Chuyên đề Phương trình sai phân - Nguyễn Xuân Sơn

1. Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai:
a. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai:
	- Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số hằng là phương trình dạng:
	AXn+2 + BXn+1 + CXn = 0 , n= 0, 1, 2,... (1.1)
Trong đó A ≠ 0, B và C là những hằng số.
Nghiệm tổng quát:
	- Nếu C=0 thì phương trình (1.1) có dạng
	AXn+2 + BXn+1 = 0 (1.2)
Phương trình này là phương trình tuyến tính bậc nhất. 
Nó có nghiệm tổng quát là Xn+1 = nXn, = , n=1, 2,... 
	- Nếu B=0 thì phương trình (1.1) có dạng (khuyết B)
	AXn+2 + BXn = 0 (1.3)
Phương trình này về hình thức tương tự phương trình tuyến tính bậc nhất.
Nó có thể viết dưới dạng 	Xn+2 =. Xn = qXn.
Như vậy là ta có công thức nghiệm:
	X2k = qk.Xo và X2k+1 = qk.X1.
	- Nếu phương trình (1.1) có các hệ số đều khác 0 thì ta có phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1.1) là :
	A2 + B + C = 0 
Phương trình trên sẽ có hai nghiệm là 1 và 2 .
	Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (1.1) ta dựa vào các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1:
	Giả sử phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt (1 ≠ 2) khi ấy phương trình (1.1) có nghiệm là 
	Xn = C11n + C22n
	Trong đó C1 và C2 là những hằng số được xác định và được xác định theo điều kiện ban đầu là X0 và X1.
Ví dụ 1:
Tìm công thức tổng quát của dãy số sau (tương đương với tìm nghiệm của phương trình sai phân)
	U0 = 7; U1 = -6; Un+2 = 3Un+1 +28Un .
Giải:
Ta có: Un+2 = 3Un+1 + 28Un.
Suy ra Un+2 – 3Un+1 – 28Un = 0.
Nên ta có phương trình đặc trưng như sau: 2 - 3 – 28 = 0.
Phương trình này có hai nghiệm là 1 = 7 và 2 = -4.
Suy ra công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
Un = C11n + C22n hay Un = C1.7n + C2.(-4)n. (*)
Với n=0 thì U0 = C1 + C2 = 7 (1)
Với n=1 thì U1 = 7C1 – 4C2 = -6 (2)
Từ (1) và (2) suy ra C1 = 2 và C2 = 5 (3)
Thay (3) vào (*) ta được công thức tổng quát của dãy số là:
Un = 2.7n + 5.(-4)n.
Mệnh đề 2: 
	Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép 1 = 2 = = thì nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) là 
	Xn = C11n + C2.n2n = (C1 + n.C2).n.
	Trong đó C1 và C2 là những hằng số được xác định theo điều kiện ban đầu là X0 và X1.
Ví dụ 2:
Tìm nghiệm của phương trình sai phân:
	U0 = -1; U1 = 2; Un+2 = 10Un+1 – 25Un.
Giải:
Ta có : Un+2 = 10Un+1 – 25Un suy ra Un+2 – 10Un+1 + 25Un.
Do đó ta có phương trình đặc trưng như sau: 2 - 10 + 25 = 0
Phương trình có nghiệm kép là 1 = 2 = = 5 
Nên phương trình sai phân đã cho có nghiệm tổng quát có dạng:
Un = n.(C1 + n.C2) (*)
Với n = 0 thì U0 = C1 + C2 = -1 (1)
Với n = 1 thì U1 = 51(C1 + 1.C2) = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta được C1 = -1 và C2 = 1,4 (3)
Thay (3) vào (*) ta được công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân là : Un = 5n.(-1 + 1,4.n)
Mệnh đề 3:
	Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì sẽ được nghiên cứa kĩ ở giáo trình Đại học.
b. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất bậc hai: 
- Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất bậc hai là phương trình dạng : AXn+2 + BXn+1 + CXn = Dn , n = 0, 1, 2,..... (1.2)
Trong đó A ≠ 0,B và C là những hằng số;Dn là hàm số của biến số tự nhiên n
- Nghiệm tổng quát:
	Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất bậc hai (1.2) là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.1) và nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.2) Xn = ͂xn +x*n.
	Với ͂xn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.1) và x*n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.2) .
Ta tính ͂xn theo 3 mệnh đề ở trên.
Còn tính x*n theo 1 trong 3 cách sau:
	- Nếu A + B + C ≠ 0 thì x*n = .
	- Nếu A + B + C = 0 và 2A + B ≠ 0 thì x*n = 
	- Nếu A + B + C = 0 và 2A + B = 0 thì x*n = .
Ví dụ 3: (Thi Olympic Toán Singapore, 2001).
Cho a1 = 2000 ; a2 = 2001 và an+2 = 2an+1 – an +3 với n = 1, 2, 3,...
Hãy tìm giá trị của a100.
Giải:
Phương trình đặc trưng của phương trình đã cho là : ² = 2 -1 có nghiệm kép là 1 = 2 = = 1 và A+ B + C = 1- 2 + 1 = 0; 2A + B = 2.1 - 2 =0.
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình sai phân đã cho là:
an = 1n.(C1 + n.C2) + hay an = C1 + n.C2 + n(n-1).1,5. (*)
Với n = 1 thì a1 = C1 + C2 = 2000. (1)
Với n = 2 thì a2 = C1 + 2.C2 + 3 = 2001 (2)
Từ (1) và (2) ta được C1 = 2002 và C2= -2. (3)
Thay (3) vào (*) ta được 
an = 1,5.n(n-1) - 2n + 2002 = 1,5.n2 – 3,5.n + 2002 (**)
Thay n = 100 vào (**) ta được a100 = 16652.