Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng phương pháp CGS

va r= 
iq u va= -­‐ 
ˆ iu u q= + 
1 ˆi ix x ua-­‐= + 
Nếu ix đủ chính xác thì thoát 
1 ˆi ir r Aua-­‐= -­‐ 
Kết thúc vòng lặp chính 
Kết thúc thuật toán 
(1) 
(2) 
TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG THUẬT TOÁN CGS 
7 
3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN 
Mô hình cấu trúc của đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs gồm một lớp bán dẫn thuần i kẹp giữa 
hai lớp bán dẫn pha tạp loại p và loại n như được chỉ ra trong Hình 1, trong đó mỗi lớp 
có độ dày tương ứng là id , pd và nd . Mật độ pha tạp acceptor và donor tương ứng là 
AN và DN , các tạp được phân bố từ bề mặt của các lớp p và n vào sâu bên trong linh 
kiện theo hàm phân bố Gauss. Trạng thái cân bằng nhiệt của linh kiện được xác lập 
bằng mô phỏng thời gian thực trước khi chiếu xung laser vào linh kiện. 
Chúng tôi đã sử dụng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp để mô phỏng động 
lực học của hạt tải trong linh 
kiện trong trường hợp chiếu 
một xung laser với chiều dài 
của xung là 12 sf và năng 
lượng photon là 1.49 eV . 
Các tham số cấu trúc vùng 
năng lượng được sử dụng 
như sau: 1.42gapE eV
Γ = , 
*
00.063em mΓ = , 
*
00.45hm mΓ = , 
*
00.222Lem m= , và độ chênh 
lệch năng lượng giữa Γ và L là 0.29LE eVΓΔ = . Chúng tôi giả thiết rằng 
50p nd d nm= = , 340id nm= và 
17 30.5 10AN cm
−= × , 17 32.5 10DN cm
−= × , 
16 35 10exN cm
−= × sau thời gian 1 ps . Kích thước theo ba chiều không gian của đi-ốt là 
440 100 100x y zL L L nm nm nm× × = × × , giả sử đi-ốt được nuôi cấy theo phương Ox . 
Mô hình linh kiện được chia thành các ô lưới không gian với khoảng cách giữa các nút 
lưới là 1050 10x y z m−Δ = Δ = Δ = × . Như vậy theo phương Ox ta sẽ có 89xN = nút 
lưới, theo phương Oy và Oz có 21y zN N= = nút lưới. Điện trường ngoài được đặt 
vào linh kiện dọc theo phương Ox và đi-ốt được phân cực nghịch, xem Hình 1. 
Hình 2 mô tả sự thay đổi vận tốc trôi dạt toàn phần và vận tốc trôi dạt của điện tử theo 
các phương Ox , Oy , Oz ứng với điện trường ngoài 100extE kV cm= , được tính toán 
với lời giải phương trình Poisson bằng thuật toán CGS. Từ đồ thị ta thấy rằng điện tử 
chủ yếu chuyển động trôi dạt theo phương Ox còn các thành phần vận tốc theo phương 
Oy ,Oz đóng góp không đáng kể. Đặc biệt, sau khi chiếu xung laser, vận tốc trôi dạt 
toàn phần của điện tử (vận tốc trôi dạt của điện tử theo phương Ox ) tăng nhanh vượt xa 
giá trị bão hòa sau đó giảm nhanh về giá trị bão hòa, hiện tượng này được gọi là sự vượt 
quá vận tốc [1], [3]. 
Hình 1. Mô hình đi-ốt p-i-n GaAs 
LƯƠNG VĨNH GIANG - ĐINH NHƯ THẢO 
8 
Hình 3 mô tả sự phụ thuộc của vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian ứng với các giá 
trị điện trường ngoài ex 70 /tE kV cm= và 100extE kV cm= . Kết quả cho thấy điện 
trường ngoài càng cao thì sự vượt quá vận tốc xảy ra càng sớm, đỉnh vượt quá vận tốc 
càng cao và vận tốc càng nhanh chóng về tiệm cận giá trị bão hòa. Điều này được lý 
giải, khi điện trường ngoài càng cao thì số điện tử nằm trong các trạng thái có thể tham 
gia vào quá trình tán xạ liên thung lũng càng lớn. Khi điện tử bị tán xạ từ thung lũng Γ 
sang thung lũng L vận tốc của điện tử bị giảm nhiều do khối lượng hiệu dụng của điện 
tử trong thung lũng L lớn hơn nhiều lần khối lượng hiệu dụng của điện tử trong thung 
lũng Γ. Hệ quả là vận tốc của điện tử càng giảm nhanh về giá trị bão hòa. 
Hình 4 cho kết quả so sánh vận tốc của điện tử thu được bằng hai chương trình mô 
phỏng ba chiều sử dụng thuật toán BICGSTAB(3) và thuật toán CGS [7]. Hai đồ thị gần 
như trùng nhau hoàn toàn. Điều đó nói lên sự thành công trong việc sử dụng thuật toán 
đơn giản CGS để giải bài toán chuyển động của hạt tải trong linh kiện đi-ốt p-i-n bán 
dẫn GaAs (chương trình sử dụng thuật toán BICGSTAB(3) đã được chứng minh là cho 
kết quả phù hợp với thực nghiệm [7]). 
Hình 5 mô tả sự phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo các 
phương Ox và Oy tại mặt cắt 10z nm= ứng với điện trường ngoài 100extE kV cm= . 
Đồ thị cho thấy điện thế phân bố đều trong linh kiện và chỉ biến thiên nhỏ xung quanh 
một số các điểm lưới theo phương Ox và gần như không đổi theo hai phương Oy ,Oz . 
Kết quả hoàn toàn hợp lý do điện trường ngoài được đặt vào linh kiện theo phương Ox 
và cũng phù hợp với các kết quả đã được công bố trước đây [1], [7]. 
Hình 2. Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện 
tử và vận tốc trôi dạt theo các phương khác 
nhau như là hàm của thời gian ứng với 
100extE kV cm= 
Hình 3. Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện tử 
như là hàm của thời gian ứng với các điện 
trường ngoài khác nhau 
TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG THUẬT TOÁN CGS 
9 
Hình 6 chỉ ra việc so sánh sự phân bố điện thế trong không gian theo trục Ox tại y = z = 
10 nm ứng với hai thuật toán BICGSTAB(3) và CGS dưới điện trường ngoài 
70extE kV cm= . Ta thấy hai đường này trùng khít nhau, qua đó một lần nữa nói lên sự 
thành công trong việc sử dụng thuật toán CGS để giải phương trình Poisson ba chiều. 
Các kết quả thu được nói lên sự thành công trong việc sử dụng thuật toán CGS, đến đây 
ta nhận thấy với bài toán tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều thì việc sử 
dụng thuật toán CGS có ưu điểm hơn các thuật toán khác bởi tính đơn giản của nó. Tuy 
nhiên, một vấn đề không kém phần quan trọng cần được thảo luận là độ hội tụ, tính ổn 
định số và chi phí thời gian tính toán. 
Hình 7 so sánh độ hội tụ của thuật toán BICGSTAB(3) và thuật toán CGS. Kết quả cho 
thấy tuy độ hội tụ của thuật toán BICGSTAB(3) nhanh hơn nhưng đồ thị tương ứng với 
thuật toán CGS trơn hơn điều này nói lên tính ổn định số của thuật toán CGS. Khi tiến 
hành chạy chương trình mô phỏng trên máy tính có cấu hình Intel(R) Pentium(R) D 
CPU 2.80 GHz, DDRII 1 GB với sai số 10-12 thì chương trình mô phỏng với thuật toán 
BICGSTAB(3) chạy trong khoảng thời gian 61 phút trong khi chương trình mô phỏng 
với thuật toán CGS chạy trong khoảng thời gian 42 phút. Qua đó chúng ta thấy việc sử 
dụng thuật toán CGS đối với bài toán tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều là 
tối ưu hơn. 
Hình 4. Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện 
tử theo thời gian ứng với hai thuật toán 
BICGSTAB(3) và CGS dưới điện trường 
ngoài 70extE kV cm= 
Hình 5. Phân bố điện thế không gian trong đi-
ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox, Oy 
tại mặt cắt 10z nm= ứng với 
100extE kV cm= 
LƯƠNG VĨNH GIANG - ĐINH NHƯ THẢO 
10 
4. KẾT LUẬN 
Chúng tôi đã thành công trong việc sử dụng thuật toán CGS để giải phương trình 
Poisson ba chiều trong mô phỏng linh kiện nano bán dẫn bằng phương pháp Monte – 
Carlo tập hợp tự hợp. Để khảo sát các đặc trưng của phương pháp chúng tôi đã áp dụng 
để mô phỏng động lực học ba chiều của hạt tải trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs và so 
sánh với các kết quả mô phỏng đã được công bố trước đây. Kết quả cho thấy chương 
trình giải phương trình Poisson sử dụng thuật toán CGS có độ hội tụ chậm hơn chương 
trình sử dụng thuật toán BICGSTAB(3) nhưng cho kết quả ổn định hơn và thời gian mô 
phỏng được cải thiện đáng kể so với chương trình sử dụng thuật toán BICGSTAB(3). 
LỜI CẢM ƠN 
Các tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Hồng Quang, Ban Hợp tác 
Quốc tế, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, chủ nhiệm đề tài NAFOSTED 
(103.02.109.09) đã hỗ trợ mọi mặt cho các tác giả trong quá trình hoàn thành bài báo này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] D. N. Thao, S. Katayama, and K. Tomizawa (2004). Numerical simulation of THz 
radiation by coherent LO phonons in GaAs p-i-n diodes under high electric fields. 
Journal of the Physical Society of Japan 73, 3177 – 3181. 
[2] G. Klatt et al. (2011). Photo-Dember terahertz emitter excited with an Er: fiber laser. 
Appl. Phys. Lett. 98, 021114 – 021114-3. 
[3] K. Tomizawa (1993). Numerical simulation of submicron semiconductor devices. 
Artech House, Boston London. 
Hình 6. Phân bố điện thế không gian trong 
đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo phương Ox 
tại mặt cắt y = 10z nm= ứng với hai thuật 
toán BICGSTAB(3) và CGS dưới điện 
trường ngoài 70extE kV cm= 
Hình 7. Sự phụ thuộc của chuẩn Euclid của 
vectơ thặng dư vào số vòng lặp của chương trình 
con Poisson ứng với 100extE kV cm= 
TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG THUẬT TOÁN CGS 
11 
[4] H. A. Vorst (2003). Iterative Krylov methods for large linear systems. Cambridge 
University. 
[5] Y. Saad (2000). Iterative Methods for Sparse Linear Systems. SLAM. 
[6] G. Speyer, D. Vasileska and S. M. Goodnick (2001). Efficient Poisson equation 
solvers for large scale 3D simulations. Technical Proceedings of the 2001 
International Conference on Modeling and Simulation of Microsystems, Nanotech 
2001, Vol. 1, 23-26. 
[7] D. N. Thao and L. H. Hai (2010). 3D simulation of semiconductor devices using 
BICGSTAB (3) for the solution of Poisson’s equation. Journal of Science and 
Education 15, 19-26. 
[8] D. N. Thao and N. T. Ngoc (2010). 3D simulation of semiconductor devices using 
preconditioned BICGSTAB algorithm with Jacobi preconditioner for the solution of 
Poisson’s equation. Journal of Science and Education, 16, 34-41. 
[9] D. N. Thao, D. T. D. My, N. C. P. Thi and N. T. Thuy (2011)., Three-dimensional 
simulation of nano semiconductor devices using GPBICG algorithm for the solution 
of the Poisson's equation. Journal of Science, 65, 215-223. 
Title: OBTAINING THE SOLUTION OF THE 3D POISSON'S EQUATION BY MEANS OF 
THE CGS METHOD 
Abstract: In this article, we present the CGS algorithm used to solve Poisson’s equation in 
three-dimensional simulation in GaAs p-i-n diodes semiconductor by the self-consitent 
ensemble Monte Carlo method. These results suggest that CGS algorithm solve 3D Poisson’s 
equation less accuracy than BICGSTAB(3) algorithm but the simulation time is significantly 
improved. 
TS. ĐINH NHƯ THẢO 
Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế 
ĐT: 099-686-7668. Email: dnthao@gmail.com 
LƯƠNG VĨNH GIANG 
Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế 
ĐT: 0974.193.736