Maple – PowerPoint công cụ dạy và học phép tính tích phân hàm nhiều biến

tập qua đó củng 
cố được kiến thức đã học. 
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
Qua nhiều năm giảng dạy môn Phép tính tích phân hàm nhiều biến, tác giả nhận thấy 
rằng đây là môn học gây khá nhiều khó khăn cho sinh viên trong việc hiểu lý thuyết do phải 
hình dung một cách trừu tượng những hình ảnh trong không gian ba chiều. Trong cách dạy 
thông thường, giảng viên cũng đã cố gắng vẽ bằng tay một số đồ thị trong không gian 3 chiều 
trên bảng nhưng các hình ảnh này thường đơn giản và không rõ ràng lắm cho việc minh họa lý 
thuyết. Để khắc phục điều này, một phương pháp mới trong việc giảng dạy môn học trên được 
phát triển bằng cách sử dụng phần mềm trình chiếu Microsoft Powerpoint kết hợp với phần 
mềm Maple. 
Để giúp cho việc dạy tích phân hàm nhiều biến của giảng viên, tác giả đã thiết kế hai 
bài giảng điện tử: một bài giảng về tích phân 2 lớp và một bài giảng về tích phân 3 lớp. Mỗi bài 
giảng bao gồm một số slide PowerPoint và các đồ thị, hình ảnh động được tạo ra bởi Maple. 
Các slide này có nhiệm vụ trình bày các khái niệm, lý thuyết về tích phân còn những hình ảnh 
động sẽ giúp sinh viên có cái nhìn trực quan hơn về lý thuyết đang học. Bên cạnh đó, tác giả đã 
sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple tạo nên một ứng dụng Maplet tích hợp hai công cụ tính tích 
phân 2 lớp và 3 lớp theo từng bước giúp sinh viên thực hành các lý thuyết đã học thông qua việc 
giải các ví dụ và bài tập tích phân. 
3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 
3.1. Thiết kế các bài giảng tích phân hai lớp, ba lớp 
Về lý thuyết, định nghĩa tích phân hai lớp của hàm hai biến f(x,y) trên miền D được xác 
định thông qua giới hạn của tổng Riemann [6] được chỉ ra trong slide ở Hình 1a. Đi kèm theo 
slide này là một số hình ảnh được vẽ trong Maple để minh họa cho các khái niệm. Hình 1b minh 
họa cho tổng Riemann của hàm ( ) trên miền . 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học – Đại học Huế Tập 4, Số 1 (2016) 
9 
Hình 1a. Định nghĩa tích phân hai lớp qua tổng Riemann Hình 1b. Minh họa tổng Riemann 
Tích phân hai lớp được tính trên hai hệ tọa độ là tọa độ Descartes và tọa độ cực. Cách 
tính trong hệ tọa độ Descartes được trình bày trong slide ở Hình 2a. Đồng thời, hình ảnh Maple 
minh họa cho ví dụ tính tích phân hai lớp trong tọa độ Descartes của hàm ( ) 
trên miền D giới hạn bởi 2 đồ thị: và được thể hiện ở Hình 2b. Qua các 
hình ảnh này, sinh viên có thể thấy rõ hơn các ứng dụng của tích phân hai lớp. 
Hình 2a. Cách tính tích phân hai lớp trong tọa độ 
Descartes 
Hình 2b. Minh họa tích phân 2 lớp của hàm 
 ( ) 
Với bài giảng tích phân ba lớp, các slide cũng thiết kế tương tự như bài giảng tích phân 
hai lớp, mỗi slide trình bày ngắn gọn các lý thuyết và kèm theo đó là hình ảnh trong Maple 
minh họa rõ hơn cho lý thuyết đã trình bày. Các hình ảnh trong phần này đều là hình ảnh trên 
không gian 3 chiều nên sẽ rất khó cho giảng viên nếu chỉ vẽ bằng tay. Với Maple, ta có thể vẽ 
những hình ảnh này một cách dễ dàng và xem hình ảnh ở mọi góc độ. Đặc biệt, trên Maple ta có 
thể tạo ra các hình ảnh động. Những hình ảnh động này rất hữu ích khi ta trình bày khái niệm về 
tổng Riemann của tích phân hai, ba lớp. Hình 3a là một slide trình bày cách phân hoạch miền 
Maple - Powerpoint công cụ dạy và học phép tính tích phân hàm nhiều biến 
10 
tính tích phân ba lớp, còn Hình 3b là một hình ảnh động của Maple minh họa việc phân hoạch 
trên. 
Hình 3a. Phân hoạch miền tính tích phân ba lớp Hình 3b. Ảnh động minh họa cách phân hoạch 
miền lấy tích phân 
 Tích phân ba lớp được tính trên 3 hệ tọa độ: tọa độ Descartes, tọa độ trụ và tọa độ cầu. 
Ở mỗi hệ tọa độ, ngoài công thức tính toán, tác giả đã đưa thêm nhiều ví dụ và cách giải cụ thể 
để sinh viên tính toán ngay trên lớp qua đó nắm được các bước giải để có thể sử dụng Maplet 
tính tích phân. Hình 4a dưới đây là slide trình bày một ví dụ minh họa cho cách tính tích phân 
trong hệ tọa độ cầu và Hình 4b ảnh minh họa vật thể cần xác định thể tích trong ví dụ. 
Hình 4a. Ví dụ tính tích phân ba lớp trong hệ tọa độ cầu Hình 4b. Minh họa vật thể cần tìm thể 
tích bằng Maple 
3.2. Ứng dụng Maplet tính tích phân hai lớp, ba lớp 
Qua thời gian dạy phép tính tích phân hàm nhiều biến, tác giả nhận thấy rằng hầu hết 
các sinh viên đều gặp khó khăn khi giải các bài tập tích phân. Khó khăn này xuất phát từ việc 
muốn tính được tích phân thì phải vẽ được miền lấy tích phân để từ đó xác định được các cận 
tính tích phân. Để giúp sinh viên thực hành tính toán dễ dàng hơn, tác giả đã lập trình ra một 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học – Đại học Huế Tập 4, Số 1 (2016) 
11 
ứng dụng tính tích phân bằng ngôn ngữ lập trình Maple. Các ứng dụng với giao diện đồ họa như 
thế được gọi là Maplet. Maplet tính tích phân này giúp sinh viên giải các bài tập tích phân theo 
từng bước như trong lý thuyết đã học. Ứng dụng này bao gồm 5 giao diện nhỏ trong đó có 2 
giao diện tính tích phân hai lớp và 3 giao diện tính tích phân ba lớp. Về cơ bản, mỗi giao diện có 
ba chức năng chính: minh họa được hình ảnh tích phân và miền lấy tích phân, xác định công 
thức tích phân cần tính và tính giá trị tích phân. Để sử dụng được ứng dụng thì máy tính cá nhân 
phải được cài đặt phần mềm Maple từ phiên bản 17 trở lên. Sau đây, tác giả sẽ trình bày các ví 
dụ sử dụng ứng dụng Maplet để giải bài tập tích phân hàm nhiều biến. 
Ví dụ 1. Tính tích phân hai lớp của hàm trên miền D là miền giới hạn bởi hai đồ thị 
 và . 
Để giải ví dụ này ta mở ứng dụng Maplet và chọn phần tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ 
Descartes. Ở cửa sổ tính tích phân trong tọa độ Descartes, ta nhập hàm cần tính tích phân 
 ( ) , nhập hai đường lần lượt vào các “Ràng buộc 1” và “Ràng buộc 
2”. Sau đó, nhấn nút “Vẽ miền lấy tích phân” để xem hình ảnh của miền cần tính tích phân, có 
thể điều chỉnh trục tọa độ để xem hình ảnh rõ hơn. Dựa trên hình ảnh miền D, ta xác định được 
các cận tính tích phân và thứ tự tính tích phân. Muốn biết hình ảnh của tích phân cần tính ta 
nhấn nút “Minh họa tích phân”. Bước cuối cùng là nhấn nút “Giá trị tích phân” để chương trình 
tính và đưa ra kết quả. 
Hình 5. Cửa sổ ứng dụng tính tích phân hai lớp trong tọa độ Descartes 
Ví dụ 2. Sử dụng hệ tọa độ cầu tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt nón √ và mặt 
cầu . 
Maple - Powerpoint công cụ dạy và học phép tính tích phân hàm nhiều biến 
12 
Mở ứng dụng Maplet và chọn tính tích phân ba lớp trong hệ tọa độ cầu. Vì tính thể tích vật thể 
nên theo lý thuyết hàm ( ) . Nhập các công thức √ vào “Ràng buộc 1”, 
 vào “Ràng buộc 2” và nhấn nút “Vẽ các miền ràng buộc” để thấy được vật 
thể cần tính thể tích. Thay đổi hệ trục tọa độ hợp lý để xem hình ảnh rõ hơn hoặc có thể chiếu 
vật thể vừa vẽ xuống các mặt phẳng tọa độ để có thể xác định được cận tính tích phân. Trong 
trường hợp này, người sử dụng phải tính toán các cận bằng tay như trong Hình 4a và nhập kết 
quả vào các ô tương ứng. Sau khi có các cận tính tích phân, người dùng có thể kiểm tra miền 
tính tích phân với các cận đó có phù hợp với hình ảnh miền ràng buộc ban đầu không bằng cách 
nhấn nút “Minh họa miền lấy tích phân”. Ở bước này, tùy vào các cận mà ta chọn một thứ tự 
tính tích phân tương ứng trong danh sách “Yếu tố thể tích”. Cuối cùng, nhấn nút “Giá trị tích 
phân” để nhận được kết quả. 
Hình 6. Cửa sổ ứng dụng tính tích phân ba lớp trong tọa độ cầu 
4. KẾT LUẬN 
 Với bộ công cụ này, tác giả hi vọng sẽ giúp cho sinh viên thấy thích thú hơn khi học 
toán. Khi sử dụng bộ công cụ, giảng viên sẽ tiết kiệm được thời gian dạy lý thuyết trên lớp qua 
đó có thể cùng sinh viên giải các bài tập hoặc có thể gợi mở các vấn đề mở rộng để sinh viên tự 
nghiên cứu. Sinh viên nên tự giải một số bài tập sau đó sử dụng ứng dụng để kiểm tra kết quả. 
Ứng dụng Maplet cho kết quả tính toán nhanh và minh họa rõ ràng tích phân cần tính. Tuy 
nhiên, ứng dụng cũng có một số hạn chế như chưa đưa ra được cận tính tích phân, miền tính tích 
phân cần đưa thêm một số hình thường gặp như tam giác, tứ diện, hình cầu để việc xác định 
nhanh chóng hơn. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học – Đại học Huế Tập 4, Số 1 (2016) 
13 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] B. Kramarski, C. Hirsch (2003). Using computer algebra systems in mathematical classrooms, 
Journal of Computer Assisted Learning, Vol. 19, pp. 35–45. 
[2] M. Kendal, K. Stacey (2002). Teacher in transition: Moving towards CAS-supported classroom, 
ZDM – The International Journal on Mathematics Education, Vol 34(5), pp. 196–201. 
[3] P. Drijvers (2000). Students encountering obstacles using CAS, International Journal of Computers 
for Mathematical Learning, Vol. 5, pp. 189-209. 
[4] S. Noinang, B Wiwatanapataphee, & Y. H. Wu (2008). An Integrated Powerpoint-Maple based 
Teaching-Learning Model for Multivariate Integral Calculus, International Electronic Journal of 
Mathematics Education, Vol. 5, No. 1. 
[5] I. H. Perjési (2003). Application of CAS for teaching of integral-transforming theorems, ZDM - The 
International Journal on Mathematics Education, Vol 35(2), pp. 43–47. 
[6] Stewart J. (2008). “Multiple Integrals”, Calculus, 6th ed., California: Thomson/ Brooks/ Cole, pp. 
986-1061. 
MAPLE – POWERPOINT – A TEACHING AND LEARNING TOOL 
FOR INTEGRAL CALCULUS 
Tran Cong Man 
Department of Mathematics, Hue University College of Sciences 
Email: mantran.math@gmail.com 
ABSTRACT 
This paper presents a teaching and learning tool for the integral calculus course. This tool 
consisting of a set of PowerPoint slides with Maple animations and interactive Maplets, 
which is developed to help instructors teach in class and to provide students with best 
opportunities for self-planned learning and self-assessment. More specifically, the 
PowerPoint slides with Maple animations help instructors to explain the certain concepts 
and methods more effectively and clearly while the interactive Maplets help students review 
the theory and self-exercises. 
Keywords: Maple, Maplet, slide.