Bộ đề kiểm tra giữa kỳ môn Toán cao cấp C1 - Năm học 2011-2012 (Có đáp án)

y mỗi tuần với giá p(x). 
Số máy bán ra giảm so với trước là 1000 – x (máy). 
Tăng $10/máy thì số lượng bán giảm 80 máy mỗi tuần. Theo đó, mức giảm 1000– x 
(máy) tương ứng với mức tăng giá là 
 
 
10 1000
0.125 1000
80
x
x

  (dollar/máy) 
Suy ra hàm giá p(x) = 400 + 0.125 (1000 – x) = 525 – 0.125 x (dollar/máy) 
Hàm doanh thu R(x) = x p(x) = 525x – 0.125x2 (dollar) 
ĐỀ 5 
Câu 1: (1 điểm) Tập xác định: 
[0, )D  
 2
4 4
lim ( ) lim 2 8
x x
f x x x
  
   
4 4
lim ( ) lim (4)
x x
f x f 
  
  
Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x = 4. 
Câu 2: 
a. (1 điểm)  20
cos cos
lim
x
x x
x
 
 


 
(Dạng 
0
0
) 
Áp dụng quy tắc L’Hospital: 
20 0
cos cos sin sin
lim lim
2x x
x x x x
x x
     
 
  

(Dạng 
0
0
) 
Áp dụng quy tắc L’Hospital lần nữa: 
2 2 2 2
0 0
sin sin cos cos
lim lim
2 2 2x x
x x x x
x
         
 
    
 
Vậy, 
2 2
20
cos cos
lim
2x
x x
x
   

 
 
b. (2 điểm)
1
lim
2
x
x
x
x
 
 
  
(Dạng 1 ) 
1 1ln lim ln2 2lim
x
x
x x
xx x
x
e e

              

 
Tính 
1
lim ln
2x
x
x
x
 
   
(Dạng 0 ) 
1
ln
2lim
1x
x
x
x



(Dạng 
0
0
) 
22
2
2 ( 2) ( 1)
.
3 31 ( 2)
lim lim lim 3
1 1 2( 1)( 2)
1 1
x x x
x x x
xx x
x x
x x x
  
   
 
   
        
  
Vậy, 
31lim
2
x
x
x
e
x
 
 
 
Câu 3: (2 điểm) sin cosy x x  , 
 4
cos sin , sin cos , cos sin , sin cosy x x y x x y x x y x x            
         40 1, 0 1, 0 1, 0 1, 1y y y y y          
Vậy,  
         
 
4
2 3 4 4
0 0 0 0
sin cos 0
1! 2! 3! 4!
y y y y
x x y x x x x o x
  
       
  2 3 4 4
1 1 1
1
2 6 24
x x x x o x      
Câu 4 (2 điểm) 
3 3
3 3
ln ln
lim
t
t
x x
dx dx
x x


 
Đặt 
3
2
ln
1
2
dx
u x du
x
dx
dv
vx
x

   
 
    
3 2 3 2 2 2 2
3 33 3
ln ln 1 ln ln 3 1 1 1 ln ln 3 1 1
.
2 2 2 6 2 2 2 6 4 12
t tt t
x x dx t t
dx
x x x t x t t
            
2 2
1
ln 1 2ln 1 ln 3 1 1 ln 3 1
lim
2 2 3 4 2 3 4t
x t
dx
x t


   
         
   

(vì áp dụng quy tắc L’Hospital ta có 
2 2
2
2ln 1 1
lim lim lim 0
2 4 2t t t
t t
t t t  

   ) 
Câu 5: (2 điểm) Doanh thu ( ) ( )R x xp x 
Lợi nhuận   2 3( ) ( ) ( ) 4320 7 16000 500 1.6 0.004P x R x C x x x x x        
3 20.004 5.4 4320 16500x x x     (dollar) 
  20.012 10.8 4320P x x x     ,  
300
0
1200
x
P x
x

     
Vì 0x  , ta có bảng biến thiên: 
x 0 300  
P’ + 0 - 
P 
 658500 
-16500  
Vậy với mức sản xuất là 300 đơn vị sản phẩm ta sẽ thu được lợi nhuận lớn nhất. 
ĐỀ 6 
Câu 1: (1 điểm) 
tan
1
x
y
x
 
  
  
tan
1 1
ln ln ln tan ln
x
y y x
x x
 
    
  
Đạo hàm 2 vế theo biến x: 
tan
2 2 2
ln1 1 1 1 tan
ln tan
cos cos
x
xy x
x x y
y x x x x x x
     
      
    
Câu 2: 
a. (1 điểm) 
0
ln
lim
1 2ln sinx
x
x  
(Dạng 


) 
Áp dụng quy tắc L’Hospital: 
0 0
1
sin
lim lim
cos 2 cos
2
sin
x x
xx
x x x
x
 

(Dạng 
0
0
) 
Áp dụng quy tắc L’Hospital lần nữa: 
0 0
sin cos 1
lim lim
2 cos 2cos 2 sin 2x x
x x
x x x x x 
 

Vậy, 
0
ln 1
lim
1 2ln sin 2x
x
x

 
b. (2 điểm) 
2 1lim cos 1
x
x
x
  
  
   
(Dạng 0 ) 
2
1
cos 1
lim
1x
x
x



(Dạng 
0
0
) 
2
3
1 1 1
sin sin
1
lim lim
2 1 2
2
x x
x x x
x x
 
   

 
(vì 
1
sin
lim 1
1x
x
x

 ) 
Câu 3: (2 điểm) 
2xy e
2 2 2 2 2 2 2 22 3 32 , 2 4 , 4 8 8 12 8x x x x x x x xy xe y e x e y xe xe x e xe x e          
       0 1, 0 0, 0 2, 0 0y y y y       
Vậy,  
     
   
2 2 3 3 2 3
0 0 0
0 1
1! 2! 3!
x
y y y
e y x x x o x x o x
  
        
Câu 4 (2 điểm): 
0 0
sin 2 sin 2
lim
cos 1 cos 1
t
t
x x
dx dx
x x

 

  
Đặt cos 1 sin ,u x du xdx    
0 2, cos 1x u x t u t       
 
cos 1 cos 1
cos 1
2
0 0 2 2
sin 2 sin cos 1 1
2 2 2 1 2 ln
cos 1 cos 1
t t t t
tx x x u
dx dx du du u u
x x u u
 
  
        
   
   
   2 ln cos 1 cos 1 ln 2 2t t      
Vậy   
0
sin 2
2 lim ln cos 1 cos 1 ln 2 2
cos 1 t
x
dx t t
x

 
       

Câu 5: (2 điểm) 
Giả sử sau khi giảm giá, trung bình rạp bán được x vé mỗi tối trong tuần với giá 
p(x). Số vé bán thêm so với trước là x – 120 vé. 
Giảm 20 ngàn đồng/vé thì bán được thêm 25 vé mỗi tối. Theo đó, mức tăng x – 100 
vé sẽ tương ứng với mức giảm giá là 
 
 
10 100
0.4 100
25
x
x

  (ngàn đồng/vé) 
Suy ra hàm giá p(x) = 120 – 0.4 (x – 100) = 160 – 0.4 x (ngàn đồng/vé) 
Doanh thu R(x) = x p(x) = 160x – 0.4x2 (ngàn đồng) 
    160 0.8 , 0 200R x x R x x      
 Vì 0x  , ta có bảng biến thiên: 
x 0 200  
R’ + 0 - 
R 16000 
0  
 Vậy rạp có doanh thu lớn nhất với mức giá p(200) = 80 (ngàn đồng/vé) 
ĐỀ 7 
Câu 1: (1 điểm) 
2 , 0
( )
, 0
x x x
f x
A x
  
 
 
     
2
0 0 0
0
lim lim lim 1
x x x
f x f x x A A
x
x x x     
       
     
    
f có đạo hàm tại x =0 khi và chỉ khi
   
0
0
lim
x
f x f
x 
 

 tồn tại 0A  (khi đó 
 0 1f    ).
Câu 2: 
a. (1 điểm) 
20
2sin
lim
x x
x
e e x
x


 
(Dạng 
0
0
) 
Áp dụng quy tắc L’Hospital: 
20 0
2sin 2cos
lim lim
2
x x x x
x x
e e x e e x
x x
 
 
   

(Dạng 
0
0
) 
Áp dụng quy tắc L’Hospital lần nữa: 
0 0
2cos 2sin 0
lim lim 0
2 2 2
x x x x
x x
e e x e e x
x
 
 
   
  
Vậy,
20
2sin
lim 0
x x
x
e e x
x


 

b. (2 điểm) lim sin
x
x
x


 (Dạng 0 ) 
sin
lim
1x
x
x



(Dạng 
0
0
) 
2
2
cos
lim lim cos
1x x
x x
x
x
 

 
 

 
   
  
Câu 3: (2 điểm) 
2
1
1
y
x

 
 
   
 
 
   
2
2 2 2 2 2
2 4 3 3
2 2 2 2
2 1 2 .2 1 .2 2 1 82 6 2
,
1 1 1 1
x x x x x xx x
y y
x x x x
       
    
   
     0 1, 0 0, 0 2y y y      
Vậy,  
   
   2 2 2 22
0 01
0 1
1! 2!1
y y
y x x o x x o x
x
 
      

