Một ứng dụng của khai triển Taylor

hạn liên quan 
đến tổng ngẫu nhiên của đòi hỏi biến giới 
hạn cũng phải khả phân vô hạn hay phân tích 
được. Phân phối Laplace đối xứng là một 
trong rất nhiều phân phối khả phân hình học 
(xem[4]). Ta sẽ chỉ ra điều này trong phần 
chứng minh kết quả chính. 
Gọi { }, 1jX j ≥ là dãy biến ngẫu nhiên 
độc lập, tổng hình học được xác định 
21
...
q q
S X X Xυ υ= + + + , 
trong đó qυ là biến ngẫu nhiên tuân theo 
phân phối hình học với tham số ( )0,1q∈ kí 
hiệu là ( )q Geo qυ  độc lập với tất cả các 
, 1jX j ≥ có phân phối xác suất 
1( ) (1 ) , 1, 2,...kqP k q q kυ
−= = − = . 
Tổng hình học có nhiều ứng dụng thực tế 
liên quan đến thời gian đợi rời rạc như ứng 
dụng trong lý thuyết xếp hàng, lý thuyết rủi 
ro, độ tin cậy, (xem [3], [6]). Từ các ứng 
dụng đặt ra vấn đề là xác định phân phối xác 
suất hay tìm một xấp xỉ cho phân phối xác 
suất của tổng hình học. Rényi đã chỉ ra rằng 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018 
19 
( )
q d
q
S
Z
E
υ
υ
→ khi 0q +→ . 
Với Z là biến ngẫu nhiên có phân phối 
mũ, kì vọng là m , tổng hình học 
q
Sυ của dãy 
các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng 
phân phối với kì vọng m . Ta sử dụng ký hiệu 
" "d→ để chỉ sử hội tụ theo phân phối. 
Năm 2011, Toda A. A. đã đưa ra một số điều 
kiện để 
( )
q d
q
S
L
E
υ
υ
→ khi 0q +→ . 
Trong đó, tổng hình học 
q
Sυ của dãy biến 
ngẫu nhiên độc lập nhưng không nhất thiết 
cùng phân phối, L là biến ngẫu nhiên có 
phân phối Laplace bất đối xứng (xem chi tiết 
trong [6]). Phương pháp được Toda sử dụng 
vẫn là phương pháp hàm đặc trưng. Bài báo 
này sử dụng phương pháp toán tử Trotter để 
chứng minh kết quả giới hạn theo phân phối 
của 
( )
q
q
S
E
υ
υ
 khi 0p +→ với 
q
Sυ là tổng 
hình học các biến ngẫu nhiên cùng phân phối 
xác suất. 
2. Toán tử Trotter 
Định nghĩa 1. Với mỗi ( )Bf C∈  là 
hàm liên tục đều và bị chặn trên  . Toán tử 
Trotter liên kết với biến ngẫu nhiên X kí 
hiệu XV , 
( ) ( )
( ) ( ){ }
( )
:
( ) .
X B B
X
X
V C C
f V f y E f x y
f x y dF x
+∞
−∞
→
= +
= +∫
 

Toán tử Trotter được Trotter H. F. xây 
dựng đầu tiên năm 1959 (xem [5]). Một số 
tính chất quan trọng sau đây được trình bày 
chi tiết trong [1], [2], [5] 
1. Nếu 1X và 2X là hai biến ngẫu nhiên 
cùng phân phối thì 
1 2X X
V f V f≡ ; 
2. Gọi { }, 1nX n ≥ là dãy các biến ngẫu 
nhiên, khi đó với mỗi ( )Bf C∈  nếu 
lim 0
nX Xn
V f V f
→∞
− = thì dnX X→ , với 
chuẩn được xác định ( )supX X
y
V f V f y= ; 
3. Giả sử { }, 1nX n ≥ và { }, 1nY n ≥ là hai 
dãy biến ngẫu nhiên độc lập theo mỗi nhóm. 
Gọi υ là biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên 
dương độc lập với tất cả các biến ngẫu nhiên 
, 1n nX Y n ≥ . Khi đó ta có 
1 1 1
. n n k kk kk k
n
X YX Y
k
i V f V f V f V f
= = =
− ≤ −
∑ ∑ ∑ 
( )
1 1
1 1
.
.
N N
k kk k
i i
X Y
k
X Y
k i
ii V f V f
P k V f V fυ
= =
∞
= =
− ≤
∑ ∑
≤ = −∑ ∑
Nếu { }, 1nX n ≥ và { }, 1nY n ≥ là hai dãy 
biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối 
theo mỗi nhóm thì ta có 
 i. 
1 1
1 1
n n
k kk k
X YX Y
V f V f n V f V f
= =
− ≤ −
∑ ∑
 ; 
( )
1 1
1 1
. N N
k kk k
X YX Y
ii V f V f E V f V fυ
= =
− ≤ −
∑ ∑
. 
Trước khi đi vào phần kết quả chính, ta 
cần đề cập đến phân phối Laplace. Biến ngẫu 
nhiên Z được gọi là có phân phối Laplace 
với hai tham số ,α λ , kí hiệu 
( , )Z Laplace α λ nếu nó có hàm mật độ 
xác suất 
( ) ,
2
x
Zf x e x
λ αλ − −= −∞ < < +∞ . 
Với ( , )Z Laplace α λ , Z có kỳ vọng, 
phương sai tương ứng là ( )E Z α= , 
2
2ar( )V Z
λ
= và hàm đặc trưng Zϕ được xác 
định 
2
2 2( ) .
it
Z t et
αλϕ
λ
=
+
. 
3. Kết quả chính và thảo luận 
Trong phần trình bày kết quả chính ta sử 
dụng kí hiệu 2 ( )BC  chỉ lớp hàm thực có đạo 
hàm cấp hai liên tục đều và bị chặn. Kí hiệu 
20 
Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018 
hàm phân phối xác suất ( ) ( )F x P X x= < và 
vi phân tương ứng ( )dF x . 
Định lý. Giả sử { } 1j jX ≥ là dãy biến 
ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác suất 
với biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng ( ) 0E X =
, phương sai 2( )D X σ= < +∞ . Gọi pυ là 
biến ngẫu nhiên có phân phối hình học với 
tham số (0,1)q∈ độc lập với tất cả các 
, 1jX j ≥ . Khi đó 
( )
q d
q
S
Z
E
υ
υ
→ khi 0q +→ . 
Trong đó, 
20,Z Laplace
σ
 
