Một quy tắc tìm cực trị của hàm hai biến dạng thương

     
     
      
Tác giả chỉ ra rằng quy tắc thông thường tìm cực trị không điều kiện của hàm 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 trên miền D được đưa về quy tắc dưới đây: 
Bước 1: Tìm tập các điểm dừng của hàm z bằng cách giải hệ sau: 
 0; 0; ( , , ) 0, ( , )
L L
L x y x y D
x y

  
    
  
, 
 trong đó, ( *, *)x y là một điểm dừng của z  R * ( *, *, *)x y  là một nghiệm 
của hệ trên. 
Bước 2: Giả sử ( *, *)x y là một điểm dừng của z , đặt: 
2* ( *, *), * ( *, *), * ( *, *), * * * *p p x y q q x y r r x y r p q     . 
Nếu * 0  , hàm z không có cực trị tại ( *, *)x y . Nếu * 0& * 0p   hoặc 
* 0& * 0q   , hàm z đạt cực đại tại ( *, *)x y và ax ( *, *) *mz z x y    . Nếu 
* 0 & * 0p   hoặc * 0 & * 0q   , hàm z đạt cực tiểu tại ( *, *)x y và 
min ( *, *) *z z x y    . 
Abstract: 
Let 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 be a function of two variables whose domain of definition is an open 
non-empty set 
2RD and ( , ), ( , )u x y v x y be functions of two variables whose second partial 
derivatives are continuous over D . Put 
( , , ) ( , ) ( , )L x y u x y v x y   
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
, ,
u v u v u v
p v u q v u r v u
y x y xx x y y
     
     
      
 The author showed that the normal rule to find the unconditional extrema of the function 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 in D can be reduced to the following rule: 
 Step 1: Find the set of the stationary points of z by solving the system 
 0; 0; ( , , ) 0, ( , )
L L
L x y x y D
x y

  
    
  
, 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 112 
where ( *, *)x y is a stationary point of z  R * ( *, *, *)x y  is a solution of the 
above system. 
Step 2: Assume that ( *, *)x y is a stationary point of z . Put 
2* ( *, *), * ( *, *), * ( *, *), * * * *p p x y q q x y r r x y r p q     
If * 0  the function z fails to have an extremum at ( *, *)x y . If * 0& * 0p   or 
* 0& * 0q   the function z has one maximum at ( *, *)x y and 
ax ( *, *) *mz z x y    . If 
* 0 & * 0p   or * 0 & * 0q   the function z has one minimum at ( *, *)x y and 
min ( *, *) *z z x y    . 
1. Đặt vấn đề 
 Đạo hàm riêng của hàm số hai biến có dạng thương 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 là một biểu thức cồng 
kềnh. Điều này gây khó khăn cho việc tìm cực trị (không điều kiện) của các hàm có dạng thương, 
do quy tắc tìm cực trị của hàm hai biến khả vi đòi hỏi phải tính các đạo hàm riêng của chúng. Bởi 
vậy, cải tiến quy tắc tìm cực trị thông thường, đưa ra được một quy tắc tìm cực trị với các công 
thức đơn giản hơn cho các hàm dạng thương có ý nghĩa thực tiễn trong việc giảng dạy phần lý 
thuyết cực trị của hàm hai biến. Bài báo này dành cho vấn đề vừa nêu. 
2. Kết quả chính 
Dựa trên điều kiện cần và điều kiện đủ để một hàm hai biến khả vi liên tục đến cấp hai trên 
miền mở 
2RD có cực trị tại một điểm ( *, *)x y D , tác giả chỉ ra rằng quy tắc thông thường 
tìm cực trị không điều kiện của hàm 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 trên miền D được đưa về quy tắc cho bởi định 
lý sau: 
2.1. Định lý: Giả sử 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 là hàm hai biến có tập xác định là miền mở khác rỗng 2RD , 
các hàm hai biến ( , ), ( , )u x y v x y có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai trong miền D . Đặt : 
 ( , , ) ( , ) ( , )L x y u x y v x y   
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
, ,
u v u v u v
p v u q v u r v u
y x y xx x y y
     
     
      
