Một số bài toán về Phương Pháp Tính












Ta nhận thấy: Max
3330001302083,0
180
)25,3.(125,0.64
64)2()(
4
S
//////// 

 IIfxf . 
CHƯƠNG 6: 
TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 
Bài 21 
Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần đúng tích phân: dx
x


1
0
3 1
1
. 
Chia [0;1] thành 10 đoạn bằng nhau, suy ra h = 1,0
1
01


Ta tính ra bảng sau : 
Thứ tự x 
f(x) = 
1
1
3 x
0 0 1,00000 
1 0,1 0,99950 
2 0,2 0,99602 
3 0,3 0,98677 
4 0,4 0,96946 
5 0,5 0,94281 
6 0,6 0,90685 
7 0,7 0,86290 
 Áp dụng công thức Simpson : 
 Is = 3
h
[ y0+ y10 + 4( y1+ y3+ y5+ y7+ y9 )+ 2( y2+ y4+ y6+ y8 ) 
 Is = 3
1,0
[1 + 0,70711+ 4(0,99950 + 0,98677 + 0,94281 + 0,86290 + 0,76051)+ 
2(0,99602 + 0,96946 + 0,90685 + 0,81325 ) 
 Is = 0,90961 
Bài 22 
Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần đúng tích phân 
 
8,0
8,0
2
cos1
sin
dx
x
x
Chia [-0,8; 0,8] thành 16 đoạn bằng nhau, suy ra h = 
16
)8,0(8,0 
 = 0,1 
Ta tính ra bảng sau : 
Thứ tự 
x f(x) = x
x
cos1
sin 2

0 - 0,8 0.934412 
1 - 0,7 0.855826 
2 - 0,6 0.762860 
3 - 0,5 0.656932 
4 -0,4 0.539743 
5 -0,3 0.413236 
6 -0,2 0.279557 
7 -0,1 0.141009 
8 0 0.000141 
9 0,1 0.141009 
10 0,2 0.279557 
11 0,3 0.413236 
12 0,4 0.539743 
13 0,5 0.656932 
14 0,6 0.762860 
15 0,7 0.855826 
16 0,8 0.934412 
Áp dụng công thức Simpson : 
8 0,8 0,81325 
9 0,9 0,76051 
10 1,0 0,70711 
Is = 3
h
[y0+y16 + 4(y1+y3+y5+ y7+ y9+ y11+y13+ y15)+ 2(y2+ y4+ y6+ y8+ y10+ y12+ 
y14 ) 
Thay số và tính toán ta được kết quả Is = 0,824459 
Bài 23 
Dùng công thức Simpson để tính gần đúng tích phân dxx
x

 
5,0
5,0 )cos1ln(
)ln(cos
Chia [-0,5;0,5] thành 8 đoạn bằng nhau ta có h =0,125 
Ta tính ra bảng sau : 
Thứ tự x 
f(x) =
)cos1ln(
)ln(cos
x
x

0 - 0,5 - 0,207281 
1 - 0,375 - 0,109497 
2 - 0,250 - 0,046615 
3 - 0,125 - 0,011365 
4 0,000 0,000000 
5 0,125 - 0,011365 
6 0,250 - 0,046615 
7 0,375 - 0,109497 
8 0,5 - 0,207281 
 Áp dụng công thức Simpson : 
 Is = 3
h
[ y0+ y8 + 4( y1+ y3+ y5+ y7 )+ 2( y2+ y4+ y6 ) 
Thay số và tính toán ta được kết quả Is = - 0,065330 
Bài 24: Cho bài toán Cauchy: 
y’= y2 - x2 
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler trên [1,2], chọn bước h= 0,1. 
Bài giải: 
Theo đầu bài ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = 1 
Áp dụng công thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi) 
Ta tính được 
U1= U0+ hf(x0 ; y0) = 1+ 0,1(1
2-12)= 1 
U2= U1+ hf(x1 ; y1) = 1+ 0,1(1
2-1,12)= 0,979 
U3= U2+ hf(x2 ; y2) = 1+ 0,1(0,979
2-1,22)= 0,9308441 
U4= U3+ hf(x3 ; y3) = 1+ 0,1(0,9308441
2-1,32)= 0,848491173 
U5= U4+ hf(x4 ; y4) = 1+ 0,1(0,848491173
2-1,42)= 0,724484901 
U6= U5+ hf(x5 ; y5) = 1+ 0,1(0,724484901
2-1,52)= 0,551972738 
U7= U6+ hf(x6 ; y6) = 1+ 0,1(0,551972738
2-1,62)= 0,326440128 
U8= U7+ hf(x7 ; y7) = 1+ 0,1(0,326440128
2-1,72)= 0,048096444 
U9= U8+ hf(x8 ; y8) = 1+ 0,1(0,048096444
2-1,82)= - 0,275672228 
U10= U9+ hf(; y9) = 1+ 0,1[(- 0,275672228)
2-1,92) = - 0,629072711 
U11= U10+ hf(x10 ; y10) = 1+ 0,1- 0,629072711)
2-22) = - 0,989499463 
Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U11= α =- 0,989499463 
Câu 25. Cho bài toán Cauchy. 
y
x
yy
2/  
y(0) = 1, 0 x 1. 
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến ( chỉ lặp 1 lần),chọn bước h 
= 0,2 và so sánh kết quả với nghiệm đúng. 
Giải: 
Theo bài ra ta có ;1)0(0  yu .2,0h 
Vì ihxxi  0 , ta có bảng giá trị của x : 
0x 0,0 
1x 0,2 
2x 0,4 
3x 0,6 
4x 0,8 
5x 1,0 
Theo phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp hình thang). 
),()0( 1 iiii uxhfuu  (1) 
 ),(),(
2
1
)(
1
)1(
1 

  i
m
iiii
m
i uxfuxf
h
uu . (2) 
Từ (1) và (2) ta có ),( 000
)0(
1 uxhfuu  2,1)1
0
1(2,01  . 
 ),(),(
2
)0(
11000
)1(
1 uxfuxf
h
uu  
















 
2,1
2,0.2
2,1
1
0.2
11,01 = 1,186667. 
  356585,1
186667,1
2,0.2
186667,12,0186667,1),(2,0 )1(11
)1(
1
)0(
2  uxfuu . 
  ),(),(
2
)0(
22
)1(
11
)1(
1
)1(
2 uxfuxf
h
uu
348325,1
356585,1
4,0.2
356585,1
186667,1
0.2
186667,11,0186667,1 

















 
499325,1
348325,1
4,0.2
348325,12,0348325,1),(2,0 )1(22
)1(
2
)0(
3 





 uxfuu . 
  ),(),(
2
)0(
33
)1(
22
)1(
2
)1(
3 uxfuxf
h
uu
493721,1
499325,1
6,0.2
499325,1
348325,1
4,0.2
348325,11,0348325,1 

















 
631793,1
493721,1
6,0.2
493721,12,0493721,1),(2,0 )1(33
)1(
3
)0(
4 





 uxfuu . 
  ),(),(
2
)0(
44
)1(
33
)1(
3
)1(
4 uxfuxf
h
uu
627884,1
631793,1
8,0.2
631793,1
493721,1
6,0.2
493721,11,0493721,1 

















 
756887,1
627884,1
8,0.2
627884,12,0627884,1),(. )1(44
)1(
4
)0(
5 





 uxfhuu . 
  ),(),(
2
)0(
55
)1(
44
)1(
4
)1(
5 uxfuxf
h
uu
.754236,1
756887,1
1.2
756887,1
627884,1
8,0.2
627884,11,0627884,1 

















 
Vậy nghiệm gần đúng cần tính là )1(5u =  754236,1 
Câu 26. Cho bài toán Cauchy yxy / . 
y(0)= 1. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến với độ chính xác 
đến 4 chữ số lẻ thập phân trùng nhau, giá trị của y(0,1). chọn bước h = 0,05. 
Giải: 
Theo bài bước h = 0,05. f(x,y) = x + y Theo công thức Euler cải tiến ta có: 
 ),(),(
2
)(
11
)1(
1
m
iiiii
m
i uxfuxf
h
uu 

  (1) 
),()0( 1 iiii uxhfuu  (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 05,1)10(05,01),( 000
)0(
1  uxhfuu 
       0525,105,105,010
2
05,0
1),(),(
2
)0(
11000
)1(
1  uxfuxf
h
uu 
       05256,10525,105,010
2
05,0
1),(),(
2
)1(
11000
)2(
1  uxfuxf
h
uu 
Ta thấy )2(1u - 
)1(
1u = 1,05256 – 1,0525 = 0,00006 < 10
-4 đạt yêu cầu chính xác, lấy gần 
đúng 
 1u = 1,0526. 
Tính tiếp cho 2u , ta có: 
  .1077,1)0526,105,0(05,00526,1,. 111)0(2  uxfhuu 
       11036,11077,11,00526,105,0
2
05,0
0526,1),(),(
2
)0(
22111
)1(
2  uxfuxf
h
uu 
       11042,111036,11,00526,105,0
2
05,0
0526,1),(),(
2
)1(
22111
)2(
2  uxfuxf
h
uu 
Cũng như với 1u ta có 
)2(
2u
)1(
2u = 0,00006<10
-4. Ta có thể lấy y(0,1) = )1,0(u = 
2u 1,1104. 
Câu 27. Cho bài toán Cauchy 
0)0(
1 2/


y
yy 
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Runge – Kutta cấp 4 trên  6,0;0 . 
Chọn bước h= 0,2. 
Giải Theo bài ra, ta có 
3
2,0
06,0
2,0,6,0,0
0
0






h
xb
n
hbx 
Ta có bảng: 
0x 0 
1x 0,2 
2x 0,4 
3x 0,6 
* Tính u1 với 





0
0
0
0
x
u
Ta có 
202707408,0
)208164048,02020402,0.2202,0.22,0(
6
1
0)22(
6
1
208164048,0)20204021(2,0);(.
2020402,0)101,01(2,0).5,0;.5,0(.
202,0)1,01(2,0)5,0;5,0(.
2,0)01(2,0),(.
432101
2
3004
2
2003
2
1002
2
001






kkkkuu
kuhxfhk
kuhxfhk
kuhxfhk
uxfhk
*Tính 2u với 





2,0
202707408,0
1
1
x
u
Ta có: 
.422788992,0)235649101,0219483908,0.2
218827265,0.2208218058,0(
6
1
202707408,0)22(
6
1
235649101,0)422191316,01(2,0);(.
219483908,0)31212104,01(2,0).5,0;.5,0(.
218827265,0)306816437,01(2,0)5,0;5,0(.
208218058,0)202707408,01(2,0),(.
432112
2
3114
2
2113
2
1112
2
111






kkkkuu
kuhxfhk
kuhxfhk
kuhxfhk
uxfhk
*Tính 3u với 





4,0
422788992,0
2
2
x
u
Ta có: 
.6841334,0)293498538,0260945382,0.2
258463521,0.2235750106,0(
6
1
422788992,0)22(
6
1
293498538,0)683734374,01(2,0);(.
260945382,0)552020752,01(2,0).5,0;.5,0(.
258463521,0)540664045,01(2,0)5,0;5,0(.
235750106,0)422788992,01(2,0),(.
432123
2
3224
2
2223
2
1222
2
221






kkkkuu
kuhxfhk
kuhxfhk
kuhxfhk
uxfhk
*Tính 4u với 





6,0
6841334,0
3
3
x
u
029636621,1)412063133,0345582905,0.2
338091342,0.2293607701,0(
6
1
6841334,0)22(
6
1
412063133,0)029716305,11(2,0);(.
345582905,0)853179071,01(2,0).5,0;.5,0(.
338091342,0)83093725,01(2,0)5,0;5,0(.
293607701,0)6841334,0 1(2,0),(.
432134
2
3334
2
2333
2
1332
2
331






