Báo cáo Vật lý - Đề tài số 11: Phân bố chuyển động các phân tử Maxwell - Nguyễn Thị Minh Hương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA KỸ THUẬT ĐỊA CHẤT – DẦU KHÍ
BÁO CÁO VẬT LÝ
ĐỀ TÀI SỐ 11:
PHÂN BỐ CHUYỂN ĐỘNG CÁC PHÂN TỬ MAXWELL
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN THỊ MINH HƯƠNG
LỚP DC1201 – NHÓM 3
Tp.HCM, ngày 8 tháng 1 năm 2013
NỘI DUNG:
Lịch sử hình thành thuyết Maxwell – Boltzmann
Áp suất và động năng
Nhiệt độ và động năng
Định luật phân bố đều năng lượng theo bậc tự do
Phân bố Maxwell
Lịch sử hình thành thuyết Maxwell – Boltzmann:
Năm 1738, Daniel Bernoulli xuất bản Hydrodynamica, đặt nền móng cho Thuyết động học chất khí. Bernoulli thừa nhận lý thuyết vẫn còn được dùng đến ngày nay là chất khí bao gồm rất nhiều các phân tử chuyển động liên tục theo mọi hướng, lực tác động của chúng lên bề mặt tạo nên áp suất, và nhiệt chính là động năng của chuyển động đó. Lý thuyết này đã không được chấp nhận ngay tại thời điểm đó, vì vẫn chưa có Định luật bảo toàn năng lượng, và các nhà khoa học vẫn chưa thể khẳng định sự va chạm giữa các phân tử với thành bình là chuyển động đàn hồi. 
Những người tiên phong khác của Thuyết động học Chất khí là Mikhail Lomonosov (1747), Georges-Louis Le Sage (1818), John Herapath (1816)  and John James Waterston (1843). Năm 1856 August Krönig, chế tạo một mô hình động học chất khí đơn giản, nhưng chỉ được coi là chuyển động tịnh tiến của chất điểm.
Năm 1857, Rudolf Clausius, độc lập với Krönig, phát triển một mô hình tương tự, nhưng phức tạp hơn rất nhiều. Năm 1859, sau khi đọc tài liệu của Clausius, James Clerk Maxwell xây dựng công thức Maxwell về thống kê vận tốc phân tử. Đây chính là lý thuyết thống kê đầu tiên của Vật Lý. Năm 1871, Ludwig Boltzmann tống quát hóa công trình của Maxwell và tạo nên phân bố Maxwell–Boltzmann.
Thực nghiệm cho thấy, nếu ta chứa 1 mol của nhiều chất khí trong bình cùng thể tích, nhiệt độ thì áp suất đo được gần như tương đương. Mật độ của các phân tử khí càng nhỏ thì sự chênh lệch áp suất đo được càng nhỏ. Khi mật độ các phân tử đủ nhỏ, mọi chất khí tuân theo Phương trình trạng thái khí lý tưởng.
PV=nRT
Trong đó: 
p là áp suất
n là số hạt trong khối khí
V là thể tính
T là nhiệt độ Kelvin
R là hằng số khí, R = 8.31. 103 J/kmol.K.
Sử dụng phương trình này, ta có  thể suy ra nhiều tính chất của khí thực một cách đơn giản.
Áp suất và động năng:
∆p=pi,x-pf,x=pi,x--pi,x=2pi,x=2mvx
Theo thuyết động học, áp suất được tạo ra lực các hạt tác động lên thành bình. Xét một khối khí của N hạt, khối lượng m, chứa trong một bình lập phương thể tích V = L3. Khi một phân tử khí va chạm vuông góc với thành bình theo trục x và nảy lại với cùng tốc độ (va chạm đàn hồi), thì động lượng thành bình nhận được là:
∆t=2Lvx
Chất điểm tác động vào một phía xác định của thành bình sau mỗi khoảng thời gian là:
(trong đó L là khoảng cách giữa hai phía của thành bình).
F=∆p∆t=mvx2L
Lực do chất điểm tạo ra:
Tổng lực tác dụng vào thành bình:
F=Nmvx2L
Vì chất điểm chuyển động theo hướng ngẫu nhiên nên nếu ta chia vector vận tốc của mọi chất điểm theo 3 hướng vuông góc, thì vận tốc trung bình trên mọi hướng phải bằng nhau.   
vx2=v23
Công thức lực có thể viết lại thành:
F=Nmv23L
P=FL2=Nmv23V
Lực này tác động lên một diện tích L2. Vì thế áp suất chất khí là: 
Nhiệt độ và động năng:
PV=NkBT
Từ Phương trình khí lý tưởng:
Trong đó KB là hằng số Boltzmann, và T là nhiệt độ tuyệt đối.
P=Nmv23V
Từ công thức: 
PV=Nmv23
Ta có: 
NkBT=Nmv23
Từ đó: 
T=mv23kB
Thì nhiệt độ T có dạng:
12mv2=32kBT
Ta suy ra công thức động năng của một phân từ:
K=12Nmv2
Động năng của hệ gấp N lần động năng của một phân từ 
T=23KNkB
Nhiệt độ trở thành: 
 Động năng trung bình của phân tử tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối
Một tham số hữu dụng dùng để mô tả chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử là "Quãng đường di chuyển trung bình":
λ=12πd2NV
Trong đó, λ là khoảng cách trung bình mà phân tử đi được giữa các va chạm. Nó tỉ lệ nghịch với N/V, số lượng phân tử trên một đơn vị thể tích. N/V càng lớn thì xảy ra càng nhiều va chạm, đồng thời Quãng đường di chuyển trung bình của các phân tử cũng ngắn lại. λ cũng tỉ lệ nghịch với kích thước của phân tử qua đường kính d. Kích thước phân tử càng lớn, quãng đường di chuyển càng ngắn.
Định luật phân bố đều năng lượng theo bậc tự do:
Khái niệm về bậc tự do:
Bậc tự do của một hệ cơ học là số toạ độ độc lập cần thiết để xác định vị trí của hệ đó trong không gian.
Ta sẽ xét bậc tự do của một phân tử gồm các nguyên tử liên kết rắn với nhau (không biến dạng đàn hồi).
- Đối với phân tử một nguyên tử, ta có thể coi phân tử như một chất điểm, chỉ có chuyển động tịnh tiến. Muốn xác định vị trí của nó ta cần ba toạ độ độc lập (x, y, z). Bậc tự do của phân tử một nguyên tử bằng 3.
- Đối với phân tử hai nguyên tử:
 	Ngoài chuyển động tịnh tiến, phân tử loại này còn có thể quay quanh 2 trục của nó. Để xác định vị trí của nó ta cần biết ba toạ độ của khối tâm và ta cần phải biết thêm giá trị của 2 góc quay. Bậc tự do của phân tử hai nguyên tử bằng 5 (3 bậc tự do tịnh tiến, 2 bậc tự do quay).
- Đối với phân tử 3 nguyên tử hoặc nhiều nguyên tử
Để xác định vị trí của phân tử, ngoài ba bậc tự do của chuyển động tịnh tiến, ta còn phải xác định ba góc quay quanh.
Vậy phân tử ba hoặc nhiều nguyên tử có 6 bậc tự do (3 bậc tự do tịnh tiến và 3 bậc tự do quay). Trong trường hợp phân tử dao động thì bậc tự do của nó sẽ lớn hơn 6.