Khi đó quy tắc thông thường tìm cực trị của hàm hai biến 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 được đưa về quy tắc 
dưới đây: 
Bước 1: Tìm tập các điểm dừng của hàm z bằng cách giải hệ sau: 
 0; 0; ( , , ) 0, ( , )
L L
L x y x y D
x y

  
    
  
, 
 trong đó, ( *, *)x y là một điểm dừng của z  R * ( *, *, *)x y  là một nghiệm của 
hệ trên. 
Bước 2: Giả sử ( *, *)x y là một điểm dừng của z , đặt: 
2* ( *, *), * ( *, *), * ( *, *), * * * *p p x y q q x y r r x y r p q     . 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 113 
 Nếu * 0  , hàm z không có cực trị tại ( *, *)x y . Nếu * 0& * 0p   hoặc 
* 0& * 0q   , hàm z đạt cực đại tại ( *, *)x y và 
ax ( *, *) *mz z x y    . Nếu 
* 0 & * 0p   hoặc * 0 & * 0q   , hàm z đạt cực tiểu tại ( *, *)x y và 
min ( *, *) *z z x y    . 
Chứng minh. Lấy đạo hàm riêng theo các biến ,x y đối với hàm 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 ta được: 
2 2
;
u vu v v uv u
z z y yx x
x v y v
   
     
 
Hệ phương trình xác định điểm dừng của hàm z là: 
0, 0 0, 0
( , ) ( , )
z z u v u v
v u v u
x y x x y y
x y D x y D
      
      
      
   
 (1) 
Do ( , ) 0v x y  trên D , hệ (1) tương đương với hệ 
0, 0
( , )
u u v u u v
x v x y v y
x y D
   
   
   
 
 (2) 
Đặt ( , , ) ( , ) ( , )L x y u x y v x y   ta có 0
u
L u v
v
       . Do đó một điểm 
( , )x y D là nghiệm của hệ (2) khi và chỉ khi ( , , )x y  là một nghiệm của hệ 
 0; 0; ( , , ) 0, ( , )
L L
L x y x y D
x y

  
    
  
 (3) 
 Vậy sự hợp lý của quy tắc tìm tập các điểm dừng của hàm z trong miền D chỉ ra trong 
bước 1 được chứng minh. 
 Lấy đạo hàm riêng cấp 2 hàm 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 ta được: 
2 2 2
2 2 2 2 3
2 2 2
2 2 2 2 3
2 2 2
2 3
1 2
( ) ( )
1 2
( ) ( )
1 1
( ) [ ( ) ( )]
z u v v u v
v u v u
x x xx v x x v
z u v v u v
v u v u
y y yy v y y v
z u v v u v v u v
v u v u v u
y x y x y x y x x x y yv v
     
   
    
     
   
    
        
     
           
 (4) 
 Với các ký hiệu đưa ra trong phát biểu của định lý 2.1, từ (4) ta có: nếu ( *, *)x y là 
một nghiệm của hệ (1) thì: 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 114 
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
1 *
( *, *) ( *, *)
( *, *) ( *, *)
1 *
( *, *) ( *, *)
( *, *) ( *, *)
1 *
( *, *) ( *, *)
( *, *) ( *, *)
z p
x y p x y
x v x y v x y
z q
x y q x y
y v x y v x y
z r
x y r x y
y x v x y v x y

 


 


 
 
 (5) 
Từ (5) ta suy ra 
2
2
( *, *)
z
x y
x


 cùng dấu với *p , 
2
2
( *, *)
z
x y
y


 cùng dấu với *q , 
2
( *, *)
z
x y
y x

 
cùng dấu với *r , đại lượng : 
2 2 2
2 2
2 2 4
1
( ( *, *)) ( *, *). ( *, *) ( * * *)
( *, *)
z z z
x y x y x y r p q
y x x y v x y