kkkkuu
kuhxfhk
kuhxfhk
kuhxfhk
uxfhk
Bài 28: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau: 
ݕᇱ = 	ݕ −	
ܿ݋ݏݔ
ݕ
Với 0 ≤ ݔ ≤ 1; y(0) =1, chọn bước h =0,2. Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập 
phân. 
Bài giải 
Ta có: U0= y(0) =1 
Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được: 	
+ ഥܷ1= U0 + 
௛
ଶ
 (U0- 
௖௢௦௫బ
௎బ
) = 1 
 U1= U0 + h( ഥܷ1- 
ୡ୭ୱ	(௫బା଴,ହ௛)
௎ഥభ
)) = 1,000999 
+ ഥܷ2= U1 + 
௛
ଶ
 (U1- 
௖௢௦௫భ
௎భ
) = 1,003088 
 U2= U1 + h( ഥܷ2- 
ୡ୭ୱ	(௫భା଴,ହ௛)
௎ഥమ
)) = 1,010495 
+ ഥܷ3= U2 + 
௛
ଶ
 (U2- 
௖௢௦௫మ
௎మ
) = 1,019277 
 U3= U2 + h( ഥܷ3- 
ୡ୭ୱ	(௫మା଴,ହ௛)
௎ഥయ
)) = 1,037935 
+ ഥܷ4= U3 + 
௛
ଶ
 (U3- 
௖௢௦௫య
௎య
) = 1,057977 
 U4= U3 + h( ഥܷ4- 
ୡ୭ୱ	(௫యା଴,ହ௛)
௎ഥర
)) = 1,091733 
+ ഥܷ5= U4 + 
௛
ଶ
 (U4- 
௖௢௦௫ర
௎ర
) = 1,126575 
 U5= U4 + h( ഥܷ5- 
ୡ୭ୱ	(௫రା଴,ହ௛)
௎ഥఱ
)) = 1,177547 
+ ഥܷ6= U5 + 
௛
ଶ
 (U5- 
௖௢௦௫ఱ
௎ఱ
) = 1,229245 
 U6= U5 + h( ഥܷ6- 
ୡ୭ୱ	(௫ఱା଴,ହ௛)
௎ഥల
)) = 1,2982670 
Bài 29: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau: 
ݕᇱ = 	ݕ −	
݁௫ܿ݋ݏݔ
ݕ
Với 0,3 ≤ ݔ ≤ 0,5; y(0,3) =0,943747, chọn bước h =0,1. Kết quả làm tròn 6 chữ số 
lẻ thập phân. 
Bài giải 
Ta có: U0= y(0) =0,943747 
Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được: 	
+) ഥܷଵ = 	 ଴ܷ +	
௛
ଶ
( ଴ܷ −
௘ೣబ .௖௢௦௫బ
௎బ
)	= 0,926822832 
 ଵܷ = 	 ଴ܷ + ℎ( ഥܷଵ −
௘
(ೣబశబ,ఱ೓) .௖௢௦(௫బା଴,ହ௛)
௎ഥభ
)	= 0,891524 
+) ഥܷଶ = 	 ଵܷ +	
௛
ଶ
( ଵܷ −
௘ೣభ .௖௢௦௫భ
௎భ
)	= 0,859038 
 ଶܷ =	 ଵܷ + ℎ( ഥܷଶ −
௘(ೣభశబ,ఱ೓).௖௢௦(௫భା଴,ହ௛)
௎ഥమ
)	= 0,813037 
+) ഥܷଷ = 	 ଶܷ +	
௛
ଶ
( ଶܷ −
௘ೣమ .௖௢௦௫మ
௎మ
)	= 0,764708 
 ଷܷ =	 ଶܷ + ℎ( ഥܷଷ −
௘(ೣమశబ,ఱ೓).ୡ୭ୱ	(௫మା଴,ହ௛)
௎ഥయ
)	= 0,696278 
Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U3= α= 0,696278