Đề luyện tập môn Đại số tuyến tính - Đề 6 - Đặng Văn Vinh

Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 6
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tìm m để det( A) =2 với A =


2 1 3 5
3 2 5 7
−3 0 2 1
5 − 1 m 2


Câu 2 : Trong không gian IR4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con
F = { ( x1, x2, x3, x4 ) |x1+x2+x3−x4 = 0 & 2 x1+x2+2 x3− 3 x4 = 0 & 5 x1+3 x2+5 x3− 7 x4 = 0 }.
Tìm số chiều và cơ sở của F⊥.
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sở
E = { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =


1 2 − 1
2 1 0
3 0 − 1

.
Tìm cơ sở và số chiều của Imf .
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3, biết f ( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 ,−2 , 5 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 ,−2 , 7 ) ,
f ( 1 , 0 , 1 ) = ( 1 , 0 , 1 ) . Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc.
Câu 5 : Đưa dạng toàn phương f ( x, x) = f ( x1, x2, x3 ) = 3 x21 + 3 x23 − 8 x1x2 + 2 x1x3 − 8 x2x3 về chính
tắc bằng BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO, nêu rõ phép biến đổi ( biết ma trận của dạng toàn phương
có trị riêng là 2 , 8 ,− 4 ).
Câu 6 : Cho ma trận A =


6 − 1 2 −1
1 −3 −1
− 4 1 2 3

 . Tìm trị riêng của ma trận ( 5 A ) 10.
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2, biết f ( x) = f ( x1, x2 ) = ( 3 x1 + x2, 3 x1 + 5 x2 ) . Tìm một
cơ sở của IR2 sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 8 : Chứng tỏ rằng nếu λ là trị riêng của ma trận A cấp n, thì λk là trị riêng của Ak, với ∀k ∈ N .
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh