Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh 
Bộ môn Toán Ứng dụng 
------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải tích 1 
Chương 3: Tích phân (tt) 
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) 
 dangvvinh@hcmut.edu.vn 
Nội dung 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2 – Tích phân xác định. 
3 – Tích phân suy rộng. 
4 – Ứng dụng của tích phân. 
Tài liệu: 
) Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по мат. анализу, Том 2, Москва, 2003. 
) James Stewart. Calculus. 6th edition, USA, 2008 
I. Tích phân xác định 
Bài toán 
Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: 
 , trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b. ( )y f x
Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S1, S2, , Sn.
Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, , Sn bằng các hình chữ nhật
Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần. 
Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần. 
n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác. 
Trên mỗi miền S1, S2, , Sn lấy tùy ý một điểm 
Ta có 1 2 ... nS S S S   
* * *
1 1 0 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n nS f x x x f x x x f x x x          
*
1
( )
n
i i
i
S f x x

 
max( ) 0
1
lim ( ) ( )
i
bn
i i
x
i a
S f x x f x dx
 

 
   
 
 
Nếu giới hạn tồn tại không phụ 
*
0
1
lim ( )
i
n
i i
x
i
I f x x
 

 
  
 

thuộc cách chia S và cách lấy điểm , thì gọi là 
*
ix I
tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và 
Ví dụ 
Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong: 
 , trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1. 2y x
Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái 
Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải 
8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 
10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 
30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 
50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải) 
Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn 
1. -
b
a
dx b a
Tính chất 
2. ( ) ( ) ( ) ; 
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b     
 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx       
    0 05. , ( ) 0 , ( ) 0 & x a b f x x a b f x     
4. Nếu , thì ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx   , ( ) ( )x a b f x g x  
( ) 0
b
a
f x dx 
    0 0 06. , ( ) ( ) , ( ) ( ) & x a b f x g x x a b f x g x     
Tính chất 
7. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì | f | khả tích trên [a,b]: 
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx 
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx 
8. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì 
( ) ( ) ; ( ) ( )
x b
a x
F x f t dt G x f t dt  
là những hàm liên tục trên đoạn này. 
 9. ( ) ( ) 0 leû 
a
a
f x f x dx


Tính chất 
 
0
10. ( ) ( ) 2 ( ) chaün 
a a
a
f x f x dx f x dx

 
 
0
11. ( ) ( ) ( ) tuaàn hoaøn chu kyø T 
a T a
a
f x f x dx f x dx

 
Ví dụ Tính 
2008
0
sin(2008 sin )I x x dx

 
Hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ và hàm lẻ: 2008T 
1004
1004
sin(2008 sin )
tuaàn hoaøn T 
I x x dx


  0
leû

( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  
Công thức Newton - Leibnitz 
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x) 
'
( ) ( )
x
a
f t dt f x
 
 
 

Công thức Đạo hàm theo cận trên 
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x) 
'( )
'( ) ( ) ( )
x
a
f t dt f x x


 
  
 

Hai phương pháp tính tích phân xác định 
Đổi biến 
Nếu f(x) liên tục trên (a,b), xác định và liên tục'( ), ( ) t t 
trong khoảng , ngoài ra  1 2,t t  1 2( , ) ( )t t t a t b   
2
1
'( ) ( ( )) ( )
tb
a t
f x dx f t t dt   Khi đó: 
1 2( ) , ( )t a t b  trong đó 
Hai phương pháp tính tích phân xác định 
Từng phần 
b b
b
a
a a
udv uv vdu  
Nếu u(x), v(x) cùng với các đạo hàm liên tục trên [a,b], 
Chứng minh. 
Ví dụ Tích phân nào lớn hơn 
/ 2 / 2
3 7
0 0
sin , sinI xdx J xdx
 
  
  7 30, / 2 sin sinx x x  
/ 2 / 2
7 3
0 0
sin sinxdx xdx
 
  
Ví dụ Chứng minh 
1 19
2
0
1 1
2020 2 1
x dx
x
 



19 19
19
2
(0,1) :
2 1
x x
x x
x
   

tích phân hai vế ta có biểu
thức cần chứng minh 
Ví dụ Tính giới hạn của dãy 
5 5 5
6
1 2
n
n
S
n
 


Xét hàm trên đoạn [0,1]. 
5( )f x x
Chia đoạn [0,1] ra thành n phần bằng nhau, mỗi 
phần có độ dài 1/n. 
Trên mỗi đoạn con chọn điểm 
1
,
k k
n n
 
  
k
n
lim n
n
S

1
1
lim
n
n
k
k
f
n n 
 
  
 

5 5 5
5
1 1 2
lim
n
n
n n
  
  
 

1
0
( )f x dx
16
0
1
lim
6 6
n
n
x
S

 
Ví dụ Tính 
1 1 1
lim
1 2x n n n n
 
   
   

Xét hàm trên đoạn [0,1]. ( ) 1/(1 )f x x 
Chia [0,1] ra thành n phần bằng nhau, có độ dài 1/n. 
Trên mỗi đoạn con chọn điểm 
1
,
k k
n n
 
  
k
n
1
1
lim
n
n
k
k
f
n n 
 
  
 

1 1 1 1
lim
1 1/ 1 2 / 1 /n n n n n n
 
   
   

1
0
( )f x dx
1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1/ 1 2 / 1 /n n n n n n n n n
 
       
      
 
1
0
ln 2
1
dx
x
 

Ví dụ Tính 
2
0
0
cos
lim
x
x
t dt
I
x


Nhận xét 02
0
cos 0
x
xt dt 
Tích phân trên có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital 
0
0
 
'
2
0
'0
cos
lim
x
x
t dt
I
x
 
 
 
 2
0
cos
lim cos0 1.
1x
x

  
Ví dụ Tính 
sin
0
tan
0
0
tan
lim
sin
x
x
x
tdt
I
tdt




Nhận xét 
sin tan
0 0
0 0
tan 0, sin 0
x x
x xtdt tdt
    
Tích phân trên có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital 
0
0
'sin
0
'0 tan
0
tan
lim
sin
x
x x
tdt
I
tdt

 
 
 
 
 
 


20
tan(sin ) cos
lim
sin(tan ) (1/ cos )x
x x
x x



1.
Ví dụ Tính 
2
0
2
(arctan )
lim
1
x
x
t dt
I
x



Nhận xét 2
0
(arctan )
x
xt dt 
Tích phân trên có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital 


 
'
2
0
'0 2
(arctan )
lim
1
x
x
t dt
I
x

 
 
 

 2 21 arctan
lim
x
x x
x
 

2
4


Tính các tích phân sau 
37
3 2
0
1) 
1
x
dx
x


4
2
7
2) 
9
dx
x


ln3
0
3) 
1x
dx
e


1
cos(ln )
4) 
e x dx
x

1
1
5) 1xe dx


sin1
141
20
3
2ln
4 7
2 1
ln
3( 2 1)


1
2e
e
 
Tính các tích phân sau 
1
15 8
0
6) 1 3x x dx
 
/ 4
3
0
cos2
7) 
sin cos 2
x
dx
x x


 
/ 6
2
0
cos
8) 
6 5sin sin
x
dx
x x


 
/ 2
0
cos
9) 
7 cos2
x
dx
x



6/ 2
6 6
0
sin
10) 
sin cos
x
dx
x x



29
270
2 3
2 2 3
-1
18


10
ln
9
2
12

4

/ 4
6
0
11) tan xdx


1
2
0
13) 
2 1
dx
x x

 
1/ 3
2
0
14) cosh 3xdx
3
0
15) arcsin
1
x
dx
x


/ 4
3
0
12) 
cos
dx
x


2 5
ln
1 2


1 1
sinh 2
12 6

4
3
3


13
15 4


2 2 2
ln
2 2


 
/ 2
4 4
0
16) cos2 sin cosx x x dx


 
2
1/
1/ 2
18) 1 1/ x xx x e dx 
1
0
19) arcsin xdx
1
20) 
1 ln
e dx
x x


1
2
0
ln(1 )
17) 
(1 )
x dx
x



5/ 23
2
e
4

2 2 1
ln 2
8

0
1 1 2
2) 1 1 1
n
n n n n
 
      
 

2 2 2
1 2 2 1
3) 
n
n n n

  
/n
1
2
5) 
1/
k n
k n k


1 2 ( 1)
1) sin sin sin
n
n n n n
   
   
 

2 2 2 1
3

6

1
ln 2
2

Tính giới hạn của các dãy sau 
2 2 2 2 2
1 1 1
4) 
4 1 4 2 4n n n n
  
  

2
32 4
3) 
1
x
x
d dt
dx t
 
 
 
2
2
0
1) 1
xd
t dt
dx
 
 
 
cos
3
sin
4) cos
x
x
d
t dt
dx

 
 
 
Tính các đạo hàm sau 
21
2) t
x
d
e dt
dx
 
 
 