Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và hình vẽ biểu diễn trong hình học

một 
đối tượng tư duy không thể tiếp cận được. 
Khi đó, hình vẽ biểu diễn là đối tượng hình 
học mà học sinh làm việc trên đó. Học sinh 
Hình 5 
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 
36 
trước hết trích ra các tính chất bằng tri 
giác, sau đó dẫn đến việc sử dụng các dụng 
cụ hình học để kiểm chứng các giả thuyết 
được phát biểu. Do đó, các hoạt động hình 
học được thực hiện trực tiếp trên các hình 
vẽ hình học mà không tham chiếu đến một 
đối tượng hình học lý thuyết. Mục đích 
chính của các hoạt động này là cho phép 
học sinh làm quen với các đối tượng của 
mặt phẳng và của không gian và chuyển 
dần dần từ một hình học trong đó các đối 
tượng và các tính chất của chúng được 
kiểm tra bằng tri giác sang một hình học 
trong đó họ nhờ đến các công cụ và kiến 
thức về một số tính chất của đối tượng hình 
học lý thuyết. Chẳng hạn, ở bài tập 13, 
trang 79, Sách giáo khoa Toán 6, tập hai 
[18], học sinh được yêu cầu đo các góc 
, , ở hình 6: 
Việc xác định số đo của ba góc trong 
tam giác IKL được học sinh thực hiện bằng 
cách sử dụng thước đo độ thao tác trực tiếp 
trên hình vẽ biểu diễn để đo các góc. Trong 
trường hợp này, đối với học sinh, hình vẽ 
biểu diễn tam giác IKL được xem là đối 
tượng hình học và không được xem là hình 
vẽ biểu diễn cho đối tượng hình học lý 
thuyết. 
Trong tất cả các trường hợp như trên, 
đối tượng làm việc là hình vẽ, không có bất 
cứ sự mã hóa cũng như mô tả suy lý logic 
nào cho phép xem xét một đối tượng hình 
học lý thuyết. Tuy nhiên, việc đưa vào mã 
hóa không có nghĩa là người ta cần quan 
tâm đến đối tượng hình học lý thuyết. 
Chẳng hạn, trong một bài tập được trích ra 
từ Sách giáo khoa Toán của Pháp Maths 
CM1 [5, tr.79], tương đương lớp 4 của Việt 
Nam, học sinh được yêu cầu dựng lại một 
hình với các số đo thực trên giấy kẻ ô lưới 
1cmx1cm với các dụng cụ hình học từ một 
sơ đồ vẽ bằng tay cho trước trên đó có ghi 
số đo của các cạnh (Hình 7). 
Sơ sồ trong hình 7 có thể được diễn 
giải như một biểu diễn của một đối tượng 
vật lý hay một đối tượng lý thuyết, nhưng 
nó không được quan tâm trong bài tập này. 
Hoạt động của học sinh trong trường hợp 
này là giải mã sơ đồ trong 7 để thực hiện 
dựng hình. Việc dựng hình ở đây được 
xem xét đơn giản là tạo ra một hình vẽ hình 
học tương ứng với mô tả bằng mã hóa. Do 
đó, đối tượng làm việc ở đây là hình vẽ mà 
trên đó học sinh cần đo độ dài các cạnh, sử 
dụng thước êke, 
3. Hình 
3.1. Hình là hình vẽ biểu diễn 
Duval định nghĩa hình theo nghĩa vết 
vẽ vật chất trên trang giấy, hay nói cách 
khác, Duval sử dụng từ hình cho cái mà 
chúng ta gọi là hình vẽ biểu diễn hay hình 
vẽ hình học, đối tượng hình học hay biểu 
diễn của một đối tượng hình học lý thuyết. 
3.2. Hình là đối tượng hình học lý 
thuyết 
Theo quan điểm cổ điển của Arsac và 
Parzysz, từ hình để chỉ một số đối tượng 
hình học lý thuyết. 
"chúng tôi dành riêng (là một quy 
ước, có thể tranh luận như mọi quy ước 
Hình 6 
Hình 7 
NGUYỄN ÁI QUỐC 
37 
khác) từ HÌNH cho bản thể hình học, trong 
khi chúng tôi sử dụng từ HÌNH VẼ BIỂU 
DIỄN cho một biểu diễn đồ họa (mặt 
phẳng) của hình này." [15, tr.14] 
Tuy nhiên, trong thực tế, từ hình được 
sử dụng để chỉ một đối tượng phức tạp hơn 
các đối tượng của hình vẽ biểu diễn hay 
của đối tượng hình học lý thuyết. 
