Đề thi học kỳ I môn Đại số tuyến tính - Ca 2 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009 -20 10
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ L UẬN
CA 2
Câu 1 : a/ Cho ma trận A =
(
7 − 3
1 0 − 4
)
.
a/ Chéo hoá ma trận A.
b/ Áp d ụng, tìm ma trận B s ao cho B20 = A.
Câu 2 : Cho ánh x ạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, b iết ma trận của f trong cơ sở
E = { ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =

 1 2 02 1 −1
3 0 2

.
Tìm ma trận của f trong cơ s ở ch ính tắc .
Câu 3 : Cho ma trận A =

 3 2 2− 3 −2 −3
2 2 3

 . Tìm trị riêng, cơ sở của các không g ian con riêng của
ma trận A6.
Câu 4 : Tìm m để vectơ X = ( 2 , 1 ,m) T là véctơ riêng của ma trận A =

 − 5 3 3− 3 1 3
− 3 3 1

.
Câu 5 : Tìm m để ma trận A =

 1 3 −23 m −4
− 2 −4 6

 có đúng hai trị riêng d ương và một trị riêng âm.
Câu 6 : Cho án h xạ tuyến tính f là phép quay trong h ệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều
kim đồn g hồ một góc 6 0 o. T ìm ánh x ạ tuyến tính f . Giải th ích rõ.
Câu 7 : Cho A là ma trận v uông cấp n. Ch ứng tỏ rằng A kh ả nghịch khi và chỉ khi λ = 0 KHÔNG là
trị riêng của A.
Khi A kh ả ng hịch ch ứng tỏ rằng nếu λ là trị riêng của A, thì
1
λ
là trị riên g của A−1.
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
Câu 1(1. 5đ). Chéo hóa ma trận ( 0.5 đ) A = PDP−1; P =
(
3 1
5 2
)
. D =
(
2 0
0 1
)
.
Ta có A = P ·D · P−1. Giả sử B = Q ·D1 · Q−1, ta có B20 = Q ·D201 · Q−1 = A. Chọn Q = P và
D1 =
(
20
√
2 0
0 20
√
1
)
. Vậy ma trận B = P ·D1 · P−1
Câu 2 (1.5 đ). Có nh iều cách làm. Gọi ma trận chuyển cơ s ở từ E s ang chính tắc làP . Kh i đó ma
trận chuyển cơ sở từ ch ín h tắc san g E là : P−1 =

 1 1 12 1 1
1 2 1

 Ma trận của ánh xạ tuyến tín h trong
1
cơ sở chín h tắc là B = P−1AP=

 − 6 5 2− 9 6 4
−1 2 8 4


Câu 3 (1 .5đ). Giả sử λ0 là trị riên g của A⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0. Khi đó
A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 ·A5 · x0 = · · · = λ60 · x0.
Lập ptrìn h đặc trưng, tìm được T R của A: λ1 = 1 , λ2 = 2 ,
Cơ sở của Eλ1 : { ( − 1 , 1 , 0 ) T , ( − 1 , 0 , 1 ) T}, của Eλ2 : {( 2 ,−3 , 2 ) T}.
TR của A6: δ1 = 1 6, δ2 = 2 6, Cơ sở của: Eδ1 : { ( −1 , 1 , 0 ) T , ( − 1 , 0 , 1 ) T}, của Eδ2 : { ( 2 ,−3 , 2 ) T}.
Câu 4 (1.5 đ). x là VTR của A ⇔ A · x = λ · x ⇔

 −5 3 3−3 1 3
−3 3 1



 21
m

 = λ ·

 21
m

 ⇔ m = 1
Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng th ực. Dạng toàn phươn g tương ứng f ( x, x) = x21 +mx22 + 6 x23 +
6 x1x2 − 4 x1x3 − 8 x2x3. Đưa về chính tắc b ằn g biến đổi Lagrange f ( x, x ) = ( x1 + 3 x2 − 2 x3 ) 2 +
2 ( x3 + x2 )
2 + ( m− 1 1 ) x23. Ma trận A có một TR dươn g, 1 TR âm ⇔ m < 1 1 .
Câu 6 (1.5 đ). f : IR2 −→ IR2. f được xác định hoàn toàn n ếu biết ảnh của một cơ sở của IR2.
Chọn cơ s ở ch ín h tắc E = { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }.
Khi đó f ( 1 , 0 ) = ( 1
2
, −
√
3
2
) ,f ( 0 , 1 ) = (
√
3
2
, 1
2
) . f ( x, y ) = ( x
2
+ y
√
3
2
, −x
√
3
2
+ y
2
)
Câu 7 (1 .0đ). A khả ngh ịch ⇔ det( A) 	= 0 ⇔ λ = 0 k hông là T R của A. Giả sử λ0 là TR của A
⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = 1λ0 · x0 (vì λ0 	= 0 ) → đpcm.
2