Bài giảng Xử lý tín hiệu số 2 - Chương II: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền z

tính chất biến đổi z 
Biểu diễn hệ thống trong miền z. 
Liên hệ giữa biến đổi z và phường trình sai phân . 
Sự ổn định của hệ thống trong miền z. 
CHƯƠNG III: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 
3.1. BIẾN ĐỔI FOURIER 
3.1.1. Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Tranform : FT) 
Biến đổi Fourier của một tín hiệu x(n ) được định nghĩa như sau : 
Ký hiệu toán tử : 
Ta thấy rằng 
: tuần hoàn với chu kỳ 2   khi thể hiện 
 ta chỉ cần thể hiện với dải từ 0 đến 2  hoặc từ -  đến  rồi lấy tuần hoàn . 
Các cách thể hiện 
Biểu diễn theo phần thực phần ảo Re, Im 
Biểu diễn theo Modul và Argument 
: Phổ của tín hiệu x(n ). 
: Phổ của biên độ t ín hiệu 
: Phổ pha c ủa tín hiệu . 
Biểu diễn theo độ lớn và pha 
Độ lớn có thể lấy giá trị âm và dương . 
: Độ lớn của tín hiệu . 
: Pha c ủa tín hiệu . 
M ột số khái niệm 
M ột số quan hệ 
Ví dụ : Cho phổ tín hiệu 
Hãy xác định : 
, 
. 
-	 
Gi ải : Ta có 
Ví dụ biến đổi Fourier 
Hãy tìm biến đổi Fourier các dãy sau đây: 
V ì : 
do: 
Cho nên chuỗi 
không hội tụ do vậy không tồn tại biến đổi Fourier. 
3.1.2 Điều kiện tồn tại của FT 
Điều kiện để biến đổi Fourier tồn tại là chuỗi : 
phải hội tụ . 
3.1.3. Biến đổi Fourier ngược (IFT: Inverse Fourier Transform) 
Biến đổi Fourier ngược của phổ tín hiệu 
được định nghĩa như sau : 
Ký hiệu : 
Ở đây biến đổi Fourier ngược giúp ta xác định được x(n ) từ 
. 
Ví dụ biến đổi Fuorier ngược 
Cho ph ổ t/h 
Hãy xác định x(n ) 
Gi ải : Theo định nghĩa biến đổi IFT ta tính tích phân : 
Dạng 
 nên biến đổi tiếp thành dạng : 
Ví dụ biến đổi Fuorier ngược ( tt ) 
Với 
Thay vào : 
n = 0: 
n = 1: 
n = 2: 
Ở đây ta rút ra 3 nhận xét : 
Tín hiệu x(n ) đối xứng qua trục tung ; pha cũng 
 đối xứng . 
Pha bằng không nên tâm đối xứng nằm tại n = 0 
 ( gốc tọa độ ). 
x(n ): đối với tín hiệu thực có tính đối xứng vì 
 phổ đối xứng ( Đối xứng Helmitle ). 
- 
3.4. QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER FT VÀ BIẾN ĐỔI Z 
Ta thấy , theo định nghĩa của biến đổi z : 
Mặt khác z là một biến số phức và được biểu diễn trong mặt phẳng phức theo toạ độ cực như sau : 
Nếu chúng ta đánh giá biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị (r=1), ta có : 
Như vậy , ta rút ra một số nhận xét : 
- Biến đổi Fourier chính là biến đổi z được thực hiện trên vòng tròn đơn vị . 
- Như vậy , biến đổi Fourier chỉ là trường hợp riêng của biến đổi z. 
Như vậy , chúng ta có thể tìm biến đổi Fourier từ biến đổi Z bằng cách đánh giá ZT trên vòng 
 tròn đơn vị với điều kiện vòng tròn đơn vị phải nằm trong miền hội tụ của biến đổi Z. 
Ví dụ tìm FT từ ZT 
Hãy tìm biến đổi Fourier từ các biến đổi Z sau : 
Giải : 
 Đầu tiên phải xem vòng tròn đơn vị có nằm trong miền hội tụ không . 
a) Vòng tròn đơn vị nằm trong miền hội tụ , ta viết được biến đổi Fourier 
3.5. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 
H(e j  ) 
X(e j  ) 
Y(e j  ) 
3.5.1. Đáp ứng tần số 
Trong miền tần số  ta thấy rằng : 
 	 Quan hệ vào ra của hệ thống trong miền  được thể hiện bằng phép nhân như sau : 
 hay: 
 Đ ược gọi là đáp ứng tần số và nó chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(n ) 
hay còn được xác định bằng tỷ số giữa biến đổi Fourier của tín hiệu ra trên biến đổi 
Fourier của tín hiệu vào . 
Đáp ứng tần số sẽ đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền tần số  
Các cách thể hiện : 
Biểu diễn theo Modul và Argument: 
: Đáp ứng tần số của biên độ ( đáp ứng biên độ ). 
: Đáp ứng tần số của pha ( đáp ứng pha ). 
Biểu diễn theo độ lớn và pha : 
3.5.2. Các bộ lọc số lý tưởng 
a. Bộ lọc thông thấp lý tưởng : 
Định nghĩa : 
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau : 
Đ áp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không 
Co d ạng nhu sau : 
Thuc hien bien doi IFT ta co: 
Dạng 
 nên biến đổi tiếp thành dạng : 
Bộ lọc thông thấp 
Với 
Ta có: 	 
Các bộ lọc có tần số cắt 	 (M: nguyên dương ) gọi là bộ lọc Nyquist , tại các điểm là bội của M các mẫu đều bằng 0. 
Nhưng bộ lọc này không thực hiện được trên thực tế vì đáp ứng xung h(n ) không nhân quả và có chiều dài vô hạn . 
Khi thiết kế bộ lọc số thực tế , người ta phải rời đáp ứng xung h(n ) của bộ lọc số lý tưởng theo tâm đối xứng sang bên phải sau đó cắt đi phần âm ( phần không nhân quả ) để h(n ) lúc này thành nhân quả và có chiều dài hữu hạn . 
Lưu ý khi cắt đi sẽ gây hiện tượng gợn sóng trong miền tần số , gây nên hiện tượng Gibbs. 
b. Bộ lọc thông cao lý tưởng : 
Định nghĩa : 
Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng được định nghĩa như sau : 
, 
Đ áp ứng tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng pha không : 
Do 
 là đáp ứng xung của bộ lọc thông tất pha 0 ( ví dụ như một dây dẫn tín hiệu ) vì chúng cho 
 tất cả các tín hiệu đi qua với mọi tần số . 
c. Bộ lọc thông dải lý tưởng : 
Định nghĩa : 
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng được định nghĩa như sau : 
Đ áp ứng tần số của bộ lọc số thông dải lý tưởng pha không : 
d. Bộ lọc chắn dải lý tưởng 
Định nghĩa : 
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng được định nghĩa như sau : 
Dap ung tan so bộ lọc số chắn dải lý tưởng pha 0 
,	 
Chèn hình thiếu vào nhé 
3.5.3. Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế 
Có 4 tham số quyết định chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số là : 
+ Tần số giới hạn dải thông  p 	+ Độ gợn sóng dải thông  1 	 
+ Tần số giới hạn dải thông  s 	+ Độ gợn sóng dải thông  2 	 
Về mặt lý tưởng các độ gợn sóng dải thông , dải chắn càng nhỏ càng tốt , tần số giới hạn dải thông 
và dải chắn càng gần nhau để cho dải quá độ càng nhỏ càng tốt . 
Chương IV: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC k 
4.1 Mở đầu 
Biến đổi Fourier chính là biến đổi z được thực hiện li ên tục trên vòng tròn đơn vị . 
Nhưng đối với một dãy tuần hoàn bất kỳ với chu kỳ N, ta thấy không cần thiết phải thực hiện biến đổi Fourier liên tục mà chỉ cần lợi dụng tính chất tuần hoàn đ ể thực hiện biến đổi Fourier theo các điểm đặc biệt trên đường tròn đơn vị tương ứng với chu kỳ N của tín hiệu tuần hoàn 
V í du: cho t/h tu ần hoàn chu kỳ 8 
N = 8 Chia 8 phần : 
4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT ĐỐI VỚI DÃY TUẦN HOÀN CÓ CHU KỲ N. 
4.2.1 Định nghĩa 
Biến đổi Fourier rời rạc của một dãy tuần hoàn có chu kỳ N được định nghĩa như sau : 
Đặt : 	 
Ký hiệu toán tử : 
Cho dãy tuần hoàn chu kỳ N = 10 
Tim 
Gi ải 
Lưu ý: Khi tính toán ta chỉ cần xác định với k chạy từ 0 đến 9, các chu kỳ khác lặp lại . 
Biểu diễn DFT dưới dạng ma trận 
Ta ký hiệu: 
Tu Đ N: 
Ta khai trien 
4.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT đối với dãy tuần hoàn . 
Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT được định nghĩa như sau : 
 Ky hi êu 	 
Cách tính IDFT hoàn toàn giống DFT chỉ khác dấu (–) , (+) và hệ số 1/N trước dấu  . Vì vậy ta chỉ 
cần xét DFT rồi suy ra biến đổi IDFT. Về mặt thuật toán là như nhau . 
 Hay: 
4.4 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT ĐỐI VỚI DÃY KHÔNG TUẦN HOÀN CÓ CHIỀU DÀI HỮU HẠN N. 
Chúng ta đã xét biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N. 
Ư u điểm nổi bật của biến đổi Fourier rời rạc DFT là biến đổi xuôi và biến đổi ngược đều được 
thực hiện cùng một thuật toán . 
Nhưng trên thực tế không phải lúc nào chúng ta cũng gặp dãy tuần hoàn . 
Ta xét dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn như sau : 
Ta coi dãy có chiều dài N như trên là một chu kỳ của một dãy tuần hoàn có chu kỳ M như sau : 
M ≥ N thường chọn M = 
Định nghĩa cặp DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn N 
Biến đổi xuôi DFT 
Ký hiệu : 
Biến đổi ngược IDFT 
Ký hiệu : 
Ví dụ 
Hãy tìm biến đổi Fourier rời rạc của dãy có chiều dài hữu hạn sau : 
. 
Áp dụng định nghĩa :: 
Chỉ có một giá trị 
4.5 Tính tích chập tuyến tính bằng biến đổi DFT 
Điều kiện để ta có thể sử dụng phép chập vòng để tính phép chập tuyến tính đối với 2 dãy có chiều dài hữu hạn x 1 (n) N1 và x 2 (n) N2 là chiều dài chúng ta chọn để thực hiện phép chap N3 phải thoả mãn: N3 ≥ N1+N2-1 
Ở đây, trước tiên ta phải bổ xung các mẫu bằng 0 để tăng chiều dài và tổi thiểu bằng N1+N2-1 sau đó mới thực hiện phép chập vòng: 
Tính phép chập tuyến tính thông qua phép chập vòng ta sẽ lợi dụng được ưu thế của biến đổi Fourier rời rạc là biến đổi xuôi ngược cùng một thuật toán , do vậy cải thiện hiệu năng tính toán đáng kể , hơn nữa phép chập sang miền tần số rời rạc trở thành phép nhân cho nên thực hiện cũng đơn giản hơn rất nhiều . 
4.6 PHÉP CHẬP NHANH (PHÉP CHẬP PHÂN ĐOẠN) 
Trên thực tế , chúng ta thường gặp trường hợp phải thực hiện biến đổi Fourier rời rạc với các dãy có chiều dài khác xa nhau , một dãy trong phép DFT quá dài sẽ dẫn đến vượt quá dung lượng của bộ nhớ thời gian tính toán quá lớn không cho phép , để có được mẫu đầu tiên của kết quả ta phải đợi kết thúc tất cả quá trình tính toán . Khi gặp vấn đề trên ta phải chia tính toán ra thành nhiều giai đoạn . 
Giả sử chúng ta xét một hệ thống với đầu vào x(n ) có chiều dài N, đáp ứng xung h(n ) có chiều dài M, ta thấy rằng trên thực tế N >> M. Khi thực hiện phép chập tuyến tính để xác định đầu ra y(n ) của hệ thống y(n )= x(n )* h(n ) thông qua DFT ta phải thực hiện các bước sau theo phương pháp Stockham 
4.6 PHÉP CHẬP NHANH tt 
- Chia đầu vào x(n ) ra thành nhiều dãy con: 
với 
- Thực hiện chập từng dãy con với nhau : 
	 Phép chập này được thực hiện thông qua phép chập vòng nhờ DFT. Ở đây , chiều dài thực hiện DFT là N 1 +M-1. 
- Sau đó chúng ta tổ hợp các kết quả thành phần : 
Chi ều dài thực hiện DFT sẽ được chọn theo bảng Helm như sau 
Bảng HELM chọn chiều dài thực hiện DFT 
Chiều dài của h(n ) 
M 
Chiều dài của DFT 
N 1 + M -1 
≤ 10 
11-17 
18-29 
30-52 
53-94 
95-171 
172-310 
311-575 
576-1050 
1051-2000 
2001-3800 
3801-7400 
7401-1480 
32 
64 
128 
256 
512 
1024 
2048 
4096 
8192 
16.384 
32.768 
65.536 
131.072 
Tổng kết 
Cặp biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N. 
Cặp biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy có chiều dài hữu hạn N. 
Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc DFT. 
Thực hiện phép chập nhanh