Bài giảng Phương pháp số - Chương 1: Số xấp xỉ và sai số - Phan Thị Hà

c 
chữ số bên phải αs đều là đáng nghi). 
Ví dụ. Số xấp xỉ a = 4.67329 
với Δa = 0.004726. Ta có | Δa | ≤ 0.5 *10-2 do đó các chữ số đáng tin là: 4,6,7; các chữ 
số đáng ngờ là 3,2, 9. 
với Δa = 0.005726. Ta có | Δa | ≤ 0.5 *10-1 (nhưng | Δa | > 0.5 *10-2 ) do đó các chữ số 
đáng tin là: 4,6; các chữ số đáng ngờ là 7, 3, 2, 9. 
1.3.3. Cách viết số xấp xỉ 
a. Kèm theo sai số 
Cách thứ nhất là viết kèm theo sai số như công thức (1.3) A = a ± Ea 
b. Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin 
Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin; có nghĩa là sai số 
tuyệt đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng. 
1.3.4. Sai số quy tròn 
Trong tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước sau: nếu chữ số bỏ 
đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 
thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng. 
Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là E . Giả sử ta quy tròn a thành a' 
với sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn là θ, tức là: 
| a' - a| ≤ θ. 
Ta có 
| a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + E 
Vậy có thể lấy θ +E làm sai số tuyệt đối giới hạn của a'. Như vậy việc quy tròn làm tăng 
sai số tuyệt đối giới hạn. 
 7
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 
1.4. CÁC QUY TẮC TÍNH SAI SỐ 
1.4.1. Mở đầu 
Ta xét bài toán tổng quát hơn như sau: 
Xét hàm số u của 2 biến số x và y: 
 u = f(x,y) 
Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ 
của giá trị đúng U = f (X,Y). 
Cho biết sai số về x và y, hãy lập công thức tính sai số về u. 
Cho biến x ta sẽ ký hiệu Δx = x - X là số gia của x, còn dx là vi phân của x. 
Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có | Δx | ≤ Δ x 
Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: 
du = 
x
u
∂
∂ dx + 
y
u
∂
∂ dy 
Từ đây 
Δu ≈ 
x
u
∂
∂ Δx + 
y
u
∂
∂ Δy 
Suy ra 
Δ u = |
x
u
∂
∂ | Δ x + |
y
u
∂
∂ | Δ y (1.9) 
1.4.2. Sai số của tổng 
Cho u = x + y 
Ta có 
x
u
∂
∂ = 
y
u
∂
∂ = 1 
Từ (1.9) suy ra 
 Δ u = Δ x + Δ y (1.10) 
Ta có quy tắc sau: 
Sai số tuyệt đối giới hạn của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối giới hạn của các số hạng. 
Ghi chú. Xét trường hợp u = x - y và x, y cùng dấu. Lúc đó ta có 
δu = Δ u/|u| = (Δ x + Δ y)/ |x-y| 
Ta thấy rằng nếu | x -y | rất bé thì sai số tương đối giới hạn rất lớn. Do đó trong tính toán 
người ta tìm cách tránh trừ những số gần nhau. 
1.4.3. Sai số của tích 
Cho u = xy 
 8 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 
Ta có 
x
u
∂
∂ = y, 
y
u
∂
∂ = x 
Từ (1.9) suy ra 
 Δ u = |y|Δ x + |x|Δ y 
Do đó δu = Δ u/|u| = Δ x/|x| + Δ y/|y| = δx + δy 
Vậy 
 δu = δx + δy (1.11) 
Ta có quy tắc sau: 
Sai số tương đối giới hạn của một tích bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các số 
hạng của tích. 
Xét trường hợp đặc biệt u = xn ta có 
δxn = n δx (1.12) 
1.4.4. Sai số của thương 
Cho u = x/y 
Ta có 
x
u
∂
∂ = 
y
1 , 
y
u
∂
∂ = 2y
x− 
Từ (1.9) suy ra 
 Δ u = |
y
1 |Δ x + | 2y
x |Δ y 
Ta có 
 Δ u / |u| = Δ u . |
x
y | = |
x
y | ( |
y
1 |Δ x + | 2y
x |Δ y) = |
x
1 |Δ x + |
y
1 |Δ y = 
Suy ra: 
 δxy = δx + δy (1.13) 
Ta có quy tắc sau: 
Sai số tương đối giới hạn của một thương bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các 
số hạng của thương. 
