Giáo trình Cơ học lý thuyết (Tóm tắt lý thuyết và Bài tập mẫu)

n thiên mômen động lượng của hệ,
d
dt
[
1
2
Ma2θ˙ −ma(u− aθ˙)
]
= mga sinϕ
(M + 2m)a2θ¨
2
= mga sinϕ.
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 58
Để ý rằng góc chuyển động của con bọ tại thời điểm t so với vị trí ban đầu
bằng θ+ϕ. Con bọ chuyển động đều nên a(θ+ϕ) = ut, suy ra θ˙ = (u/a)− ϕ˙,
ϕ¨ = −θ¨. Thay vào phương trình biến thiên mômen động lượng ta được sau
một số biến đổi:
ϕ¨ = − 2mg
a(M + 2m)
sinϕ.
Nhân hai vế với ϕ˙dt = dϕ, ta được:
1
2
d(ϕ˙)2 = − 2mg
a(M + 2m)
sinϕdϕ.
Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời điểm t:
1
2
[ϕ˙(t)2 − ϕ˙(0)2] = 2mg
a(M + 2m)
[cos(ϕ(t))− cos(ϕ(0))].
Dùng điều kiện đầu, ϕ(0) = 0, ϕ˙(0) = u/a, ta suy ra:
ϕ˙2 =
4mg
a(M + 2m)
(cosϕ− 1) + u
2
a2
.
Câu 5
Hệ: ống trụ tâm C và vật năng A
Vật A thực hiện chuyển động tịnh tiến theo phương ngang. Hình trụ
thực hiện chuyển động song phẳng, bao gồm: tịnh tiến theo phương thẳng
đứng (cùng với A) và quay (tức thời) quanh B . Hệ có 2 bậc tự do. Tọa độ suy
rộng: x - vị trí A theo phương ngang, ϕ góc quay của ống trụ.
Các lực chủ động: trọng lực P1, lực ma sát Fms = fP2, trọng lực P2.
Động năng của A:
TA =
P2
2g
x˙2.
Để tính động năng ống trụ, dùng công thức tính động năng theo khối tâm
C , trước hết ta tính vận tốc của C bằng công thức Euler (điểm cực là B - tâm
PHỤ LỤC A. ĐỀ THI MẪU 59
quay tức thời)
vC = x˙︸︷︷︸
vB
+aϕ˙⇒ wC = x¨+ aϕ¨.
Động năng ống trụ (J = Ma2)
TC =
P1
2g
(x˙+ aϕ˙)2 +
1
2
Jϕ˙2 =
P1
2g
(x˙2 + 2ax˙ϕ˙+ a2ϕ˙2) +
P1
2g
a2ϕ˙2.
Động năng của hệ:
T = TA + TC =
P1 + P2
2g
x˙2 +
P1a
g
x˙ϕ˙+
P1a
2
g
ϕ˙2.
Công của các lực chủ động (giúp tìm các lực suy rộng):
−fP2δx+ P1δx+ P1aδϕ⇒ Qx = −fP2 + P1, Qϕ = P1a.
Tính các đạo hàm rồi thay vào phương trình Lagrange, ta được:
P1 + P2
g
x¨+
P1a
g
ϕ¨ = −fP2 + P1,
P1a
g
x¨+
2P1a
2
g
ϕ¨ = P1a.
Giải ra ta được
x¨ =
g(P1 − 2fP2)
P1 + 2P2
(gia tốc của A),
ϕ¨ =
gP2(1 + 2f)
a(P1 + 2P2)
⇒ wC = g(P1 + P2)
P1 + 2P2
(gia tốc của C).
Phụ lục B
Đề thi môn Cơ học lý thuyết
Thời gian: 120 phút
Ngày thi: 4/6/2009
(Sinh viên được phép tham khảo tài liệu chỉ định)
Câu 1 (2đ) Điểm chuyển động trên đường cycloid,
x = a(θ− sin θ), y = a(1− cos θ),
theo luật θ = bt/a, trong đó a và b là những hằng số dương. Ở thời điểm bất
kỳ, xác định vận tốc, gia tốc của điểm và bán cong của quỹ đạo tại vị trí của
điểm.
Câu 2 (2.5đ) Một vật khối lượng m trượt không ma sát trên mặt phẳng
nghiêng một góc α (0 < α < pi/2) so với phương ngang. Cho biết vật chịu sức
cản không khí có độ lớn tỉ lệ với bình phương vận tốc, kv2. Ban đầu vật ở
đỉnh dốc O và được buông ra không vận tốc đầu. Viết phương trình vi phân
chuyển động của vật. Chứng minh vận tốc của vật biến thiên theo quy luật
v =
√
mg sinα
k
(1− e−2kx/m),
trong đó x là khoảng cách từ vật đến đỉnh dốc. Tìm vận tốc giới hạn của
vật.
Câu 3 (1đ) Một quả lắc đồng hồ gồm: thanh đồng chất chiều dài 2a, khối
lượng m và đĩa tròn đồng chất bán kính a/2, khối lượng M gắn với nhau như
hình 1. Tính mômen quán tính của quả lắc đối với trục đi qua O (điểm giữa
của thanh), cho biết OC = 3a/4.
60
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 61
Hình 1: a) Câu 3; b) Câu 5.
Câu 4 (2đ) Một vật khối lượng 4m ở trạng thái nghỉ (đứng yên) khi nó bị
nổ tung thành ba mảnh có khối lượng lần lượt là 2m, m và m. Sau khi nổ
tung, hai mảnh khối lượng m được quan sát thấy chuyển động với cùng tốc
độ u theo hai hướng hợp với nhau góc 120o . Tìm vận tốc của mảnh có khối
lượng 2m. Tính động năng toàn phần của hệ (gồm ba mảnh). Vị trí ban đầu
của vật là điểm gì của hệ?
Câu 5 (2.5đ) Con lăn A lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng một góc
α so với phương ngang, làm vật C trọng lượng P được nâng lên nhờ một sợi
dây vắt qua ròng rọc B . Con lăn A và ròng rọc B là hai đĩa tròn đồng chất
có cùng trọng lượng Q và bán kính R. Bỏ qua ma sát lăn và ma sát của trục
ròng rọc. Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ. Chứng minh gia tốc
của C bằng
wC =
(Q sinα− P )g
2Q + P
.
Hãy chỉ ra điều kiện trên các dữ kiện của đầu bài (không được cho một cách
tường minh).
Đáp án
Câu 1
Vận tốc:
x˙ = b(1− cos θ), y˙ = b sin θ ⇒ v = b
√
2(1− cos θ).
Gia tốc:
x¨ =
b2
a
sin θ, y¨ =
b2
a
cos θ ⇒ w = b
2
a
.
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 62
Tính bán kính cong. Gia tốc tiếp:
wt = v˙ =
b2
a
sin θ√
2(1− cos θ) .
Gia tốc pháp:
wn =
√
w2 − w2t =
b2
a
√
1− cos θ
2
.
Suy ra
ρ =
v2
wn
= 2a
√
2(1− cos θ).
Câu 2
Hình 1: Câu 2.
Hệ quy chiếu được chọn như hình vẽ, trục Ox hướng song song với mặt
nghiêng. Lực tác dụng lên vật: trọng lực P, phản lực N và lực cản không khí
Fc.
Chiếu phương trình vi phân chuyển động (định luật thứ hai của Newton)
lên trục x, ta được:
mx¨ = mg sinα− kx˙2.
Nhân vào hai vế với x˙dt = dx, ta được:
m
2
d(v2) = (mg sinα− kv2)dx,
trong đó v = x˙. Tách biến,
md(v2)
2(mg sinα− kv2) = dx,
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 63
rồi tích phân hai vế (chú ý, biến lấy tích phân bên vế trái là v2), ta được:
−m
2k
ln |mg sinα − kv2|
∣∣∣v2
v2(0)
= x− x(0).
Dùng điều kiện đầu, v(0) = 0, x(0) = 0,
ln
(
mg sinα− kv2
mg sinα
)
= −2kx
m
,
suy ra
v =
√
mg sinα
k
(1− e−2kx/m).
Qua giới hạn, t→∞, ta thu được (do x→∞):
vgh = lim
x→∞
√
mg sinα
k
(1− e−2kx/m) =
√
mg sinα
k
.
Câu 3
Mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua O:
Jt =
1
3
m(2a)2 =
4ma2
3
.
Mômen quán tính của đĩa đối với trục đi qua O (dùng công thức Huygens):
Jđ =
1
2
M
(a
2
)2
+M
(
3a
4
)2
=
11Ma2
16
.
Vậy, mômen quán tính của quả lắc đối với trục qua O:
J = Jt + Jđ =
(
4m
3
+
11M
16
)
a2.
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 64
Hình 2: Câu 4.
Câu 4
Hệ gồm ba vật có khối lượng lần lượt là m, m, 2m (ban đầu chúng kết
dính với nhau). Theo giả thiết ban đầu chúng đứng yên, điều đó có nghĩa
là lực tác dụng lên chúng bằng không! Ta áp dụng định lý bảo toàn động
lượng. Gọi v là độ lớn vận tốc của vật 2m. Do động lượng ban đầu của hệ
bằng không nên động lượng của hệ lúc sau cũng vậy. Do đó vận tốc của vật
2m có phương chiều như hình vẽ, và độ lớn được tính nhờ sự bảo toàn động
lượng
mu cos 60o +mu cos 60o − 2mv = 0 ⇒ v = u
2
.
Động năng của hệ:
T =
mu2
2
+
mu2
2
+
2m
2
(u
2
)2
=
5mu2
4
.
Vị trí ban đầu của vật (O) là khối tâm của hệ.
Câu 5
Cơ hệ gồm: con lăn A, ròng rọc B , vật C . Lực chủ động tác dụng lên
hệ: trọng lực Q, phản lực NA, trọng lực Q, phản lực NB , trọng lực P (xem
hình vẽ).
Liên kết:
Con lăn A chuyển động song phẳng. Chuyển dịch tịnh tiến s và quay
quanh tâm góc ϕ. Do lăn trượt nên δs = Rδϕ (s˙ = Rϕ˙).
Ròng rọc B thực hiện chuyển động quay góc ϕ (chọn gốc thích hợp).
Vật C dịch chuyển tịnh tiến x. Do dây không giãn δx = δs (x˙ = s˙).
Như vậy, hệ có 1 bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng là x (tọa độ vật C).
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 65
Hình 3: Câu 5.
Động năng của con lăn A:
TA =
Q
2g
s˙2 +
QR2
4g
ϕ˙2 =
3Q
4g
x˙2.
Động năng của ròng rọc B:
TB =
QR2
4g
ϕ˙2 =
Q
4g
x˙2.
Động năng của vật C :
TC =
P
2g
x˙2.
Động năng của hệ:
T = TA + TB + TC =
P + 2Q
2g
x˙2.
Công toàn phần do lực chủ động tác dụng lên hệ:
δW = Q sinαδs− Pδx = (Q sinα − P )δx.
Do đó, lực suy rộng Qx = Q sinα− P .
PHỤ LỤC B. ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 66
Tính các đạo hàm rồi thay vào phương trình Lagrange, ta được:
P + 2Q
g
x¨ = Q sinα − P ⇒ wC = x¨ = (Q sinα− P )g
P + 2Q
.
Điều kiện: để vật C đi lên ta phải có điều kiện Q sinα ≥ P .
Lời bàn
Câu 4 Câu này thường làm cho các bạn lúng túng về lực tác dụng lên hệ.
Tuy nhiên, nếu để ý đến cụm từ "ở trạng thái nghỉ (đứng yên)" thì ta có thể
xem, theo định luật thứ nhất của Newton, hệ không chịu tác dụng bởi lực
nào cả, hay nói khác đi, các lực tác dụng lên hệ cân bằng.
Câu 5 Một số bạn cho là hệ có 2 bậc tự do! Thật ra với điều kiện "lăn
Hình 4: Tính động năng trong chuyển động song phẳng.
không trượt" của con lăn thì bài này chỉ có 1 bậc tự do. Một số bạn áp dụng
máy móc cách tính động năng của con lăn giống như cách tính động năng
của ống trụ (câu 5 của đề thi mẫu). Như trên hình 4a), ống trụ thực hiện
chuyển động song phẳng được phân tích bằng cách chọn B làm điểm cực,
gồm: chuyển động tịnh tiến của điểm B và chuyển động quay quanh trục đi
qua B của ống trụ. Còn trong bài này, hình 4b), chuyển động của con lăn
gồm: chuyển động tịnh tiến của điểm A và chuyển động quay quanh A của
con lăn. Các bạn nên đọc lại lời giải trong hai trường hợp để so sánh.
Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Đình Áng, Trịnh Anh Ngọc, Ngô Thành Phong, Nhập môn Cơ học,
NXB Đại học Quốc gia TP. HCM 2003.
[2] Nguyễn Trọng Chuyền, Phan Văn Cúc, Bài tập cơ học lý thuyết, NXB Khoa
học và Kỹ thuật, Hà nội, 1991.
[3] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - An Undergraduate Text, Cambridge
University Press, 2006.
[4] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - Solution Manual, Cambridge Uni-
versity Press, 2006.
[5] X.M. Targ, Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết, NXB Đại học & Trung học
Chuyên nghiệp Hà nội, Mir Matxcơva 1979.
67