Vận dụng cao nhị thức Newton

 2 C .
2
  
Ví dụ 27: Với n là số tự nhiên lớn hơn 2 , đặt n 3 3 4 3
3 4 5 n
1 1 1 1
S ...
C C C C
     . Tính nlim S 
Lời giải 
Ta có 
 
    
 
  3
n
n 3 ! n 2 n 1 n n n 1 n 2n!
C
3! n 3 ! n 3 ! 6 6
    
  
     3n
1 6
C n n 1 n 2
 
 
Vậy ta có 
  n
6 6 6 6
S ...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2
    
 
Nhận xét 2 1 1
1.2.3 1.2 2.3
  ; 2 1 1
2.3.4 2.3 3.4
  ;; 
       
2 1 1
n 2 n 1 n n 2 n 1 n 1 n
 
    
n
1 1 1 1 1 1 1 1
S 3 ...
1.2 2.3 2.3 3.4 n 2 n 1 n 1 n
 
          
   
 1 13
2 n
 
  
 
n 2
3
2n
 
  
 
3n 6
2n

 
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Chinh phục olympic toán | 43 
Vậy n
6
3
3n 6 3nlim S lim lim
2n 2 2
 
  
    
   
 
. 
Kết hợp giả thiết có 
     
n 2 1002 n 3 2 n 3
n 1 n 2 n 1 n 2
    

   
n 98  . 
Ví dụ 28: Tình tổng        
2 2 2 21 2 2017 2018
2018 2018 2018 2018
1 2 2017 2018
S C C ... C C
2018 2017 2 1
     
Lời giải 
Tính tổng        
2 2 2 21 2 2017 2018
2018 2018 2018 2018
1 2 2017 2018
S C C ... C C
2018 2017 2 1
     
Ta có k k 1n n
n k 1
C .C
k
  với k  , n , n k nên: 
1 0 2 1 2018 2017
2018 2018 2018 2018 2018 2018
1 2018 2 2017 2018 1
S C . C C . C ... C . C
2018 1 2017 2 1 2018
    
1 0 2 1 2017 2016 2018 2017
2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018C .C C .C ... C .C C .C     . 
Mà k 2018 k2018 2018C C  suy ra 1 2018 2 2017 2017 2 2018 12018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018S C .C C .C ... C .C C .C     . 
Mặt khác ta có      
2018
2018 2018 2018k k
2018
k 0
1 x C x 1 x . 1 x

     
2018 2018 2018
k k l l k l k l
2018 2018 2018 2018
k 0 l 0 k ,l 0
C x . C x C .C .x 
  
     1 . 
Suy ra hệ số của số hạng chứa 2019x trong khai triển của  1 là 
1 2018 2 2017 2017 2 2018 1
2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018S C .C C .C ... C .C C .C     . 
Lại do      2018 2018 40361 x . 1 x 1 x    ;  
4036
4036 n n
4036
n 0
1 x C x

   2 
Suy ra hệ số của số hạng chứa 2019x trong khai triển của  2 là 20194036C . 
Vậy 1 2018 2 2017 2017 2 2018 1 20192018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 4036S C .C C .C ... C .C C .C C      
   
2018
4036
4036! 4036 2018 4036! 2018
C
2019!. 4036 2019 ! 2019 2018!. 4036 2018 ! 2019

  
 
. 
Ví dụ 29: Cho số nguyên dương n , tính tổng  
  
n n1 2 3
nn n n
1 nCC 2C 3C
S ...
2.3 3.4 4.5 n 1 n 2

    
 
. 
Lời giải 
Với k , n , 0 k n  , n 0 ta có: 
   
 
    
k k 1
n n 1
n 1 !1 n! 1
C C
k 1 k 1 k! n k ! n 1 k 1 ! n k ! n 1



  
      
. 
Áp dụng ta cî: 
NHỊ THỨC NEWTON VẬN DỤNG CAO 
44 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 
        
k k k k k 1 k 2
n n n n n 1 n 2k.C C C C C C21 2 2.
k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 2 n 1 n 1 n 2
 
        
          