1.4.5. Sai số của hàm bất kỳ 
Cho u = f(x1, x2,..., xn) 
Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: 
du = 
1x
u
∂
∂ dx1 + 
2x
u
∂
∂ dx2 + ... + 
nx
u
∂
∂ dxn 
 9
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 
Từ đây ta có 
Δu ≈ 
1x
u
∂
∂ Δx1 + 
2x
u
∂
∂ Δx2 + ... + 
nx
u
∂
∂ Δxn 
Suy ra 
Δ u = |
1x
u
∂
∂ | + |Δ
1x
2x
u
∂
∂ | Δ
2x
 + ... + |
nx
u
∂
∂ | Δ
nx
 (1.14) 
Ví dụ. Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu: 
 V = (1/6)πd3
nếu cho đường kính d = 3.7 ± 0.05 cm và π = 3.14 ± 0.0016. 
Giải. 
Xem π và d là đối số của hàm V, áp dụng (1.12) và (1.13) ta có 
δV = δπ + 3δd (Hệ số 1/6 không ảnh hương đến sai số tương đối) 
δπ = 0.0016/3.14 = 0.0005 
δd = 0.05/3.7 = 0.0135 
Suy ra δV = 0.0005 + 3 * 0.0135 = 0.04 
Mặt khác V = (1/6)πd3 = 26.5 cm3 
Ta có Δ V = |V|*δV = 26.5*0.04 = 1.06 ≈ 1.1 cm3 
V = 26.5 ± 1.1 cm3 
1.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN VÀ SAI SỐ PHƯƠNG PHÁP 
Như chúng tôi đã nhắc đến ở trên, khi giải một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đó 
bằng bài toán đơn giản hơn để có thể tính toán bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bài 
toán phức tạp bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng. 
Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp. Mặc dầu bài toán đã ở dạng 
đơn giản, có thể tính toán được bằng tay hoặc trên máy tính, nhưng trong quá trình tính toán ta 
thường xuyên phải làm tròn các kết quả trung gian. Sai số tạo ra bởi tất cả những lần quy tròn như 
vậy được gọi là sai số tính toán. Trong thực tế việc đánh giá các loại sai số, nhất là sai số tính 
toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện. Để hiểu rõ hơn bản chất của sai số phương pháp và 
sai số tính toán ta xét ví dụ sau: 
Ta biết rằng với số x bất kỳ ta có 
 ex = 1+ 
!1
x + 
!2
2x
 + ... + 
!n
x n
 +... 
Công thức này có thể dùng để tính giá trị ex . Tuy nhiên đây là tổng vô hạn, nên trong thực 
tế ta chỉ tính được tổng Sn = 1+ 
!1
x + 
!2
2x
 + ... + 
!n
x n
, nghĩa là chúng ta đã dùng phương pháp gần 
đúng. Khi tính tổng Sn ta lại thường xuyên phải làm tròn, do đó ta lại gặp sai số khi tính toán Sn . 
Việc đưa ra một đánh giá về sai số tổng hợp của cả hai loại sai số trên là bài toán rất phức tạp. 
 10 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 
1.6. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT QUÁ TRÌNH TÍNH TOÁN 
Xét một quá trình tính toán về lý thuyết có vô hạn bước để tính ra một đại lượng nào đó. Ta 
nói rằng quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là sai số quy tròn tích lũy lại không tăng 
vô hạn. Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính là không ổn định. 
Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì không có hy vọng tính được đại lượng cần 
tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép. 
Để kiểm tra tính ổn định của một quá trình tính toán thường người ta giả sử sai số chỉ xảy 
ra tại một bước, các bước sau đó coi như không có sai số khác phát sinh. Nếu cuối cùng sai số tính 
toán không tăng vô hạn thì coi như quá trình tính là ổn định. 
