Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên đa trị, m - phụ thuộc theo khối

E X   , nên ta có 
1
1
( 0) ( n) ( n) .
n
n n n
P Z P X P X


        
Từ Bổ đề Borel – Cantelli suy ra với 
xác suất 1 chỉ có hữu hạn 0
n
Z  . Vậy 
1
1
lim 0 h.c.c.
n
k
n
k
Z
n 
 (1.3) 
Tiếp theo ta chứng minh 
2
1
.
n
n
DY
n


  
Gọi  là phân phối của 
1
X . Khi đó 
 
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
x n
DY E Y E Y E Y x d x

    
và 
 
2
2
2 2
1 1
( ) 1
( )
n
n n
x n
E Y
x d x
n n

 
  
   
 2
2
1 1 1
1
( )
n
n k k x k
x d x
n


    
   
2
2
1 1
1
( )
k n k k x k
x d x
n

 
    
  
2
2
1
1
1
( )
k n kk x k
x d x
n

 
   
 
  
 
  
2
1
1
1
( )
k n kk x k
k x d x
n

 
   
 
  
 
  
1 1
2 ( )
k k x k
x d x

   
   
1
2 .E X 
Có được bất đẳng thức ở dòng cuối là 
do với 2k  
2
1 1 1
2.
1 1n k n k
k
k k
n n kn
 
 
 
    
  
  
Còn với 1k  thì 
2
1 2
1 1 1
1 2.
1n n n nn
 
 
 
    
 
  
Vì  , 1
n
X n  là dãy biến ngẫu nhiên 
m- phụ thuộc theo khối nên  , 1
n
Y n  là 
dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo 
khối. Do vậy, theo Định lý 1.1, tồn tại 
tập D với ( ) 1P D  sao cho với mỗi 
D chuỗi 
( )
n n
n
Y EY
n
 
 hội tụ. Do 
đó theo Bổ đề Kronecker, với mỗi D 
ta có 
 
1
1
lim ( ) 0. 
n
k k
n
k
Y EY
n


  (1.4) 
Vì 
 
1
lim lim ( )
n
n n
x n
EY xd x EX

  , 
 nên 
1
1
1
lim . 
n
k
n
k
EY EX
n 
 (1.5) 
Do vậy từ (1.4) và (1.5) ta có với mỗi 
D 
1
1
1
lim ( ) .
n
k
n
k
Y EX
n


 (1.6) 
Vậy 
1
1
1
lim h.c.c. 
n
k
n
k
Y EX
n 
 (1.7) 
Từ (1.3) và (1.7) suy ra 
1
1
1
lim h.c.c. 
n
k
n
k
X EX
n 
 
Đó là điều phải chứng minh.  
2. KẾT QUẢ CHÍNH 
Trước hết, cần chú ý rằng, nếu X là 
không gian Banach thực, khả ly thì với mọi 
1n  , xác định được ánh xạ đo được 
: 
n
 X X , sao cho với mỗi phần tử ngẫu 
nhiên khả tích : X X , tồn tại dãy 
phần tử ngẫu nhiên đơn giản 
42 
 ( ), n 1
n n
X X  để X
n
X  khi 
nvà 0
n
E X X  khi .n 
Dựa vào chú ý trên, Định lý 1.2 và kỹ 
thuật tương tự trong chứng minh định lý 
4.2.1 ([1]) ta thu được định lý sau. 
Định lý 2.1. Cho  , , 1
n
X X n  là họ các 
phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không 
gian Banach thực khả ly X . Giả sử 
 , 1
n
X n  là dãy m - phụ thuộc theo khối, 
cùng phân phối với X và E X   . Khi đó 
1
1
 h.c.c khi n .
n
i
i
X EX
n 
  
Chứng minh. 
Đầu tiên, giả sử X là phần tử ngẫu 
nhiên đơn giản nhận các giá trị 
1 2
, ,...,
k
x x x lần lượt trên các tập 
1 2
, ,...,
k
A A A với ( ) 0, i=1, 2, ...,k
i
P A  . Vì 
 , : 1
n
X X n  cùng phân phối nên 
i
X cũng 
là phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận các 
giá trị 
1 2
, ,...,
k
x x x với  ( ) ( )
i t t
P X x P A . 
Do đó 
( )
1
.
i t
k
i X x t
t
X I x


 
 Với mỗi 1, 2,...,k,t  đặt 
( )
1
.
i t
n
t
n X x
i
Z I


 
Do  ( ) : 1
i t
X x
I i

 là dãy các biến 
ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, cùng 
phân phối và 
( )
( ) ( )
i t
X x t
E I P A

 nên theo 
định lý 1.2 ta có 
( ) h.c.c khi n .
t
n
t
Z
P A
n
  
Do đó 
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
i t i t
tn n k k n k k
t n
i X x t X x t n t t
i i t t i t t
Z
X I x I x Z x x
n n n n n
 
      
       
1
( ) h.c.c khi n .
k
t t
t
P A x EX

   
Xét trường hợp X là phần tử ngẫu 
nhiên khả tích bất kỳ. Với mọi 0  , từ 
( ) 0 khi n
n
E X X    , tồn tại m 
sao cho ( ) 
n
E X X   với mọi n m
. Ta có 
1 1
1 1
( ) ( ( )
n n
i i m i
i i
X EX X X
n n

 
    
1
1
( ( ) ( )
n
m i m
i
X E X
n
 

  
1
1
(E ( ) ( )
n
m
i
X E X
n


  
 :=(I)+(II)+(III). 
Do  , 1
n
X n  là dãy phần tử ngẫu 
nhiên m – phụ thuộc theo khối, cùng phân 
phối với X , nên  ( ) : 1n m nX X n  
là dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc theo 
khối, cùng phân phối với ( )
m
X X . 
Theo định lý 1.2 ta có 
1
1
(I) ( ) ( ) h.c.c khi n
n
i m i m
i
X X E X X
n
  

      
Theo chứng minh trên thì 
(II) 0 h.c.c khi n  . 
Với (III) , ta có 
(III) ( ) .
m
E X X    
Kết hợp các lập luận trên ta được điều 
phải chứng minh.  
Để thiết lập kết quả chính, ta cần them 
một số bổ đề 
Bổ đề 2.1.([4], Lemma 3.1) (1) Với 
mỗi  [ , ]F c M X và 1
F
S  , ta có 
[ ]= [ , ].
F
coE F coE F F 
43 
(2) Giả sử  , [ , ]F G c M X , F và 
G cùng phân phối. Khi đó, với mỗi 
1
)
F F
f S (F , tồn tại 1 )
G G
g S (F sao cho 
f và g cùng phân phối. 
(3) Nếu  , [ , ]F G c M X , cùng 
phân phối và 1
F
S   , thì 
[ , ] [ , ].
F G
E F E GF F 
Bổ đề 2.2. ([3], Lemma 3.6) Giả sử X
là không gian Banach và C X . Khi đó, 
với mọi x coC và 0  , luôn tồn tại 
1
,...,
m
x x C sao cho 

 
1
1
.
m
i
i
x x
m
Định lý sau đây là kết quả chính của 
bài báo. Kết quả này mở rộng Định lý 3.2 
trong [4]. 
Định lý 2.2. Nếu  , 1
n
F n  là một 
dãy các phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc, 
cùng phân phối, nhận giá trị tập đóng 
trong không gian Banach khả ly X và 
1
1
,
F
S  thì 
1
1
1
( ) h.c.c 
n
i
i
cl F coE F
n


    
Chứng minh. Đặt 
1
X coE F    và 
1
1
( ) ( ), , n 1.
n
n i
i
G n cl F  

   
Với mọi x X  và 0  , theo Bổ đề 
2.1(1), (3) và Bổ đề 2.2, ta có thể chọn 
1
( )
j j
j F F
f S F , 1 ,j t  sao cho 
1
1
( ) .
t
j
j
t E f x 

  Theo Bổ đề 2.1(2) , 
tồn tại dãy  
n
f với 
1
( )
n n
n F F
f S F sao 
cho, với mỗi 1,...,j t ,  
( 1)
, 1
k t j
f k
 
 là 
dãy phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối. 
Tiếp tục, đặt ( ), 1 .
j j
x E f j t   Với 
mỗi ( 1) , 1 ,n k t t     ta có 
1 1
1 1
( )
n t
i j
i j
f x
n t

 
  
( 1) (k 1)
1 1 1 1
1 1 1
( ) ( )
t k t t
i t j t j j
j i j j
f f x
n n t
 
   
    
    
( 1) (k 1)
1 1 1
1 1
( ) ( )
t k t
i t j j t j
j i j
k k
f x f
n k n k
 
   
  
    
1
1
.
t
j
j
k
x
n t 
 
  
 
 
Vì  ,n 1
n
F  là dãy phần tử ngẫu 
nhiên m-phụ thuộc theo khối, nhận giá trị 
tập đóng trong không gian Banach khả ly 
X , nên  ,n 1
n
f  là dãy phần tử ngẫu 
nhiên m-phụ thuộc theo khối trong 
1
( ;L  X), do đó với p đủ lớn thì họ 
 1,2pif i k   độc lập với họ 
 , 2 khi - > .pnf n k m  Ta chứng 
minh với mỗi 1 ,j t  thì  
( 1)
, 1
k t j
f k
 
 
là dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc 
theo khối. Thật vậy, nếu đặt 
   
( 1)
, 1
k k t j
g f k
 
  , thì phần tử thứ k của 
dãy là 
( 1)k k t j
g f
 
 ; phần tử thứ của 
dãy là 
( 1)t j
g f
 
 . Do đó, nếu - >k m 
thì      1 1t j k t j k t mt m           nên 
k
g và g là độc lập với 
  12 , 2 , q qk 
trong đó q là số nguyên không âm đủ lớn. 
Nghĩa là với q đủ lớn thì họ 
 1,2qig i k   độc lập với họ 
44 
 , 2 khi - > . qng n k m  Do đó, Theo 
định nghĩa, với mỗi 1 ,j t  
 
( 1)
, 1
k t j
f k
 
 là dãy phần tử ngẫu nhiên 
m-phụ thuộc theo khối. Áp dụng Định lý 
2.1 cho dãy  
( 1)
, 1
k t j
f k
 
 , ta được 
( 1)
1
1
( ) 0 h.c.c khi 
k
i t j j
i
f x k
k

 

  
và do đó 
1
1
(k 1) ( 1) ( 1)
1 1
1 1
( ) ( ) ( )
k k
t j i t j i t j
i i
k f f f
k k
  


     
 
  
1
( 1) ( 1)
1 1
1 1 1
( ) . ( ) 0 h.c.c khi k .
1
k k
i t j i t j
i i
k
f f
k k k
 

   
 

   

 
Vì vậy 
1 1
1 1
( ) 0 h.c.c khi .
n t
i j
i j
f x n
n t

 
   
Vì ( )
n
G  là tập đóng trên  c X nên 
1
1
( ) ( ) h.c.c. 
n
i n
i
n f G 

 Vì vậy, chúng 
ta có 1
1
lim inf ( ) h.c.c.
t
j n
j
t x s G 

  Từ 
đó, liminf ( ) h.c.c.
n
X s G   
Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng 
w lim sup ( ) X h.c.c.
n
G   Giả sử  jx 
là một dãy trù mật trong XX\ . Do X 
khả ly nên tồn tại dãy  jx  trong 
X với 
1
j
x
  sao cho 
, ( , ) ( , ), 1.
j j j j
x x d x X s X x j
    
Khi đó, x X khi và chỉ khi 
, ( , ),
j j
x x s X x
  với mọi 1.j  Vì hàm 
( , )
j
X s X x
 từ  c X vào ( , )  là 
 c X 
B -đo được và 
   
1
( ( (.), )) ( , ) , 1,
j j
E s F x s X x j 
nên với mỗi 1,j  
 ( (.), ) : n 1n js F x   là dãy các biến ngẫu 
nhiên m-phụ thuộc theo khối cùng phân 
phối trong 
1
L . Vì vậy, tồn tại N F với 
( ) 0P N  sao cho với mọi \N và 
1j  ta có 
1
1
( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) khi n .
n
n j i j j
i
s G x s F x s X x
n
   

  
Với mỗi \ ,N nếu 
w-lim sup ( )
n
x G  thì w khi k ,
k
x x  
trong đó ( ).
k
k n
x G 
Từ đó, suy ra 
, lim , lim ( ( ), ) ( , ), 1.
k
j k j n j j
k k
x x x x s G x s X x j       
Điều này kéo theo .x X Vì vậy, 
w-lim sup ( ) h.c.c. 
n
G X   
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Tiếng Việt: 
1. Nguyễn Văn Quảng, Xác suất trên không gian Banach, NXB ĐHQG Hà Nội, 2012. 
45 
2. Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB ĐHQG Hà Nội, 2013. 
Tiếng Anh: 
3. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap, Mosco convergence of strong law of large 
numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, 
Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13 (2012), 4, 615-636. 
4. F. Hiai, Convergence of conditional expectations and strong laws of large numbers 
for multivalued random variables, Trans. A. M. S. 291 (1985), 613–627. 
5. F. Moricz, Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise 
quasiorthogonal sequences of random variables, Proc. Amer. Math. Soc. 101 (1987), 
no. 4, 709-715. 
* Ngày nhận bài: 07/10/2014 Biên tập xong: 01/3/2015 Duyệt đăng: 20/3/2015