Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn (Phần 1)

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Chương 8 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 
 Như đã phân tích ở chương hai, một bài toán có miền hình học phức 
tạp, có thể xem như là tập hợp của nhiều dạng hình học đơn giản (gọi là 
miền con hay phần tử –element); để việc xây dựng hàm xấp xỉ (hay còn gọi 
là hàm nội suy- interpolation function) trên miền con nầy được dễ dàng, hàm 
xấp xỉ được xây dựng một cách hệ thống cho hầu hết dạng hình học, hàm 
xấp xỉ nầy chỉ phụ thuộc vào phương trình vi phân, từ đó hình thành phương 
pháp phần tử hữu hạn. 
 Với phương pháp phần tử hữu hạn, miền tính toán được xem như là 
tập hợp nhiều miền con hữu hạn (finite element) có dạng hình học đơn giản 
(simple shape-element). Trên mỗi miền con nầy, phương trình chỉ đạo 
(governing equation) được thiết lập với sử dụng một phương pháp biến phân 
nào đó. Các phần tử được liên kết với nhau và phải thoả mãn điều kiện cân 
bằng và liên tục của các biến phụ thuộc qua biên của các phần tử. 
8.1 Các loại phần tử 
Miền tính toán được chia thành nhiều miền con (còn gọi là phần tử); nếu 
miền tính toán là một chiều, ta có phần tử một chiều, miền tính toán là hai 
chiều ta có phần tử hai chiều, miền tính toán là ba chiều ta có phần tử ba 
chiều. 
Các loại phần tử một chiều 
Các loại phần tử hai chiều 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 53 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Các loại phần tử ba chiều 
8.2 Hàm nội suy 
Lời giải xấp xỉ của ẩn số bài toán được cho bởi: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 54 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 (3.1) j
n
j
j Nhh .
1
∑
=
=
Ở đây Νj là hàm nội suy (interpolation functions) và hj là ẩn của bài toán 
tại nút của phần tử. 
Ta cũng có thể mô tả hình dạng của phần tử bằng cách dùng các toạ độ của 
mỗi nút trong phần tử (xem Hình 3.1): 
 (3.2a) j
n
j
j xpSpx ).()(
1
∑
=
=
 (3.2b) j
n
j
j ypSpy ).()(
1
∑
=
=
 (3.2c) j
n
j
j zpSpz ).()(
1
∑
=
=
Vì rằng hàm nội suy Sj được dùng xác định hình dạng của phần tử, nên 
thường được gọi là hàm dạng (shape functions). 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 55
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Hình 3.1: Hàm nội suy và hàm dạng của phần tử một chiều 
Bậc của đa thức dùng để nội suy và các hàm dạng bên trong phần tử có thể 
là khác nhau; người ta phân ra ba loại như sau: Phần tử dưới tham số 
(subparametric elements) khi bậc đa thức hàm dạng nhỏ hơn bậc đa thức nội 
suy. Phần tử đẳng tham số (isoparametric elements) khi bậc đa thức hàm 
dạng bằng bậc đa thức nội suy. Phần tử trên tham số (superparametric 
elements) khi bậc đa thức hàm dạng lớn hơn bậc đa thức nội suy (xem Hình 
3.2). 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 56 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 Đa số các bài toán trong thực tế dùng phần tử đẳng tham số và hàm dạng 
đồng nhất với hàm nội suy.Hình 3.2: Minh hoạ về định nghĩa các loại phần 
tử một chiều dưới tham số, đẳng tham số, và trên tham số 
Khi tại các nút chỉ chứa ẩn số h của bài toán, thường xử dụng hàm nội suy 
Lagrange (phần lớn các hàm nội suy trong các bài toán chất lỏng được xử 
dụng bởi nội suy Lagrange, do đó ở đây chỉ giới thiệu nội suy Lagrange ); 
nếu tại các nút còn có ẩn số là đạo hàm ∂h / ∂xi thường xử dụng hàm nội 
suy Hermite. 
Hàm nội suy Lagrange được xây dựng từ đa thức như sau: 
∏
≠=
−
−=
mk
m mk
m
k xx
xx
xN
0
)( (3.3) 
Với m là số nút 
xm là toạ độ nút thứ m 
Tính chất của hàm nội suy 
Hàm nội suy có các tính chất sau: 
- Tính chất 1: Hàm nội suy có giá trị bằng 1 tại nút đó và bằng 0 tại 
các nút khác. 
- Tính chất 2: Các hàm nội suy thoả biểu thức sau: 
njPPN j
n
i
iji ,....2,1),()().(
1
==∑
=
ξξξ (3.4) 
Với Pj(ξi) là đa thức cơ sở của hàm nội suy. 
Hàm nội suy có thể được xây dựng trong hệ toạ độ tổng thể (global 
coordinates) hoặc hệ toạ độ địa phương (local coordinates), thông thường 
với các bài toán phức tạp (nội suy bậc cao ở các bài toán hai hoặc ba chiều) 
phải sử dụng hàm nội suy trong toạ độ địa phương. 
8.2.1 Hàm nội suy cho bài toán một chiều 
(i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ tổng thể: [ 21 NNN = ] (3.5) 
Với 
AB
A
AB
B
xx
xxN
xx
xxN −
−=−=
−
21 , 
(ii) Nội suy dạng Lagrange bậc hai trong hệ toạ độ tổng thể: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 57 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
[ ]321 NNNN ≡ (3.6) 
trong đó ( ) ( xx
D
xN ei
e
i
e
iei γβα ++= 1 ) với i = 1 , 2 , 3 
Trong đó : 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ∑
=
=−−=
−=
−=
3
1
22
22
,
i
e
i
ee
k
e
j
e
i
e
k
e
j
e
i
e
j
e
k
e
k
e
i
e
i
Dxx
xx
xxxx
αγ
β
α
(iii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương [ 21 NNN ≡ ] (3.7a) 
 với: 
( )
( )
)7.3(
1
2
1
1
2
1
2
1
b
N
N