1.7. MỘT VÀI ĐIỀU VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA THỰC TẾ VÀ MÔ HÌNH 
Theo những điều vừa nói trên đây thì chúng ta luôn hiểu thực tế là tuyệt đối đúng, sai số chỉ 
xảy ra khi ta muốn mô hình hóa thực tế và tiến hành tính toán mô hình đó. Thực vậy, chúng ta có 
cảm giác rằng giới tự nhiên đang hoạt động một cách chính xác: hệ mặt trời đã có khoảng 5 tỷ 
năm tuổi, nhưng sự vận hành của nó có vẻ vẫn hoàn hảo: hàng ngày mặt trời mọc, mặt trời lặn đều 
theo quy luật. Cứ sau 365 ngày + 1/4 ngày thì quả đất quay đủ một vòng quanh mặt trời và hầu 
hết các vùng trên trái đất đều trải qua bốn mùa. Chúng ta có thể hình dung rằng chỉ cần mỗi năm 
sự vận hành của các hành tinh sai lệch đi chút ít thì trong hàng tỷ năm sai số tích lũy có thể sẽ gây 
nên những biến cố khôn lường! Tuy nhiên theo các nhà thiên văn thì sự vận hành của các hành 
tinh không tuyệt đối hoàn hảo như ta tưởng. Xét vị trí của mặt trời và trái đất chẳng hạn, theo lý 
thuyết thì nếu ngày hôm nay mặt trời đứng ở vị trí giữa bầu trời tính từ đông sang tây thì sau 24 
giờ nữa nó cũng ở vị trí giữa bầu trời (tất nhiên là có thể chếch về phía nam nếu ta đang ở Việt 
nam). Nhưng trong thực tế không phải như vậy. Các nhà thiên văn đã không thể xây dựng được 
múi giờ một cách chính xác và nhất quán nếu dựa vào vị trí của mặt trời. Nói cụ thể hơn, nếu dựa 
vào vị trí mặt trời của năm nay làm múi giờ cho các vùng trên trái đất thì năm sau thời gian đó 
không còn thích hợp cho quỹ đạo của mặt trời nữa, mà có khác đi chút ít. Chính vì sự "đỏng đảnh" 
của mặt trời như vậy nên các nhà thiên văn đã đưa ra khái niệm mặt trời trung bình và thời gian 
trung bình. So với mặt trời trung bình và thời gian trung bình thì hàng năm mặt trời thật đi lệch 
trong khoảng thời gian từ -14,3 đến +16,3 phút. Tuy nhiên sở dĩ các sai số này không tích lũy từ 
năm này sang năm khác là vì các sai số giao động quanh vị trí trung bình và triệt tiêu lẫn nhau 
theo thời gian. 
Nghĩa là, không chỉ mô hình của chúng ta, mà ngay cả giới tự nhiên cũng có những sai số. Tuy 
nhiên các sai số trong giới tự nhiên đều có quy luật và thường triệt tiêu lẫn nhau, do đó không làm 
ảnh hưởng đến sự vận hành của các vật thể. 
BÀI TẬP 
Bài 1. Khi đo 1 số góc ta được các giá trị sau: 
a= 21o37’3”; b=1o10’ 
Hãy xác định sai số tương đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số tuyệt đối trong phép đo 
là 1”. 
 11
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 
Bài 2. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của 
chúng: 
a) a= 13267 ; δa=0,1% 
b) b=2,32; δb=0,7% 
Bài 3. Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong các số a,b với sai số như sau: 
a) a= 0,3941; Δ a=0,25.10-2
b) b=38,2543; Δ a= 0,27.10-2
Bài 4. Hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các số a với sai số tương đối như sau: 
a) a=1,8921; δa=0,1.10-2 
b) a=22,351; δa=0,1 
Bài 5. Hãy qui tròn các số dưới đây( xem là đúng) với 3 chữ số có nghĩa đáng tin và xác định sai 
số tuyệt đối Δ và sai số tương đối δ của chúng: 
a) a= 2,514; b) 0,16152 
c) 0,01204; d) –0,0015281 
Bài 6. Hãy xác định giá trị của các hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối 
ứng với những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin. 
a) u=ln(x+y2); x=0,97; y=1,132 
b) u=(x+y)2z; x=3,28; y=0,932; z=1,132 
 12 
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt