Nghiên cứu tăng khả năng ứng dụng của phần mềm MDSOLIDS để giải một số vấn đề dạng dầm chịu tải trọng phân bố theo quy luật hàm phi tuyến

lication increases, the complexity of solving is 
also increased, convenient for the user. 
Keywords: MDSOLIDS software, maple sofware, nonlinear function load. 
1. Đặt vấn đề 
MDSolids là phần mềm mạnh giải các bài toán sức bền vật liệu (SBVL). Tuy nhiên với các 
bài toán phức tạp như dầm chịu tải phân bố theo quy luật hàm phi tuyến (Hình1a,1b,1c,1d), theo 
cách thông thường, dùng MDSolids không giải được các bài toán đó. 
Với cách thay hàm phi tuyến bằng các đa thức nội suy tuyến tính, bài toán dầm chịu tải phi 
tuyến trở thành bài toán dầm chịu tải tuyến tính, từ đó việc nhập thông số tải trọng, giải bài toán 
được thực hiện bình thường bằng MDSolids. Theo 
phương pháp này, phạm vi ứng dụng MDSolids giải các 
dạng bài toán SBVL tăng lên, giải được các bài toán có 
độ phức tạp tăng lên. 
2. Cơ sở lý thuyết 
Việc thay hàm phi tuyến bằng các đa thức nội suy 
tuyến tính thực chất là tính gần đúng tích phân 
( ( )
b
f x dx
a
 ). Theo [1], [2] có thể sử dụng công thức hình 
thang, công thức Simpson (công thức parabol) hay công 
x0=a
y
x
y=f (x)
xi xi+1 xn=b
yi
yi+1
0 
Hình 2. Xây dựng công thức hình thang 
Hình 1. Sơ đồ dầm chịu tải phân bố phi tuyến 
4 2
1 ) q = q- ( )x 2
q
a s x
s
 
2
1 ) q =q(1 4 ) (x )x 2
2
 
x s
b
s
q qx
q
x
s/2
s
qqx
x
s/2
s
1 ) q =q.sin( )x
 x
d
s
4 2
1 ) q . (x )x 2
2
 
sq
c x
s
qx
x s/2
s
q
x
s
qx
s/2
q
 50 Tạp chí khoa học Công nghệ Hàng hải Số 55 - 8/2018 
thức Newton (công thức ba phần tám (3/8)). Nhằm sử dụng các tiện ích mô tả tải trọng có sẵn 
trong thư viện của MDSolid, chúng tôi sử dụng công thức hình thang, xây dựng công thức hình 
thang như sau: Trên mỗi đoạn [xi, xi+1], ta thay diện tích hình thang cong bởi diện tích hình thang 
tương ứng (Hình 2). 1( ) .
2
b y yi if x dx h
a
  , lấy tổng trên các đoạn xi =[xi, xi+1], i= 0,1, n-1, ta 
có:
1 1( ) .
0 2
b n y yi if x dx h
xa
  

, ở đây
b a
h
n


0 ( ) ( .... )1 2 1
2
b y yb a n
hay f x dx y y yna n

     với: 
y0=f(a), yn=f(b), yi = f(xi),(i = 0, 1, (n-1). Như vậy cơ sở lý thuyết của giải pháp là dùng công thức 
hình thang tính toán thay hàm phi tuyến bằng các đa thức nội suy, sau đó sử dụng MDSolids giải 
bài toán. 
3. Ứng dụng MDSolids giải một số bài toán dầm chịu tải phân bố theo luật phi tuyến 
3.1. Những ví dụ 
Ví dụ 1 (tr322) [5]: Vẽ biểu đồ nội lực dầm chịu tải phân bố:
2
( )2
q
q x bx
a
  , q=1kN/m, 
a=2m, b=1m, s=3m (Hình 3) 
 q
qx
a
x
b
s 
Hình 3. Sơ đồ dầm chịu tải phân bố phi tuyến 
Hình 4. Biểu diễn hình học nội suy 
3 2( 1)
41
x
P dx

  
Lời giải: Thực hiện qua 3 bước: 
1. Dùng phần mềm MAPLE tính: 
3 2( 1)
41
x
P dx

  ; lập công thức và xác định giá trị tổng (s) đa 
thức nội suy, tính sai số xấp xỉ:
P s
P

  ; vẽ biểu diễn hình học phép nội suy. Chương trình Maple 
(dùng with (student)), [3]: 
>restart; with(student); Digits:=7; 
P:=Int((x-1)^2/4,x=1..3); P:=evalf(%);s:=middlesum((x-1)^2/4,x=1..3,10); 
s:=evalf(%); Delta:=evalf((P-s)/P); 
print(student[middlebox]((x-1)^2/4,x=1..3, 10)); 
Kết quả:
 := P d



1
3
( )x 1 2
4
x 
P:=0,6666667 := s
1
5













i 0
9
















i
5
1
10
2
4
S:=0,6650000 
 := 0.002500050 
2. Chương trình Maple tính chiều rộng (xi), chiều cao (yi) các hình chữ nhật nội suy (Hình 4): 
> for i from 1 by 0.1 to 3 do x[i]: = (b-a)/n=2./10; y[i]:=evalf((i-1)^2/4); od; Kết quả, (trích): 
xi =0,20000 
y1.1;= 0,002500 y1.3:= 0,02250 y1.5:= 0,06250 y1.7:= 0,1225  y2.5:= 0,5625 y2.7:= 0,7225 y2.9:= 0,9025 
Dùng MDSolids vẽ biểu đồ mômen uốn, lực cắt, thực hiện như sau: 
 Tạp chí khoa học Công nghệ Hàng hải Số 55 - 8/2018 51 
a. Từ menu chính của MDSolids, chọn 
mục MDSolids, click “DeterminateBeam. 
 b. Chọn dầm có liên kết tương ứng đề bài. 
 c. Đặt chiều dài dầm (3m) 
d. Từ x=1, đặt liên tiếp tải trọng phân bố là 
hình chữ nhật, rộng: x=0.2, cao: y(i,i=1,1...2,9) (trị 
số theo bảng), kết thúc tại x=3m. Chiều lực: 
theo hướng mũi tên. Nhấn Enter, 
 e. Nhận kết quả (Hình 5). 
Ví dụ 2 (tr340) [5]: Vẽ biểu đồ nội lực dầm chịu tải phân bố: 
4
( )( )2   
q
q x b b a xx
a
, q = 1kN/m, a 
= 4m; b =1m, d=3m, s=6m (Hình 6). 
Hình 6. Sơ đồ dầm chịu tải phân bố phi tuyến Hình 7. Biểu diễn hình học nội uy
5 ( 1)(5 )
41
x x
p dx
 
  
Lời giải: Thực hiện qua ba bước sau: 
1. Dùng MAPLE tính:
5 ( 1)(5 )
41
x x
p dx
 
  ; lập công thức và xác định tổng (s) đa thức nội suy, 
tính sai số xấp xỉ 
P s
P

  , vẽ biểu diễn hình học phép nội suy (Hình 7). 
Chương trình Maple (dùng with(student)), [3]: 
> with(student); P:=Int((x-1)*(5-x)/4,x=1..5); P:=evalf(%); 
s:=middlesum((x-1)*(5-x)/4,x=1..5,20); s:=evalf(%); Delta:=evalf((P-s)/P); 
print(student[middlebox]((x-1)*(5-x)/4,x=1..5,20)); 
Kết quả: 
 := P d




1
5
( )x 1 ( )5 x
4
x
P=2,66667 := s
1
5












j 0
19


















j
5
1
10






39
10
j
5
4
S= 2,67000 = 0.00124875 
2. Chương trình Maple tính chiều rộng (xi), cao(yi,i=1..10) hình chữ nhật nội suy (Hình 7). 
>for i from 1 by 0.1 to 5 do 
x[i]:=(b-a)/n=4./20; y[i]:=evalf((i-1)*(5-i)/4); od; Kết quả,(trích): := x
0.1
0.2000000
y1.1;= 0,09750 y1.3:= 0,2775 y1.5:= 0,4375 y1.7:= 0,5775  y2.3:= 0,8775 y2.5:= 0,9375 y2.7:= 0,9775 y2.9:= 0,9975 
Y3.1;= 0,9975 Y3.3:= 0,9775 Y3.5:= 0,9375 Y3.7:= 0,8775  Y4.3:= 0,5775 Y4.5:= 0,4375 Y4.7:= 0,2775 Y4.9:= 0,09750 
Hình 5. Biểu đồ lực cắt - mômen uốn 
qx
x
b a/2 a/2
s
qd
 52 Tạp chí khoa học Công nghệ Hàng hải Số 55 - 8/2018 
3. Dùng MDSolids vẽ biểu đồ mômen uốn lực cắt, cách thực hiện như ví dụ 1: 
 a. Từ menu chính của MDSolids, chọn mục 
MDSolids, click “DeterminateBeam. 
 b. Chọn dầm có liên kết tương ứng đề bài. 
 c. Đặt chiều dài dầm (6m) 
 d. Từ x = 1, đặt liên tiếp tải trọng phân bố là hình 
chữ nhật, rộng: x = 0,2, cao: y(i, I=1,14,9) (trị số tra 
bảng) kết thúc tại x = 5 m, chiều lực: theo hướng 
mũi tên. 
e Nhấn Enter, được kết quả (Hình 8) 
Ví dụ 3 (tr 332) [5]: Vẽ biểu đồ nội lực dầm chịu tải phân bố:
24
. 1 
2
x
q qx
s
 
  
 
 
, (xs/2), 
q = 1kN/m, S = 4 m, (Hình 9). 
Lời giải: 1. Dùng MAPLE tính: 
2 2
(1 )
40
x
P dx  ; lập công thức và xác định giá trị tổng (s) đa 
thức nội suy, tính sai số xấp xỉ ; vẽ biểu diễn hình học phép nội suy. Chương trình tính dùng 
Maple, [3]: >with(student); P:=Int((1-x^2/4),x=0..2); P:=evalf(%); 
s:=middlesum((1-x^2/4),x=0..2,10); s:=evalf(%); Delta:=evalf((P-s)/P); 
print(student[middlebox]((1-x^2/4),x=0..2,10)); 
Kết quả: := P d



