Phương pháp tính - Chương I: Giải phương trình f(x) = 0

Chương I : Giảûi phương trình f(x)=0 
1)Định nghĩa: Khoảng ],[ ba gọi là một
khoảûng cáùch ly nghiệäm nếu trong khoảng đó 
phương trình 0)( =xf chỉ có duy nhất một 
nghiệm . 
Định lýùù: 
Nếááu )(xf khả vi liên tục trên ],[ ba 
1) )(' xf giữ dấu trên ],[ ba 
2) 0)()( <bfaf 
thì ],[ ba là khoảng cách ly nghiệm . 
Ví dụïï : Phương trình 0144 =−− xx 
094.1)5.1( <−=f 
07)2( >=f . 
Hàm đơn điệu trong ]2,5.1[ 0)(' >xf
khoảng cách ly nghiệm : ]2,5.1[ 
khoảng cách ly nghiệm thứ 2 : ]0,1[− (BTập)
2)Côâng thứùc sai sốá tổång quáùt : 
dx : nghiệm đúng của 0)( =xf 
gdx : nghiệm gần đúng. 
Công thức sai số : (1)
( )gd
gd d
f x
x x
m
− ≤ 
 Ký hiệu : 
 )(')1( xfMinm = , ∈∀ x ],[ ba 
Ví dụïï : Phương trình 0144 =−− xx xét trong 
khoảng cách ly nghiệm : ]2,5.1[ 
giả sử 663.1=gdx . Đánh giá sai số tuyệt đối 
(1.663) 0.003629f = 
 =)1(m 9.5 
sai số : 0.0004
0.0036291.663 *
9.5
x− ≤ ≈ 
3)Phương pháùùp chia đôââi : 
a)Nộääi dung : 
Nếu ],[ ba là khoảng cách ly nghiệm thì 
]
2
,[ baa + hoặc ],
2
[ bba + sẽ là khoảng cách 
ly nghiệm mới . 
Lặp lại quá trình phân chia này nhiều lần . 
b) Đáùùnh giáùù sai sốáá : 
1
( )
2
n d n
b a
x x
+
−
− ≤ 
c)Nhậään xéùùt : 
Luôn cho nghiệm gần đúng. 
Giải thuật đơn giản. 
Tốc độ hội tụ khá chậm . 
Ví dụïï 1: Phương trình 0cos =− xx với 
khoảng cách ly nghiệm ]1,0[ , chia đôi tới 4x 
Kết quả cho theo bảng sau 
Sai số phương pháùùp chia đơi là 
5
1 0.3125
322
b a−
= = 
Ví dụïï 2 : Giải phương trình 0=− −xex với 
khoảng cách ly nghiệm ]1,0[ đến 3x 
0.5
0.75
0.625
0.5625 
2) Phương pháùùp lặëëp đơn 
(phương pháùùp điểååm bấáát độääng, phương 
pháùùp áùùnh xạïï co ) 
a) Nộääi dung : 
*) Đưa phương trình 0)( =xf về dạng 
 tương đương )(xx ϕ= 
*) Kiểm tra điềààu kiệään đối với hàm )(xϕ : 
 ' ( ) 1 [ , ]Max x q x a bϕ = < ∀ ∈ 
*) Lấy 0x là một giá trị ban đầu tùøøy ýùù ∈[ a, b ] 
 Xây dựng dãy lặp : )( 01 xx ϕ= 
 )( 12 xx ϕ= 
 )( 23 xx ϕ= 
 Lấy n hữõõu hạïïn gdn xx = 
 b) Đáùùnh giáùù sai sốáá : 
1) 
q
xxq
xx
n
n
−
−
≤−
1
* 01 
 ( đánh giá tiêâân nghiệääm ) 
 2) 
q
xxq
xx nnn
−
−
≤− −
1
* 1 
 ( đánh giá hậääu nghiệääm ) 
c) Nhậään xéùùt : 
 Có vôââ sốáá cách chọn hàm )(xϕ 
 Hàm )(xϕ có tính chất 1<q gọi là hàøøm co 
 q là hệää sốáá co 
 q càng nhỏ thì tốc độ hội tụ càng cao 
 1q ≥ Không sử dụng được 
Ví dụïï1 : Xét phương trình 010003 =−+ xx 
trong khoảng cách ly nghiệm ]10,9[ 
a) 010003 =−+ xx 
 31000 xx −= 
 31000)( xx −=ϕ 
 23)(' xx −=ϕ 
 23)(' xx =ϕ 
 300)(' =ϕ= xMaxq > 1 
 Không sử dụng được 
b) 010003 =−+ xx 
 xx −=10003 
 31000 xx −= 
 31000)( xx −=ϕ 
 1)(' x −=ϕ 
3 2)1000(3 x−
3 2)1000(3
1)('
x
x
−
=ϕ 
3 2)1000(3
1
x
Maxq
−
= 0.003355742403=
9.966554934
9.966667166
9.966666789
9.966666791
x0=10.0 
126.74 10−×Sai số hậu nghiệm x4
c) 010003 =−+ xx 
 xx −=10003 
x
x
x
−
=
10002 
x
x
x
−
=
1000 
x
x
x
−
=ϕ 1000)( 
Với 100 =x ta có 966666791,9=gdx với số 
bước lặp 
Phương pháùùp Newton 
 ( Phương pháùùp Tiếááp tuyếáán ) 
a) Nộääi dung : Đưa 0)( =xf về dạng lặp 
 )()('
)(
x
xf
xf
xx ϕ=−= . 
Chọn 0x 
 )('
)(
0
001
xf
xf
xx −= 
 )('
)(
1
112
xf
xf
xx −= 
b) Đáùùnh giáùù sai sốáá : 
Sai số theo công thức sai số tổng quát 
 )1(
)(
*
m
xf
xx
gd
gd ≤− 
c)Nhậään xéùùt : 
Phương pháp sử dụng được nếu )(' xf và )('' xf 
không đổi dấu trên khoảng cách ly nghiệm . 
Điểm 0x là điểm Fourier nếu )( 0xf cùng dấu 
với 0'' ( )f x 
Chọn 0,x a x b= = nếu a , b là điểååm Fourier 
Vídụïï: Phương trình 010003 =−+ xx với khoảng 
cách ly nghiệm ]10,9[ 
Điểm nào là điểm Fourier trong hai điểm 9 , 10 
Với 0x tìm được , tính 2x . 
Đánh giá sai số của 2x 
0.3