  
 
 và 
1
q
q j
j
S X
υ
υ
=
=∑ . 
Trước khi đi vào phần chứng minh định 
lý ta xét bổ đề sau, kết quả tổng quát của bổ 
đề này cũng được đề cập trong [4]. 
Bổ đề. Giả sử { } 1j jZ ≥ là dãy biến ngẫu 
nhiên độc lập, cùng phân phối Laplace 
( )0,Laplace λ , pυ là biến ngẫu nhiên có 
phân phối hình học với tham số (0,1)q∈ độc 
lập với tất cả các , 1jZ j ≥ . Khi đó, 
( )
1
0,
q
j
j
q Z Laplace
υ
λ
=
∑  . 
Chứng minh. Gọi 
qυ
φ là hàm sinh xác 
suất của biến ngẫu nhiên hình học qυ khi đó 
1( ) ( ) ,
1 (1 ) 1
q
q
qss E s s
q s q
υ
υφ = = <− − −
. 
Theo Feller W. (xem [5]) thì hàm đặc 
trưng của tổng hình học 
1
q
q j
j
S Z
υ
υ
=
=∑ được 
xác định 
( )
2
2 2
2
2 2
2
2 2
.
( )
1 (1 )
.
qqS Z
q
tt t
q
t
q
t q
υ υ
λ
λϕ φ ϕ
λ
λ
λ
λ
+= =
− −
+
=
−

Trong đó, 
1
2
2 2( )Z t t
λϕ
λ
=
+
 là hàm đặc 
của biến ngẫu nhiên 1Z . Từ đây dẫn đến hàm 
đặc trưng của 
q
qSυ 
( )
2
2 2( ) qq SqS
t q t
tυυ
λϕ ϕ
λ
= =
−
. 
Điều này chứng tỏ 
( )
1
0,
q
j
j
q Z Laplace
υ
λ
=
∑  . 
Chứng minh định lý. Từ bổ đề trên cho 
ta phép phân tích biến ngẫu nhiên Z dưới 
dạng tổng hình học của các biến độc lập cùng 
phân phối. 
1
2, 0, .
qd
j j
j
Z q Z Z Laplace
υ
σ=
 