Câu 4 (2 điểm):    
1 1
2 2ln 3 2 lim ln 3 2
t
t
x x dx x x dx
 


   
Đặt 
 2 2
6 2
ln 3 2
3 2
x
u x x du dx
x x
dv dx v x
    
  
  
    
 
 
1 1 11
2 2 2
2
6 2 6 2
ln 3 2 ln 3 2 ln 3 2
3 2 3 2tt t t
x x x
x x dx x x x dx t t t dx
x x x
    
       
    
   
11
2 22 2ln 3 2 2 ln 3 2 2 ln 3 2
3 2 3t t
t t t dx t t t x x
x

   
             
   

 2
2
ln 3 2 2 2 ln 3 2
3
t t t t t       
Vậy,    
1
2 2 2ln 3 2 lim ln 3 2 2 2 ln 3 2
3t
x x dx t t t t t



 
          
 
 
Câu 5: (2 điểm) Thế p = 8 vào hàm cầu p(x): 
312
8 2 5 39 17
2 5
x x
x
     

Vậy giá bán P = 8 triệu đồng/đơn vị sản phẩm tương ứng với mức bán X = 17 đơn vị sản 
phẩm. Khi đó, thặng dư của người tiêu dùng là: 
 
1717
0 0 0
312 312
( ) 8 ln 2 5 8
2 5 2
X
p x P dx dx x x
x
   
          
  
 156ln39 136 156ln5 184.44    (triệu đồng) 
ĐỀ 8 
Câu 1: (1 điểm) Đặt 2( ) 2 5xf x e x   
Vì f liên tục trên R và  2(0). (2) 4. 3 0f f e    
 0,2c  sao cho   0f c   x = c là 1 nghiệm dương của phương trình 
22 5xe x  
Mặt khác, do ( ) 4 0 0xf x e x x      nên f đồng biến trên khoảng  0, do đó đồ 
thị hàm số f chỉ cắt Ox tại 1 điểm duy nhất là x = c.
Câu 2: (3 điểm) 
a. (1 điểm) 
2
cot
lim
sin 2x
x
x 
(Dạng 
0
0
) 
Áp dụng quy tắc L’Hospital: 
2
2
2
2 2 2
1
cot 1 1 1sinlim lim lim
sin 2 2cos2 2cos2 sin 2
2.cos sin
2
x x x
x x
x x x x     

 
    
b.  
 tan /2
1
lim 2
x
x
x



(Dạng 1 ) 
       
tan /2
1
lim tan /2 ln 2ln 2
1
lim
x
x
x xx
x
e e
 


       

  
Tính    
1
lim tan / 2 ln 2
x
x x

   
(Dạng 0 ) 
 
1
ln 2
lim
cot
2
x
x
x


(Dạng 
0
0
) 
1 1
2 2
1 1
1 22 2lim lim
1 1
. .
2 2 2
sin sin
2 2
x x
x x
x x
   
 
  
 
    
  
Vậy,  
 
2
tan /2
1
lim 2
x
x
x e
 

  
Câu 3: (2 điểm)  cos siny x 
2sin(sin )cos , cos(sin )cos sin(sin )siny x x y x x x x      
     0 1, 0 0, 0 1y y y      
Vậy,    
   
   2 2 2 2
0 0 1
cos sin 0 1
1! 2! 2
y y
x y x x o x x o x
 
       
Câu 4 (2 điểm): 
1
2 2
1
0 0
3 3
lim
3 2 3 2
t
t
x x
dx dx
x x x x
 

     
  2 0
0 0
3 2 1
2ln 1 ln 3 2ln 1 ln 3 ln3
3 2 1 3
t t
tx
dx dx x x t t
x x x x
  
           
    
  
Vậy,  
1
2
1
0
3
lim 2ln 1 ln 3 ln3
3 2 t
x
dx t t
x x 

      
  
Câu 5: (2 điểm) 
Giả sử sau khi giảm giá, trung bình công ty bán được x máy mỗi tuần với giá p(x). 
Số máy bán thêm so với trước là x – 1000 máy. 
Giảm 10 dollar/máy thì bán được thêm 50 máy mỗi tuần nên mức tăng x – 1000 
máy sẽ tương ứng với mức giảm giá là 
 
 
10 1000
0.2 1000
50
x
x

  (dollar/máy) 
Suy ra hàm giá p(x) = 460 – 0.2 (x – 1000) = 660 – 0.2 x (dollar/máy) 
Doanh thu R(x) = x p(x) = 660x – 0.2x2 (dollar) 
    660 0.4 , 0 1650R x x R x x      
 Vì 0x  , ta có bảng biến thiên: 
x 0 1650  
R’ + 0 - 
R 
 544500 
0  
 Vậy công ty đạt doanh thu lớn nhất khi bán với mức giá p(1650) = 330 (dollar/máy)