+=
−=
ξ
ξ
 NN
ξ
21
iN
1.0
1 -1 0 
(iv) Nội suy bậc hai dạng Lagrange trong hệ toạ độ địa phương: 
 [ ]321 NNNN ≡
1u 2u 3u
11 ≤≤− ξ
rv
ξ 1x
1u 2u 3u
31 xxx ≤≤
rve
3x
2
31
2
xxx += x 
nd = 3 
3 21
n = 3 
-1 0 1 
3 21 
 (v) Nội suy bậc ba dạng Lagrange trong hệ toạ độ địa phương: 
 [ ]4321 NNNNN ≡
( ) ( )( ) ( ) )7.3(1
2
1,11,1
2
1
321 cNNN ξξξξξξ +=−+=−−=
 1≤≤− ξ xxx ≤≤
3/1− 3/1
1u 2u 3u 4u
1
rv
1x 3
2 41
2
xx
x
+=
1u 2u 3u 4u
21
rve
2x
3
2 41
3
xx
x
+= 
nd = 4 
3 4 21
n = 4
0 
1-1 
3 42 1 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 58 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
( )
( )( )
( )( )
( )
)7.3(
1
3
1
3
1
16
9
3
111
16
27
3
111
16
27
3
1
3
11
16
9
4
3
2
1
d
N
N
N
N