Ta thấy rằng chuyển động của một vật càng phức tạp thì bậc tự do càng lớn. Vậy bậc tự do đặc trưng cho mức độ phức tạp của chuyển động
b. Định luật phân bố đều năng lượng theo bậc tự do
Do tính chất chuyển động hoàn toàn hỗn loạn của các phân tử khí, nên không có một phương hoặc một dạng chuyển động nào ưu tiên hơn. Maxwell đã phát biểu định luật sau: Động năng trung bình của phân tử được phân bố đều cho các bậc tự do của phân tử.
w=32KT
Ở phần trên, khi phân tử chuyển động tịnh tiến, bậc tự do của phần tử là 3, ta tính được động năng tịnh tiến trung bình
12KT
Vậy theo định luật phân bố đều năng lượng, năng lượng ứng với một bậc tự do sẽ là:
i12KT
Vậy, nếu phân tử có i bậc tự do động năng trung bình của nó sẽ là:
c. Nội năng của khí lý tưởng
U0=iRT2
- Đối với 1 kmol khí lý tưởng có N0 phân tử, nội năng U0 của nó sẽ bằng:
U=mμiRT2
- Đối với m kg khí lý tưởng, nội năng U của nó sẽ được tính như sau:
Nội năng của khí lý tưởng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ
=3RTμ=3kTm
=8RTπμ=8kTπm
vmax=2RTμ
Vận tốc có xác suất cực đại vmax vận tốc trung bình , vận tốc căn quân phương 
Phân bố Maxwell:
Xác suất tìm thấy hạt có vận tốc từ v đến v+dv, xét theo chuyển động 3 chiều: 
fvdv=4πv2m2πkT32e-mv22kTdv
- Cho dù các hạt có chuyển động theo những quy luật tuyệt đối chính xác, những quy luật rất rõ ràng chăng nữa, rồi chúng cũng đi đến sự hỗn loạn.
- Entropy của một hệ cô lập luôn tăng. Entropy, theo ý nghĩa của vật lý thống kê, đại diện cho mức độ hỗn loạn của hệ. Từ một khối trật tự ban đầu, sẽ trở thành hỗn loạn, và không bao giờ có thể quay trở lại trạng thái ổn định. Nói theo ngôn ngữ vật lý thống kê, xác xuất quay về trạng thái trật tự như ban đầu vô cùng nhỏ.
 Trong cơ học, hệ sẽ quay về đúng trạng thái đầu, còn trong hệ nhiệt động thì sao? Chúng sẽ cố quay về nhưng không cách gì đạt được mục đích, vì chỉ cần có một hạt chuyển động sai khác một tí, cả hệ sẽ bị ảnh hưởng theo.
 Hệ hạt luôn luôn hướng về sự hỗn loạn, nhưng là sự hỗn loạn “có quy luật”. Đó chính là mấu chốt của phân bố Maxwell. Khi hệ nằm trong trật tự, khi ấy chưa thể nói đến nhiệt độ.
Tuy nhiên giai đoạn trật tự vốn rất ngắn, và chúng mau chóng hỗn loạn và tạo ra phân bố Maxwell. Nói cách khác, khi hệ đã va chạm nhiều lần và đi đến sự ổn định, chúng sẽ tạo ra phân bố Maxwell và ta có quyền nói đến nhiệt độ. Một hệ có nhiệt độ “ổn định” ta mới được phép nói về trạng thái vĩ mô của hệ đó (ví dụ áp suất).
Hai hệ nhiệt động khi sáp lại gần nhau sẽ trao đổi nhiệt. Ban đầu khi riêng biệt, chúng có phân bố khác nhau, ở hai nhiệt độ khác nhau. Khi trao đổi nhiệt, cả hai phân bố đó đều bị phá vỡ, lại lao vào hỗn loạn phức tạp hơn và dần lắng xuống thành hai phân bố mới, khác nhau cho hai hệ khác nhau, nhưng có chung nhiệt độ.
Ta có thể thấy rằng các hạt càng to, số hạt càng nhiều, nhiệt độ càng lớn thì phân bố càng mau chóng thiết lập. Nguyên do là khi đó chúng rất dễ va phải nhau và mau chóng truyền cho nhau “bản sắc” của mình.