  
   
   
cùng dấu với đại lượng 
2* * * *r p q   . Vậy từ điều kiện đủ đối với cực trị của hàm hai 
biến ta suy ra sự hợp lý của bước 2. Nếu z đạt cực trị tại ( *, *)x y thì do ( *, *, *)x y  là nghiệm 
của hệ (3) ta suy ra ex
( *, *)
( *, *) *
( *, *)
t
u x y
z z x y
v x y
    . Chứng minh kết thúc. 
 Nhận xét: Tính toán các biểu thức *, *, *, *p q r  rõ ràng đơn giản hơn tính các đạo hàm 
riêng cấp 2 của hàm 
( , )
( , )
u x y
z
v x y
 và biểu thức  . Vì vậy, quy tắc tìm cực trị cho bởi định lý 2.1 
tiện lợi hơn quy tắc tìm cực trị thông thường khi cần tìm cực trị của các hàm hai biến có dạng 
thương. 
2.2. Hệ quả: Giả sử ( , )v x y là hàm có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên miền mở 2RD
và: 
2 2 2
2
2 2
0, ( ) . 0v
v v v
v
y x x y

  
   
   
trên miền D ; , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 0a b c   . 
Nếu tập nghiệm của hệ phương trình 
0,
0
( ) ( , ) 0
( , )
v
a
x
v
b
y
ax by c v x y
x y D




  

   

   


 (6) 
khác rỗng thì với mỗi nghiệm ( *, *, *)x y  của hệ (6) hàm 
( , )
ax by c
z
v x y
 
 có cực trị tại 
( *, *)x y và giá trị cực trị ( *, *) *extz z x y    . 
 Chứng minh. Khi u ax by c   hệ (3) trở thành hệ (6) và các đại lượng , ,p q r trở 
thành: 
2 2 2
2 2
, ,
v v v
p u q u r u
y xx y
  
     
  
Do đó đại lượng * trở thành: 
CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2015 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 42 – 04/2015 115 
2 2 2
2 2 2
2 2
* * * * ( *, *) [( ( *, *)) ( *, *). ( *, *)]
v v v
r p q u x y x y x y x y
y x x y

  
   
   
 Xét trường hợp 0, 0a b c   . Khi đó ( *, *) 0u x y c  và từ giả thiết suy ra: 
2 2 2
2 2
2 2
* [( ( *, *)) ( *, *). ( *, *)]<0
v v v
c x y x y x y
y x x y

  
 
   
Vậy khẳng định của hệ quả suy ra từ định lý 2.1. 
 Xét trường hợp 2 2 0a b  . Khi đó nếu ( *, *, *)x y  là một nghiệm của hệ (6) thì 
* 0 ( *, *) * ( *, *) 0u x y v x y      . Vậy từ giả thiết của hệ quả suy ra: 
2 2 2
2 2 2
2 2
* * * * ( *, *) [( ( *, *)) ( *, *). ( *, *)] 0
v v v
r p q u x y x y x y x y
y x x y

  
    
   
Vậy khẳng định của hệ quả lại suy ra từ định lý 2.1. 
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm hai biến 
2 21
ax by c
z
x y
 

 
 nếu 2 2 2 0a b c   (bài toán số 
3630[1]). 
 Giải. Tập xác định D của hàm 
2 21
ax by c
z
x y
 

 
là 
2
. Đặt 
2 21v x y   ta có: 
2 2 2 2 2
2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 3/2
2
2 2 2
1 1
, , ,
(1 ) (1 ) (1 )
1
0 ( ( , ) )
(1 )
v
v y v x v xy
y xx x y y x y x y
x y
x y

    
   
        
    
 
Vậy các điều kiện của hệ quả 2.2 được thỏa mãn. Hệ (6) trong bài toán này có dạng: 
2 2
2 2
2 2
0
1
0
1
1 0
x
a
x y
y
b
x y
ax by c x y




 
 

 
 

     

 (7) 
Nếu 0c  thì 2 2 0a b  và hệ (7) vô nghiệm. Nếu 0c  , hệ (7) có nghiệm duy nhất: 
2 2 2( * , * , * )
a b
x y a b c
c c
      
Hệ có một cực trị duy nhất tại điểm ( , )
a b
c c
. Đây là cực đại vì 
2 2
2 2 2
* 0
c b
p
a b c

  
 
, 
2 2 2
ax *mz a b c     . 
Nếu 0c  hệ (7) có nghiệm duy nhất: 
2 2 2( * , * , * )
a b
x y a b c
c c
    