Khôi phục xấp xỉ hàm trong không gian Besov bằng B-splines

Cho Định nghĩa là không gian tất cả các hàm trên với 
chuẩn sau hữu hạn    
,
1
( ): 2 ( )
p
k
kB p
k
f q f




 
  
 


Bổ đề 3. Cho 0 , , ,p q p q   và :    khi đó với mọi
 
, ,pf B

 chúng ta có: 
 
 
( )
,
1
*( ) *
sup2 , êu min(q,1),
( ) .
( 2 ) , êu min(q,1),
k
p
k k
k Bq
k
k k
n
f Q f f
n


  






 

 
 


 
1 1
à min (2 ,2 1 )v p r r
p p
     f  ,pB 

f
,pB
f

 2 ( ).B f

  . mE 
. ( )m Q  f 
 f 2 1. mr Q ( )Q  mE 
*,k k *k k  
*
1
k
k k k
n
 
*( ) , 1,...kn J k k k k   f
*
, ,,
( ) 11
,
knk
s k sj k sjk s
s J k jk k
f a M c M
  
   
( )js J k mB Q
*
1
2 2 ( ).
k
k
k
k k
m r n k k
 
  
: .   
 
,pB

 f 
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
30 
ở đây *
1
:
1 1
min( ,1_q




. 
Bổ đề được chứng minh tổng quát trong [1]. 
Định lý 2. Cho là hàm số thỏa mãn các điều kiện ở định lý 1. 
 Ký hiệu Nếu thì 
 (3.1) 
Hơn nữa còn có thể xây dựng được tập con B trong có và một 
phương pháp khôi phục từ (1.1) thỏa mãn 
 (3.2) 
Chứng minh. Ta có nên có thể xem . Vậy chỉ cần 
chứng minh (3.2) cho 
Ta sử dụng một kết quả đã có là tồn tại thỏa mãn . 
Trường hợp . Đặt theo chứng minh ở Định lý 1 (xem [1]) thì 
 Đặt khi đó Với bất kỳ, áp 
dụng Bổ đề 2 ta có 
, 
ở đây . 
Mặt khác 
   
,
,
1
( )
0
1
0
2 ( )
( )
{ } ( )
(2 )
p
p
k
B p
k
p
k B
k
f q f
q f
f C do f U



 







 
  
 
 
    
  


0 , , , ( )p q t   
 
,
, , , 1 .
p
p p B
U f B f

  
   
1
, 2p r
p
  
 ,
1
( )n p q
r U
n

 
( )n M dim ( )p B n
B
nS
,
1
sup ( ) ( )
p
B
n q
f U
f S f
n


 
, ,
. ,
p pB B
f C f
 
  , ,p pB B
 

,: .pU U


( , )C C r d dim ( ) .p mQ C m
p q
1
1
log ,
(2 )
 
    
( ) , .k C k k      ( ) ( )k k C    : .    k
 
 
( )
,
1
*( ) *
sup 2 , êu min(q,1),
( ) .
( 2 ) , êu min(q,1),
k
p
k k
k Bq
k
k k
n
f Q f f
n


  






 

 
 



* 1:
11/ min( ,1)q




 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
31 
   
 
( )
1 1
* ** *( )
1
**
( )
sup 2 sup (2 ) . (2 )
2 (2 )
(2 )2 (2 )
k k k
k k k k
k k
k k k k
k k k k
k k
C
  


  
 
 
 
   

  
   
    
   
 
   
 
 



(vì theo tính chất (2.6) ta có ( )1(2 ) .2 . (2 )
k k k kC      ). 
Như vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức 
Số các giá trị lấy mẫu trong là . Theo Bổ đề 2 (xem [2]) thì 
với . Ta có với C là hằng số. Xác định thỏa mãn: 
Theo tính chất (i) và (ii) của suy ra 
1
(2 ) ( )k
n
   
Từ đó ta xây dựng được với thỏa mãn 
1
sup ( ) ( )Bn qf U
f S f
n
  
Trường hợp p>q. Với ta có 
0 1
( ) ( ) ( )k kk
k k k
f q f Q f q f
 
  
    
ở đây bất kỳ và 
Từ (2.8), suy ra . 
Đặt các số nguyên không âm với và 
là dãy các số nguyên không âm thỏa mãn 
Chúng ta xây dựng phương pháp khôi phục 
 (3.3) 
là thành phần tuyến tính không thích nghi của , thành phần phi tuyến thích nghi 
được xây dựng là tổng của các thuật toán tham lam Gk. với mỗi thì 
 được xác định như sau: 
sup ( ) (2 ).k
k q
f U
f Q f

 
( )
k
Q f 2 1k  ( ) mkQ f Q
2km  dim ( ) .p mQ C m k
 ' k. ax 2 1, 2 .kC n m C n  
( )t
( ) ( )Bn kS f Q f mB Q
f U
k , ,
( )
( ) ( ). .k k s k s
s J k
q f c f M

 
 ,
,
( ) 2 ( ) (2 ), 0
k
kp
k k sp p k
q f c f k

   
*( ) 2 2 1, ,kkm J k r k k   
*k k  
*
1
k
k k k
n
 
.k kn m
*
1
( ) : ( ) ( ( )),
k
k kk
k k
G f Q f G q f
 
  
( )G f
*1,...k k k 
( ( ))k kQ q f
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
32 
Dãy được sắp xếp: khi đó 
 và đặt , ta có: 
 (3.4) 
Bây giờ xét với 
1 1
, ,
( ) ( )
( ) 2 2
k kq pq pq q
k k s k sq
s J k s J k
q f c c
 
 
   
    
   
  2 . ( ) 2 . (2 )k k kk pq f
     (3.5) 
Xét ánh xạ được xác định (3.3), B là tập hợp được xác định trong Bổ đề 2 
(xem [2]) thì . 
Cũng theo Bổ đề 2 ta có mB Q với . Do 
nên . Chúng ta xác định , dãy với như sau: 
a) xác định bởi , với các hằng số được chọn sau cho 
phù hợp. 
b) Số giá trị lấy mẫu của không vượt quá 
*
'
1
(2 1) (2 2 )
k
k
k
k k
m r n
 
     
c) Cố định thỏa mãn 
Chúng ta có thể lựa chọn và dãy là và 
. 
Khi đó được xác định sao cho 
Mặt khác với mỗi cố định thỏa mãn . 
Từ (3.4), (3.5) và (2.3) thì ta có: 
 , ( )( )k s s J kc f  1 2, , ,( ) ( ) ... ( ) ,mkk s k s k sc f c f c f  
*1,...k k k 
1 1
p q
  
1
, ,
1 1
1
,
1
( ) ( ( ) 2 .
2
k k
j j
k k
k
j
km m qq
q
k k k k s k sq
j n j nq
k m pp
q
k k s
j
q f G q f c c
n c

   



 
    
 
 
  
 
 

2 ( ) 2 . (2 )k k kk k kpn q f n
      
*k k
:G U B
( )G f B
*
1
2 2 ( )
k
k
k
k k
m r n k k
 
   dim ( ) .p mQ C m
dim ( ) .p B C m
*,k k  kn k kn m
k 1 2.2 .2
k kC n C  1 2,C C
( )G f
 0
 



 
*k  
*
1
k
k k k
n
 
* 1 log( ) 1k n k     
( ) *.2 , 1,...,k kkn n k k k
      
1 2, ,C C 
* ', 1,..., , . , .k kn m k k k C m n m n    
 0 min( ,1)q 
f U 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
33 
mà , suy ra 
và 
nên . 
Vì vậy 
Như vậy (3.2) đã được chứng minh và do đó (3.1) được chứng minh. 
Để đánh giá cận trên của chúng ta vẫn sử dụng phương pháp xây dựng, 
cách xác định như trên. Khi đó vẫn tìm được các hằng số và 
thỏa mãn điều kiện: số các B - spline Mk,s trong ở các trường hợp và p<q lần lượt 
là và không vượt quá n. 
Từ đó ta có định lý sau: 
Định lý 3. Cho thỏa mãn điều kiện ở Định lý 1, . 
Khi đó ta có:  ,
1
, ( )n p q
s U M
n

  
*
*
*
*
1
. .
1
( ) ( ) ( ( )) ( )
2 . . (2 ) 2 . (2 )
k
B
n k k k kq qq
k k k k
k
k k k k
k
k k k k
f S f q f G q f q f
n
  
      
  
 
  
   
  
 
 
*
* *
*
*
* * *
*
* *
. . .( ) .( ) 2
1
. ( )
1
( )( )
1
( )( )
1
2 . .2 .2 . (2 )
2 .2 . (2 )
2 . (2 )
2 .2 . (2 )
1
( ) 2 (2 )( 0, 0)
1
( )
k
k k k k k k
k
k k
k k k k
k k
k
k k k
k k
k k k k
k k
k k
n
do
n
n
        
    
    
    
  

    
   
 

 
 
   
 

  
 


 

 
       
 








* *
(2 . (2 )) ,k k 
* 1 log( ) 1k n k     
*
1
(1 )
2 k n

 


* *( ) 1(2 ) 2 . (2 ) . (2 ) ( )k k k k kn n
n
 
  
 
         
* *
1
(1 ) 1 1 1
2 (2 ) . ( ) . ( ) ( )k k n n n
n n n
  
 
   
 
 
     
1
( ) ( ).Bn q
f S f
n
 
 , ,n ps U M
 
*
*
1
, ,
k
k k k
k k n
 
'
1 2, ,C C C 
B
nS p q
 2 2 1k r   
*
1
2 2 1
k
k
k
k k
r n
 
   
0 , , ,p q    
1
, 2p r
p
  
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
34 
4. KẾT LUẬN 
 Bằng việc biểu diễn một hàm ( ), 0qf W L q      qua sóng nhỏ giả nội suy 
trong không gian Besov: , ,
( )
( ).k s k s
k s J k
f c f M
  
  

, 
chúng tôi đã xây dựng được phương pháp khôi phục thích nghi lấy mẫu BnS , có các sai 
số là tốt nhất có thể, cụ thể là với hàm số :     thỏa mãn các điều kiện cho trước thì 
,
1
sup ( ) ( )
p
B
n q
f U
f S f
n


  . 
Hơn nữa, ta có 
 ,
1
( )n p q
r U
n

  và  ,
1
, ( ).n p q
s U M
n

  
Ở đây  
,
, , , 1 .
p
p p B
U f B f

  
    
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Birman, M.S., Solomjak, M.Z. (1967), Piecewise-polynomial approximations of the 
class, Math. USSR- Sb. 2(3), 295-317. 
[2] C.K. Chui (1992), An Introduction to Wavelets, Academic Press, New York. 
[3] C.K. Chui, H. Diamond (1987), A natural formulation of quasi-interpolation by 
multivariate splines, Proc. Amer. Math. Soc. 99, 643-646. 
[4] C. de Boor, G.J. Fix (1973), Spline approximation by quasi-interpolants, J. Approx, 
Theory 8, 19-45. 
[5] C. de Bore, K. Hollig, S. Riemenschneider (1993), Box Spline, Springer-Verlag-Berlin. 
[6] Dinh Dung (2009), Non-linear sampling recovery based on quasi-interpolant wevelet 
representations, Adv. Comput. Math, 30, 375-401. 
[7] Dinh Dung (2011), Optimal adaptive sampling recovery, Adv. Comput, Math, 31, 1-41. 
[8] Dinh Dung (2012), Erratum to: Optimal adaptive sampling recovery, Adv. Comput. 
Math, 36, 605-606. 
[9] Dinh Dung, Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline quasi-
interpolation, accepted for publication in Found. Comp. Math. 
[10] A.N. Kolmogorov, V.M. Tikhomirov (1959), -entropy and -capacity of sets in 
function space, Uspekhi Mat. Nauk 14, 3-86; English transl. in Amer. Math. Soc. 
Transl. (2) 17(1961). 
[11] J. Ratsaby, V. Maiorov (1998), The degree of approximation of sets in Euclidean 
space using sets with bounded Vapnik-Chervoekis dimension, Discrete Applied Math. 
86, 81-93. 
[12] J. Ratsaby, V. Maiorov, (1999), On the degree of approximation by manifolds of finite 
pseudo-dimension, Constr. Approx. 15, 291-300. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
35 
APPROXIMATE RECOVERY OF FUNCTIONS IN BESOV-TYPE 
SPACES WITH B-SPLINES 
Nguyen Manh Cuong, Mai Xuan Thao 
ABSTRACT 
In this paper, we will extend results obtained by Dinh Dung on optimal methods of 
adaptive sampling recovery of functions by sets of finite capacity to univariate Besov-type 
spaces of functions with B-splines. 
Keywords: Adaptive sampling recovery, Quasi-interpolant representations, Besov-
type spaces.