3.3. Hình là lớp tương đương các 
hình vẽ biểu diễn 
Arsac, trong một số trường hợp, xem 
xét hình như một lớp tương đương các hình 
vẽ biểu diễn cùng một đối tượng hình học 
lý thuyết. Chính là cái mà Arsac gọi là 
quan điểm toán học trên hình. 
"Một hình xuất hiện như một lớp tương 
đương: cụ thể, hai hình vẽ biểu diễn cùng 
một hình khi chúng đồng dạng và đẳng cự 
(tùy theo loại thuộc tính mà chúng ta muốn 
nghiên cứu) hay thậm chí chúng tương ứng 
trong một phép biến đổi affine." [2, tr.174] 
Trong trường hợp của hai hình vẽ biểu 
diễn trong hình 8, không tồn tại một phép 
biến đổi affine biến hình vẽ biểu diễn này 
thành hình vẽ biểu diễn kia. 
Tuy nhiên, nếu xét từ một quan điểm 
khác, chúng biểu diễn cùng một đối tượng 
hình học : một tứ giác bất kỳ và đường tròn 
ngoại tiếp của nó. Vậy chúng ta có thể mở 
rộng định nghĩa ở trên của Arsac và xem 
xét hình như tập hợp tất cả các hình vẽ biểu 
diễn của một đối tượng hình học được định 
nghĩa bằng một phát biểu mô tả các đối 
tượng, các thuộc tính, các mối quan hệ: 
một tứ giác bất kỳ, nghĩa là không có góc 
vuông, không có hai cạnh song song và 
đường tròn ngoại tiếp của nó. 
Labord và Capponi phát triển khái 
niệm lớp tương đương theo cách phức tạp 
hơn: đưa khái niệm hình vào trong tam 
giác cái biểu đạt – cái được biểu đạt – cái 
quy chiếu. Hình vẽ biểu diễn là cái biểu 
đạt, sự biểu diễn; đối tượng hình học lý 
thuyết là quy chiếu, đối tượng được biểu 
diễn. 
"Hình hình học bao gồm sự ghép cặp 
một quy chiếu cho trước với tất cả các hình 
vẽ biểu diễn, do đó nó được định nghĩa như 
tập hợp các cặp được hình thành từ hai từ, 
từ thứ nhất là quy chiếu, từ thứ hai là một 
trong các hình vẽ biểu diễn; từ thứ hai 
được lấy từ trong không gian tất cả các 
hình vẽ biểu diễn có thể của quy chiếu. 
Trong sự chấp nhận này, từ hình hình học 
phản chiếu việc thiết lập một quan hệ giữa 
một đối tượng hình học và các biểu diễn có 
thể có của nó. Trong cách tiếp cận này, các 
mối liên quan giữa hình vẽ biểu diễn và 
quy chiếu của nó được xây dựng bởi một 
chủ thể, người đọc hay người tạo ra hình vẽ 
biểu diễn, bao gồm cái được biểu đạt của 
hình hình học liên kết với chủ thể này. Cái 
được biểu đạt này tương ứng với cái mà 
Fischbein (1993) gọi là khái niệm hình." 
[12, tr.168] 
4. Kết luận 
Việc làm rõ các quan điểm về hình và 
hình vẽ biểu diễn cũng như mối quan hệ 
giữa chúng là điều cần được quan tâm 
trong công tác đào tạo giáo viên Toán bậc 
phổ thông từ tiểu học đến trung học phổ 
thông. 
Sự phân biệt giữa hai đối tượng hình 
và hình vẽ biểu diễn mở ra một miền rộng 
lớn cho các nghiên cứu liên quan đến 
chúng. Các đặc trưng của mối quan hệ giữa 
hai đối tượng này trong hình học phẳng đã 
được nhiều nhà didactic toán làm rõ trong 
các công trình nghiên cứu của họ. 