=   
 
∑  
Ta sử dụng kí hiệu “
d
=” cho bằng nhau 
theo phối, { } 1j jZ ≥ và { } 1j jX ≥ độc lập nên ta 
có 
( )
1
1 1
1 1
1
.
.
q
q
j
j
qS
q Z
q qX qZ
qX qZ
V f V f
E V f V f
q V f V f
υ
υ
υ
=
−
− ≤
∑
≤ −
= −
Trong đó, ta lấy hàm 2 ( )Bf C∈  . 
Từ định nghĩa của toán tử Trotter ta có 
( )
1
1
1( ) ( )
( ) ( ).
qX
X
V f y E f q X y
f qx y dF x
+∞
−∞
= +
= +∫
Áp dụng khai triển Taylor dạng 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI SỐ 27+28 – 05/2018 
21 
( )
[ ]2 2
( ) ( ).
( ) ( )( ) . . .
2 2
f qx y f y f y qx
f f yf y qx qx
η
′+ = + +
′′ ′′−′′
+ +
Với η nằm giữa y và qx y+ hay 
y q xη − < . 
Từ đó ta có 
[ ]
[ ]
1
1
1
1
1
2
2
2
2
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
2
( ) ( )
2
( ) ( ) ( ).
2
q X
X
X
X
X
V f y
f y q f y xdF x
q f y x dF x
q x f f y dF x
pf y f y
q x f f y dF x
η
σ
η
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
=
′= +
′′+ +
′′ ′′+ −
′′= + +
′′ ′′+ −
∫
∫
∫
∫
Tương tự ta cũng có 
( )
[ ]
1
1
1
2
2
( )
( ) ( ).
2
( ) ( ) ( ).
2
qZ
Z
V f y
E f qZ y
qf y f y
q x f f y dF x
σ
ξ
+∞
−∞
=
 = + 
′′= + +
′′ ′′+ −∫
Trong đó, ξ thỏa y q xξ − < . 
Do 2 ( )Bf C∈  , sử dụng tính liên tục đều 
và bị chặn của f ′′ ta có 
0, 0ε δ∀ > ∃ > sao cho ,x y∀ ∈ nếu 
x y δ− < thì ( ) ( )f x f y ε′′ ′′− < . 
Từ đây dẫn đến đánh giá sau 
[ ]
[ ]
1 1
1
1
1
1
2
2
2
2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
2
qX qZ
X
Z
X
Z
V f y V f y
q x f f y dF x
x f f y dF x
q x f f y dF x
q x f f y dF x
η
ξ
η
ξ
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−
′′ ′′= − −
′′ ′′− −
′′ ′′≤ −
′′ ′′+ −
∫
∫
∫
∫
1
1
1
1
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
2
X
x
q
X
x
q
Z
x
q
Z
x
q
q x f f y dF x
q x f f y dF x
q x f f y dF x
q x f f y dF x
δ
δ
δ
δ
η
η
ξ
ξ
≤
>
≤
>
′′ ′′≤ − +
′′ ′′+ − +
′′ ′′+ − +
′′ ′′+ −
∫
∫
∫
∫
1
1
2 2
2
. ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( ).
2
X
x
q
Z
x
q
qq x f f y dF x
q x f f y dF x
δ
δ
ε σ η
ξ
>
>
′′ ′′≤ + − +
′′ ′′+ −
∫
∫
Từ đó dẫn đến 
1 1
1
1
2 2
2
. ( )
( ).
qX qZ
X
x
q
Z
x
q
V f V f
f x dF x
f x dF x
δ
δ
ε σ
>
>
−
′′≤ + +
′′+
∫
∫
Do các biến ngẫu nhiên 1X và 1Z có kỳ 
vọng hữu hạn nên khi 0q +→ thì 
22 
Journal of Transportation Science and Technology, Vol 27+28, May 2018 
1
1
2 2
2 2
. ( )
( ) .
X
x
q
Z
x
q
f x dF x
f x dF x
δ
δ
ε σ
εσ
>
>
′′+ +
′′+ →
∫
∫
Điều này đúng với ε dương, bé tùy ý 
nên dẫn tới 
1 1
0qX qZV f V f− → khi 0q
+→ . 
Định lý được chứng minh. 
Việc sử dụng phương pháp toán tử 
Trotter trong chứng minh trên cho thấy việc 
áp dụng phương pháp này là phù hợp và có 
thể giải quyết được nhiều bài toán tương tự. 
Vấn đề tiếp theo là đánh giá tốc độ hội tụ của 
định lý giới hạn trên và đưa định lý vào 
không gian nhiều chiều góp phần giải quyết 
những vấn đề lý thuyết mà các bài toán trong 
thực tế đặt ra 
Tài liệu tham khảo 
[1] Butzer P. L, Hahn L., and Westphal U., On the 
rate of approximation in the central limit 
theorem, J. Approx. Theory 13 (1975) 327–340. 
[2] Butzer, P. L., Hahn, L., General theorems on 
rates of convergence in distribution of random 
variables I. General limit theorems, Journal of 
multivariate analysis, 8, (1978) 
181-201. 
[3] Kalashnikov V., Geometric Sums: Bounds for 
Rare Events with Applications, Kuwer Academic 
Publishers, 1997. 
[4] Kozubowski T. J. and Rachev S. T., Univariate 
Geometric Stable Laws, Journal of 
Computational Analysis and Applications, Vol. 
1, No. 2, 1999. 
[5] W. Feller, Introduction to Theory Probability 
and Its Applications, 1967, Vol. 2. 
[6] Toda, A. A., Weak limit of the geometric sum of 
independent but not identically distributed 
random variables, arXiv:1111.1786v2. 2011. 
[7] Tran Loc Hung, The Trotter’s operator method 
in the law of large numbers with random index, 
Vietnam J. Math. 2 (1988) 4–9. 
[8] Trotter H.F., An elementary proof of the central 
limit theorem, No.10, Arch. Math Basel, 1959, 
pp. 226-234. 
 Ngày nhận bài: 1/3/2018 
 Ngày chuyển phản biện: 5/3/2018 
 Ngày hoàn thành sửa bài: 27/3/2018 
 Ngày chấp nhận đăng: 3/4/2018