+

 −

 +−=


 +−+=


 −−+=


 −

 +−−=
ξξξ
ξξξ
ξξξ
ξξξ
8.2.2 Hàm nội suy cho bài toán hai chiều 
(i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ tổng thể cho phần tử tam giác: [ 321 NNNN ≡ ] (3.8) 
ở đây: ( yx
A
N ei
e
i
e
i γβα ++= 2
1
1 ) (3.8a) 
với: i = 1 , 2, 3 hoán vị vòng tròn 
( )kji
kji
jkkji
xx
yy
yxyx
−−=
−=
−=
γ
β
α
(ii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tam giác: 
 (3.8b) [ 321 NNNN = ]
1 2 
3 t n 
1u 2u
3u
rv
ξ
η
3=n 3=n 3=dn
1u
2u
3u
ev x
y
 3 2
1
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 59 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
với: 
 ηξηξ ==−−= 321 ,,1 NNN
Nếu điểm gốc toạ độ địa phương được chọn khác như hình sau, thì hàm 
nội suy cho phần tử tam giác cũng sẽ thay đổi theo: 
ξ
η
-1 
( )
( )η
ξ
ηξ
+=
+=
+−=
1
2
1
)'8.3(1
2
1
)(
2
1
3
2
1
N
bN
N1
1- 
(iii) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tam giác: 
 η 
6 
4u 
4 
55
u 
1 3 
 1u 3u2u 
2 
6=dn
1
2
3
1u
2u 
3u
x
y
6
5u
5
4
6u
4u 
n
t
6u
ξ 
6=n 
( )
(
( ) ηλξξ
ηηξλ )
ξλλλ
4,21
21,4
4,21
63
52
41
=−−=
−−==
=−=
NN
NN
NN
(3.8c) Với: ηξλ −−= 1 
(iv) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tứ giác: 
Hàm dạng: [ ]4321 NNNNN = (3.8d) 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 60 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ηξηξ
ηξηξ
+−=−+=
++=−−=
11
4
1,11
4
1
11
4
1,11
4
1
42
31
NN
NN
) 
 4n =2ur 4n4n
η
ξ
3u4u
v
1u
d =
4u
3u
2u
1u ev
=
1 2 
3 
4 
x
y
4 3 
2 1 
(v) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tứ giác: 
9=n
η
ξ
rv
9=dn
2
31
2
xx
x
+=
ev
etc

x 
y
9
8 
7
5
1
3
2
46
-1 
1 
1 -1 8 
7 6 5 
2 
9 
1 
4 
3 
( )( ) ( )( 11
4
1,11
4
1
21 −+=−−= ηξξηψηξξηψ )
( )( ) ( )( 11
4
1,11
4
1
43 +−=++= ξξξηψηξξηψ ) 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 61 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
( )( ) ( )( )2625 1121,1121 ηξξψηξηψ −+=−−=
( )( ) ( )( )2827 1121,1121 ηξξψηξηψ −−=+−= 
 ( )( )229 11 ηξψ −−= 
(3.8e) 
8.2.3 Hàm nội suy cho bài toán ba chiều 
(i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử hình chóp: 
4nd =4n =
x
3u
1u
2u
4
3 
2 
1
4u
y
z
ζ
η
4n =
1 
2u
2 
3u
4u
4
rv
1u
ξ
3 
ev 
 ζξ
ηζηξ
==
=−−−=
42
31
,
,1
NN
NN
 (3.9a) 
(ii) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử hình chóp: 
 ζ
( )
( )
( )
ηλ
ηη
ξη
ξξ
ξλ
λλ
4
21
4
21
4
21
6
5
4
3
2
1
=
−−=
=
−−=
=
−−=
N
N
N
N
N
N
 (3.9b) 
η
ξ
7 
6 8 
1
9 
5 
4 
3 
2 
1 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 62 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 ( ζζηζ )
ξζζλ
21,4
4,4
109
87
−−==
==
NN
NN với: ζηξλ −−−= 1 
(iii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử ba chiều 
hình trụ đáy tam giác: 
 η
bNaN
bNaN
bNaN
ηη
ξξ
λλ
==
==
==
63
52
41
,
,
,
 (3.9c) Với: 
0
0
≤
≥
6=dn
ev
6
3
x
1
2 
3
4 
y
z
1
1
0
0
≤−
−−
≥
≥
ζ
ηξ
η
ξ
ζ 
6=n 2 
6 4 
rv 
1−=ζ 
1 
3 
5 
ξ 
2
1,
2
1,1 ζζηξλ +=−=−−= ba 
(iv) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử ba chiều 
hình trụ có đáy tứ giác: 
ζ
η
8n =rv
ξ
11
11
11
≤ζ≤−
≤η≤−
≤ξ≤−
8n = 8nd = ev
6
7 
8 
5
x 
1
2 
3 4 
y
z
1 
3 
5 
4
6 
2 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 63 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 ( ) ( ) ( )211322122221 1,1,1 cbacNcbacNcbacN === 
 ( ) ( ) ( )121612251124 1,1,1 cbacNcbacNcbacN === 
( ) ( 11281117 1,1 cbacNcbacN == ) (3.9d) 
 Với : 
ζζ
ηη
ξξ
−=+=
−=+=
−=+=
1,1
1,1
1,1
21
21
21
cc
bb
aa
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 64