Hình 8 
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 
38 
Thực tế dạy học cho thấy trong hình 
học không gian, mối quan hệ giữa hình và 
hình vẽ biểu diễn rất phức tạp vì vấn đề 
biểu diễn một đối tượng hình học lý thuyết 
của không gian 3D trong không gian 2D 
được thực hiện qua phép chiếu song song 
và việc chọn lựa một môi trường làm việc 
trên đó, môi trường giấy-bút chì hay máy 
tính, sẽ ít nhiều ảnh hưởng đến mối quan 
hệ này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Arsac, G., (1989): La construction du concept 
de figure chez des éleves de 12 ans. Actes de 
la 13
ème
 conference PME. Paris. P85-92. 
Artigue M., Rogalski J. et Vergnaud G. 
2. Arsac, G., & al. (1992): Initiation au 
raisonnement déductif au college. Ed. Presses 
Universitaires de Lyon. 
3. Arsac, G., (2004): Bases élementaires de 
l’étude de la démonstration mathematique. 
Séminaire de Didactique, Histoire et 
Épistemologie des Mathematiques, des 
Sciences et des Techniques du PREMST. 
IUFM de Lyon. 28 janvier 2004. 
4. Berthelot, R., & Salin, M. (1992): Espace et 
géométrie dans la scolarite obligatoire. Thèse 
de doctorat. Université de Bordeaux 1. 
5. Charney, R., & Combier, G., & Dussuc M. P. 
(2003): Cap Maths. CM1. Ed. Hatier. 
6. Duval, R. (1994): Les differents 
fonctionnements d’une figure dans une 
démarche géometrique. Reperes IREM. n
0
17. 
P121-138. Ed. IREM de Grenoble. 
7. Duval, R. (1995): Sémiosis et pensée 
humaine. Ed. Springer. Berne. 
8. Fischbein, E. (1993): The theory of figural 
concepts. Educational Studies in 
Mathematics. Vol. 24. n
0
2. P139-162. Ed. 
Kluwer Academic Publishers. 
9. Houdement, C., & Kuzniak, A. (1999.3): 
Géométrie et paradigmes géométriques. Petit 
x. n
0
 51. P5-21. Ed. IREM de Grenoble. 
10. Houdement, C., & Kuzniak, A. (2000): 
Formation des maitres et paradigmes 
géométriques. Recherches en Didactique des 
Mathematiques. Vol. 20. n
0
1. P 89-116. Ed. 
La Pensée Sauvage. Grenoble. 
11. Kuhn, T. (1977). The Essential Tension: Selected 
Studies in Scientific Tradition and Change. 
Chicago: University of Chicago Press. 
12. Labord, C., & Capponi, B. (1994): Cabri-
Géometre constituant d’un milieu pour 
l’apprentissage de la notion de figure 
géometrique. Recherches en Didactique des 
mathematiques. Vol. 14. n
0
1.2. p165-210. Ed. 
La Pensée Sauvage. Grenoble. 
13. Labord, C., & Capponi, B. (1995): 
Modelisation à double sens. Actes de la 8
ème
Ecole d’éte de Didactique des mathematiques. 
Saint Sauves d’Auvergne. Aout 1995. Ed. 
IREM de Clemont-Ferrand. 
14. Parzysz, B. (1988): "Knowing" vs "seeing". 
Problems of the plane representation of space 
geometry figures. Educational Studies in 
Mathematics. n
0
19. P79-92. Ed. Kluwer 
Academic Publishers. 
15. Parzysz, B. (1989): Représentations planes et 
enseignement de la géométrie de l’espace au 
lycée. Contribution à l’étude de la relation 
voir/savoir. Thèse de doctorat. Université 
Paris-7. Ed. IREM Paris-7. 
16. Parzysz, B. (2002): Articulation entre 
perception et déduction dans une démarche 
géometrique en PÉ. Actes du 28
ème
 colloque 
Inter-IREM des formateurs et professeurs 
chargés de la formation des maitres. Tours. 
Mai 2001. P.99-110. Ed. Presses 
Universitaires d’Orléans. 
17. Parzysz, B. (2004): Preuve perceptive ou 
démonstration? Le rapport des PE1 à la 
géometrie, étudie à travers leur discours 
"méta". Actes du 31
ème
 colloque Inter-IREM 
des formateur et professeurs charges de la 
formation des maitres. Foix. Mai 2004. Ed. 
IREM de Toulouse. 
18. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2012), 
Toán 6 – tập hai, Nxb Giáo Dục Việt Nam. 
Ngày nhận bài: 02/9/2017 Biên tập xong: 15/10/2017 Duyệt đăng: 20/10/2017