦 ∈ 𝑆}. 
Rõ ràng, 𝑆𝑜𝑙1(𝑢) ⊆ 𝑆𝑜𝑙(𝑢) với mọi 𝑢 ∈ ℝ
𝑛. 
Định lí 3 
Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn 
(i) S là tập compact; 
(ii) 𝑓 là lồi trên ℝ𝑛. 
Khi đó, 𝑆𝑜𝑙(⋅) là nửa liên tục dưới trên ℝ𝑛. 
Chứng minh: 
Trước hết ta chứng minh 𝑆𝑜𝑙1(⋅) nửa liên tục dưới trên ℝ
𝑛. 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NAM CẦN THƠ Tạp chí Khoa học và Kinh tế phát triển số 04 
60 
Giả sử rằng tồn tại 𝑢0 ∈ ℝ
𝑛 mà 𝑆𝑜𝑙1(⋅) không nửa liên tục dưới tại 𝑢0, nghĩa là tồn tại 
𝑥0 ∈ 𝑆𝑜𝑙1(𝑢0) và một dãy {𝑢𝑛} ⊂ Λ hội tụ về 𝑢0 sao cho với mọi 𝑥𝑛 ∈ 𝑆1(𝑢𝑛) thì 𝑥𝑛 
không hội tụ về 𝑥0. Vì 𝑆 compact nên tồn tại �̅�𝑛 ∈ 𝑆 với �̅�𝑛 → 𝑥0. Do ta giả sử 𝑆𝑜𝑙1(⋅) không 
nửa liên tục dưới tại 𝑢0, nên có một dãy con �̅�𝑚 của �̅�𝑛 sao cho với mọi 𝑚 thì �̅�𝑚 ∉
𝑆𝑜𝑙1(𝑢𝑚). Tức là, với 𝑦𝑚 ∈ 𝑆 nào đó, ta có 
𝑓(𝑥𝑚) − ⟨𝑢𝑚, 𝑥𝑚〉 > 𝑓(𝑦𝑚) − ⟨𝑢𝑚, 𝑦𝑚〉. 
Do tính compact của 𝑆 nên tồn tại 𝑦0 ∈ 𝑆 sao cho 𝑦𝑚 → 𝑦0 (lấy dãy con nếu cần). 
Vì 𝑓 liên tục nên ta suy ra 
𝑓(𝑥0) − ⟨𝑢0, 𝑥0〉 ≥ 𝑓(𝑦0) − ⟨𝑢0, 𝑦0〉. 
Điều này mâu thuẫn với 𝑥0 ∈ 𝑆𝑜𝑙1(𝑢0). Vì vậy, 𝑆𝑜𝑙1(⋅) nửa liên tục dưới tại 𝑢0. 
Tiếp theo, ta chứng minh rằng 𝑆𝑜𝑙(𝑢0) ⊂ cl𝑆𝑜𝑙1(𝑢0), trong đó ký hiệu cl𝐴 là bao đóng 
của tập 𝐴. Thật vậy, lấy tùy ý 𝑥1 ∈ 𝑆𝑜𝑙(𝑢0), 𝑥2 ∈ 𝑆𝑜𝑙1(𝑢0) và đặt 𝑥𝑡: = 𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2 với 
𝑡 ∈ [0,1]. Sử dụng tính lồi của 𝑓, với mọi 𝑦 ∈ 𝑆, ta có 
𝑓(𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2) − ⟨𝑢, 𝑡𝑥1 + (1 − 𝑡)𝑥2〉 ≤ 𝑡𝑓(𝑥1) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑥2) − 𝑡⟨𝑢, 𝑥1〉 
 −(1 − 𝑡)⟨𝑢, 𝑥2〉 
 ≤ 𝑡[𝑓(𝑥1) − ⟨𝑢, 𝑥1〉] + (1 − 𝑡)[𝑓(𝑥2) − ⟨𝑢, 𝑥2〉] 
 < 𝑡[𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉] + (1 − 𝑡)[𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉] 
 = 𝑓(𝑦) − ⟨𝑢, 𝑦〉. 
Suy ra 𝑥𝑡 ∈ 𝑆𝑜𝑙1(𝑢0). Vì 𝑥𝑡 → 𝑥1 khi 𝑡 → 1, nên 𝑥1 ∈ cl𝑆𝑜𝑙1(𝑢0). 
Do đó, 𝑆𝑜𝑙(𝑢0) ⊂ cl𝑆𝑜𝑙1(𝑢0). 
Từ kết quả 𝑆𝑜𝑙1(𝑢0) nửa liên tục dưới tại 𝑢0, ta có các bao hàm thức sau 
𝑆𝑜𝑙(𝑢0) ⊂ cl𝑆𝑜𝑙1(𝑢0) ⊂ lim inf 𝑆𝑜𝑙1(𝑢𝑛) ⊂ lim inf 𝑆𝑜𝑙(𝑢𝑛). 
Nghĩa là 𝑆𝑜𝑙(⋅) là nửa liên tục dưới tại 𝑢0. Ta kết thúc chứng minh. 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NAM CẦN THƠ Tạp chí Khoa học và Kinh tế phát triển số 04 
61 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. L.Q. Anh, P.Q. Khanh, T.N. Tam: Continuity of approximate solution maps of primal and 
dual vector equilibrium problems. Optimization Letters. 131:201-211 (2018) 
[2]. L.Q. Anh, P.T. Duoc, T.N. Tam: On Holder continuity of solution maps to parametric 
vector primal and dual equilibrium problems. Optimization. 67:1169-1182 (2018) 
[3]. G.M. Lee, P.T. Son: Generic Properties for Semialgebraic Programs. SIAM. 27:2061-2084 
(2017) 
[4]. N.T.T. Huong, J.-C. Yao, N.D. Yen: Polynomial Vector Variational Inequalities under 
Polynomial Constraints and Applications. SIAM. 26:1060-1071 (2016) 
[5]. J. B. Lasserre: An Introduction to Polynomial and Semi-Algebraic Optimization. 
Cambridge University Press (2015)