0
2
1
x2
4
x
 := P 1.3333 
 := s
1
5











j 0
9







1






j
5
1
10
2
4
 := s 1.3350 :=  -0.0012750 
2. Chương trình Maple tính chiều rộng (xi), chiều cao (yi) các hình chữ nhật nội suy (Hình 10). 
> for i from 0 by 0.1 to 2 do 
x[i]:=(b-a)/n=2./10; y[i]:=evalf(1-i^2/4); 
x[2+i]:=(b-a)/n=2./10; y[2+i]:=evalf(1-(1-i^2/4)); od; Kết quả,(trích): xi = 0,20000 
Y0.1;= 0,99750 Y0.3:= 0,97750 Y0.5 := 0,93750  Y1.3:= 0,57750 Y1.5:= 0,43750 Y1.7:= 0,27750 Y1.9:= 0,09750 
Y2.1;= 0,0025000 Y2.3:= 0,922500 Y2.5:= 0,062500  Y3.3:= 0,42250 Y3.5:= 0,56250 Y3.7:= 0,72250 Y3.9:= 0,90250 
3. Dùng MDSolids, vẽ biểu đồ mômen uốn, lực cắt, cách thực hiện như ví dụ 1: 
a. Từ menu chính của MDSolids, chọn mục MDSolids, click “DeterminateBeam. 
b. Chọn dầm có liên kết tương ứng đề bài. 
c. Đặt chiều dài dầm 4m 
d. Từ x=0, đặt liên tiếp tải trọng phân bố là hình chữ nhật, rộng: x=0,2, cao: y(i,i =0,13,9) (trị số 
tra bảng) kết thúc tại x=4m, chiều lực: theo hướng mũi tên. 
Hình 8. Biểu đồ lực cắt - mômen uốn 
Hình 9. Sơ đồ dầm chịu tải phân bố phi tuyến 
qqxq qx
x x
s/2
s 
Hình 10. Biểu diễn hình học nội suy
22
(1 )
40
x
P dx  
 Tạp chí khoa học Công nghệ Hàng hải Số 55 - 8/2018 53 
Hình 11. Biểu đồ lực cắt – mômen uốn 
e. Nhấn Enter, được kết quả (Hình 11) 
3.2. Nhận xét chung các ví dụ 
Các ví dụ 1, 2, 3 lần lượt chọn số đa thức nội 
suy là (n = 10, 20,10), kết quả đúng với cách tính 
dùng tài liệu [4], [5], tuy nhiên dùng MDSolids tính đơn giản hơn rất nhiều. 
Tải trọng phân bố theo quy luật phi tuyến ở các ví dụ 1, 2, 3 là phức tạp, không có sẵn trong 
bảng các công thức của tài liệu SBVL. Những lời giải ngắn gọn của các ví dụ, kết quả đúng cho 
thấy tính hiệu quả của phương pháp. 
4. Kết luận 
Bài báo trình bày nghiên cứu tăng khả năng ứng dụng phần mềm MDSolids giải một số 
dạng toán dầm chịu tải phân bố theo quy luật phi tuyến. Quá trình tính, thay tải trọng phân bố theo 
quy luật hàm phi tuyến bằng các đa thức nội suy tuyến tính thực hiện bằng MAPLE. Quá trình vẽ 
biểu đồ lực cắt, mômen uốn sau tính toán thực hiện bằng MDSolids. 
Phương pháp tính cho kết quả: Nhanh, chính xác, giải được các bài toán phức tạp hơn rất 
nhiều so với phương pháp giải trực tiếp truyền thống. 
Một số bài toán được giới thiệu là những bài toán có độ phức tạp và tính điển hình cao.Tuy 
nhiên với các kết cấu dạng khung, kết cấu dân dụng, công trình công nghiệp thì việc tính toán còn 
khó khăn, vấn đề này sẽ tiếp tục được nghiên cứu để ứng dụng tốt hơn trên phần mềm MDSolids. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Hoàng Xuân Huấn. Giáo trình các phương pháp số. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004. 
[2] Tôn Tích Ái. Phương pháp số. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001. 
[3] Phạm Huy Điển. Dạy và học toán máy tính. NXB Giáo dục, 2007. 
[4] Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng. Bài tập sức bền vật liệu. NXB Giáo dục, 2001 
[5] Г.С.ГЛУШКОВ, И.Р.ЕГОРОВ, В.В.ЕРМОЛОВ. Фopmyлы для pacчeта cложных рам 
ИздателЬство “МАШИНОСТРОЕНИЕ”, Москва, 1966. 
Ngày nhận bài: 05/4/2018 
Ngày nhận bản sửa: 20/4/2018 
Ngày duyệt đăng: 26/4/2018