. 
Suy ra  
 
  
n3 4 n 2n2 3 4 n 1
n 2 n 2 n 2n 1 n 1 n 1 n 1
2 C C ... 1 CC C C ... 1 C
S
n 1 n 1 n 2


  
   
             
  
. 
Ta có: 
     n n2 n 1 0 1 2 n 1 0 1n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1C ... 1 C C C C ... 1 C +C C                    
   
n 1
1 1 1 n 1 n

        . 
  
n3 4 n 2
n 2 n 2 n 2C C ... 1 C

       
    n0 1 2 3 4 n 2 0 1 2n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2C C C C C ... 1 C C C C                   
   
   2n 1 n 1 n 2 n n
1 1 1 n 2
2 2
    
        
 
. 
Vậy  
     
21 2 n n n
S n .
n 1 n 1 n 2 2 n 1 n 2
 
   
    
. 
Ví dụ 30: Tình tổng      
2 2 20 1 n
n n nP C C C    theo n . 
Lời giải 
Ta có      n n 2n1 x 1 x 1 x     1 . 
   
n n
n n k k l l
n n
k 0 l 0
1 x 1 x C x . C x
 
   
      
   
  và  
2n
2n i i
2n
i 0
1 x C x

  . 
Xét hệ số của nx trong khai triển vế trái của  1 là  
n n
2k l k n k k
n n n n n
k l n k 0 k 0
C .C C .C C
   
    . 
Hệ số của nx trong khai triển vế phải của  1 là n2nC . 
Từ đî suy ra        
n
2 2 2 2k 0 1 n n
n n n n 2n
k 0
C C C C C

     
Ví dụ 31: Cho n và k nguyên dương thỏa mãn k n . Chứng minh rằng 
k k 1 k
n 1 n 1 n
n 1 1 1 1
n 2 C C C 
 
  
  
Lời giải 
Biến đổi giả thiết ta có 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
k k 1
n 1 n 1
k
n
k! n 1 k ! k 1 ! n k !n 1 1 1 n 1
n 2 C C n 2 n 1 ! n 1 !
k ! n k ! k ! n k ! k ! n k !n 1 n 1 1
n 1 k k 1 n 2
n 2 n 1 ! n 2 n 1 ! n! C

 
      
            
   
        
   
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Chinh phục olympic toán | 45 
Tổng quát. 
 1 2 n 1 0 1 nn 1 n 1 n 1 n n n
1 1 1 n 2 1 1 1
... ...
C C C 2 n 1 C C C  
 
       
  
Ví dụ 32: Chứng minh rằng 3 6 nn n
1 n
1 C C ... 2 2 cos
3 3
 
     
 
Lời giải 
Ta có  n 0 1 2 nn n n n2 C C C ... C 1     . Xét số phức 
2 2
cos i sin
3 3
 
   ta có 
  
3
3 22 2cos i sin 1 1 1 0
3 3
  
         
 
Mặt khác 
    
n 0 1 2 2 n n 0 1 2 2 3 4 2 5
n n n n n n n n n n1 C C C ... C C C C C C C 2            
    
n2 0 2 1 4 2 2n n 0 2 1 2 3 2 4
n n n n n n n n n1 C C C ... C C C C C C ... 3            
Cộng 2 vế của      1 , 2 , 3 ta có 
        
 
nnn 2 0 3 6 2 1 2 3
n n n n n n
0 3 6
n n n
2 1 1 3 C C C ... 1 C C C ...
3 C C C ...
            
   
Mà 21 cos i sin ;1 cos i sin
3 3 3 3
   
      nên ta cî điều phải chứng minh! 
Ví dụ 33: Với số tự nhiên n 1 . Chứng minh rằng 
 0 1 2 n n nn n n n
n 2
C cos C cos 2 C cos 3 ... C cos n 1 2 cos cos
2 2
 
        
Lời giải 
Xét khai triển    
n
n n0 1 2 2 n n k 1 k
n n n n n
k 0
x 1 C xC x C ... x C x x 1 x C

         
Thay x cos i sin    và sử dụng công thức Moive ta có 
    
   
n 0 1 n
n n n
0 1 n
n n n
cos i sin cos i sin C cos C cos 2 ... C cos n 1
i C sin C sin 2 ...C sin n 1 1
             
      
Mặt khác  
n n
n 2 n n1 cos i sin 2 cos 2i sin cos 2 cos cos i sin
2 2 2 2 2 2
        
         
   
Theo công thức Moive ta có 
   
n
n n
cos i sin cos i sin cos i sin cos i sin
2 2 2 2
n 2 n 2
cos i sin
2 2
      
           
   
 
   
Do đî    n n n n n
n 2 n 2
1 cos i sin 2 cos cos i.2 cos sin 2
2 2 2 2
   
      
Từ    1 , 2 ta cî điều phải chứng minh! 
NHỊ THỨC NEWTON VẬN DỤNG CAO 
46 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 
Ví dụ 34: Với số tự nhiên n 1 . Tính tổng sau 
     1 2 3 n n 2 n 2n n n nA C cos x sin x 0C C 3sin x cos x sin x cos x ... C .n sin x cos x sin x cos x         
Lời giải 
Xét hàm số    n ny 1 cos x 1 sin x     thì: 
   0 1 2 2 n n 0 1 n nn n n n n n ny C C cos x C cos x ... C cos x C C sin x ... C sin x         
     0 1 2 2 2 n n nn n n n2C C sin x cos x C sin x cos x ... C sin x cos x        
   
 
1 2
n n 2 n 2
n
3
n n ny' C cos x sin x 0.C C 3sin x cos x sin x
... C n sin x cos x sin x c
s x
x
o
os
c
 
     
 
Do đî           n n n 1 n 1A y' 1 cos x 1 sin x n 1 cos x . sin x n 1 sin x cos x           
    n 1 n-1n cos x 1 sin x sin x 1 cos x    
Ví dụ 35: Với số tự nhiên m nguyên dương. Chứng minh rằng 
 
m
0 1 2 m
1991 1991 1991 1991 m
11 1 1 1
C C C ... C
1991 1991 1991 1991 m 1991


    

Lời giải 
Với n 1,2,..., ta đặt    m mn m
m
S n 1 C   trong đî tổng được lấy từ m 0 cho đến hết 
những số hạng khác 0. Ta có  
n
k m 1
m n 1 m
k m
C C 1 S n 

   
Ta có 
    
n-2
k 0
S n 1 S k

  , suy ra      S n 1 S n S n 1     1 
    S 0 S 1 1  , từ đî            S 2 0,S 3 1,S 4 1,S 5 0,S 6 1,S 7 1        
Từ  1 ta có    S m S n nếu  m n mod6 . Do n m m 1n m n m n m 1
n
C C C
n m

    

 nên ta được: 
 
m
0 1 2 m 995
1991 1991 1991 1991 m 996
11 1 1 1
1991. C C C ... C ... C 1
1991 1991 1991 1991 m 996

 
       
  
Suy ra điều phải chứng minh. 
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Chinh phục olympic toán | 47 
LỜI KẾT 
Vậy là ta đã đi tới những trang cuối cùng của sản phẩm lần này, tuy không phải quá hay 
nhưng chắc hẳn đã giòp các bạn nắm vững được kiến thức cơ bản của bài tập nâng cao 
chương này. Do thời gian khïng cho phép nên chưa thể đưa thêm được nhiều bài toán hay 
và khî vào được, nên mình sẽ gửi kèm link một số tài liệu tham khảo dưới đây. Một lần 
nữa cảm ơn những người đã cî đîng gîp cho bài viết này, chúc các bạn có một kì ôn thi 
thành công! 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Chuyên đề tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi – Lê Hoành Phò 
[2] Chuyên đề nhị thức Newton – Vted.vn 
[3] Chuyên đề bồi dường học sinh giỏi tổ hợp và nhị thức Newton 
[4] Tuyển tập các chuyên đề tổ hơp - MathScope 
[5] Tổ hợp và quy nạp – Hà Huy Khoái 
[6] Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh năng khiếu 
[7] Đẳng thức tổ hợp – VMF 
[8] Nhị thức Newton và công thức tổ hợp – Nhiều tác giả