Chuyên đề Rút gọn phân thức đại số

Chuyên đề 1: 
RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I – Phương pháp giải:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung. 
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
II – Các dạng bài toán thường gặp:
Rút gọn phân thức.
c)
Với: y-2 và y- 
2- Chứng minh.
Câu2 : a) Hãy chứng minh: 
 Giải: 
Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: 
 Giải:
Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x.
Câu2: c) Chứng minh rằng nếu thì trong ba số x, y, z ít nhất cũng có một cặp số đối nhau .
Giải:
Từ: 
Ta có: 
Từ đó ta có: 
Hay 
Biến đổi vế trái: 
Vậy: 
Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau.
3- Tính giá trị.
Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = với x = 2008
Giải: C = 
 Với x = 2008 thì C = 
Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức 
Ta có: 
Vậy: 
Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn và 
Tính: 
Giải:
Mà: 
Vậy: 
4- Tổng hợp
Câu4 : a) Cho biểu thức A = 
a1) Rút gọn A.
a2) Chứng minh rằng A dương.
a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất? 
 Giải:
a1) A = 
a2) Ta có: m2 0, m.
 Nên: m2 + 2 > 0, m.
 Do đó: > 0, m.
 Vậy: A > 0, m.
a3) Ta có: m2 0, m.
 Nên: m2 + 2 2, m. 
 Do đó: , m. 
 Hay: A , m. 
 Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = 
 Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0
Câu4: b) Cho M = .
b1) Rút gọn biểu thức M.
b2) Tìm giá trị của M với x = 2008.
b3) Với giá trị nào của x thì M < 0 ?
b4) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên?
Giải:
b1) Điều kiện: x0, x-1, x
M = 
b2) Với x = 2008.
M = 
b3) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1. Kết hợp với điều kiện. 
Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1, .
b4) M nhận giá trị nguyên khi (x-1) 3 hay x -1 = 3k (k Z)
Vậy: x = 3k +1 (kZ)
Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau:
M = 
Giải:
 M = 
Câu5: b) Chứng tỏ: 
 , 
Giải:
Ta có: (1)
Chia cả hai vế của (1) cho 2(a2+1), ta được:
Do đó: 
Vậy: , 
Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
 với 
Giải:
Với , ta có:
Ta lại có:
Vậy: Q = (-1)3-(-1) = -1+1 = 0
Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau:
A = 
Với a, b, c đôi một khác nhau.	
Giải:
A = 
 (a, b, c đôi một khác nhau)
 Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c.
B = 
Với a, b, c đôi một khác nhau.	
Giải:
 ( a, b, c đôi một khác nhau )
 Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau:
 với 
Giải:
Thay vào P ta có: