Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt, các tính chất đặc trưng của hệ thống - Đỗ Tú Anh

Tín Hiệu và Hệ Thống
Đỗ Tú Anh
tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt, 
Các tính chất đặc trưng của hệ thống
2EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạt với các tính chất của hệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân
3Hàm truyền đạt của hệ thống
ƒ Hàm truyền đạt của hệ LTI, H(s), được định nghĩa là biến đổi Laplace 
của đáp ứng xung của hệ thống
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Khi s = jω, đó là biến đổi Fourier (hệ thống phải ổn định) và một
cách tổng quát, đó là biến đổi Laplace.
ƒ Hàm truyền đạt rất quan trọng vì
4EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Hàm truyền đạt: Ví dụ
ƒ Khâu vi phân: tín hiệu ra là đạo hàm theo thời gian của tín hiệu vào
H(s)
( )x t ( )( ) dx ty t
dt
=
( )X s ( ) ( )Y s sX s=
ƒ Khâu tích phân: tín hiệu ra là tích phân của tín hiệu vào
H(s)
( )x t ( ) ( )
t
y t x dτ τ−∞= ∫
( )X s 1( ) ( )Y s X s
s
=
ƒ Khâu chậm trễ: tín hiệu ra là tín hiệu vào dịch đi một khoảng thời gian
(thời gian trễ)
H(s)
( )x t ( ) ( )y t x t τ= −
( )X s ( ) ( )sY s e X sτ−=
( )H s s=
1( )H s
s
=
( ) sH s e τ−=
5EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạt với các tính chất của hệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân
Hệ nhân quả và phản nhân quả
ƒ Do đáp ứng xung nhân quả h(t) là tín hiệu phía phải, MHT của H(s) 
phải thỏa mãn
{ } maxRe s σ>
jω
σ
ƒ Do đáp ứng xung phản nhân quả h(t) là tín hiệu phía trái, MHT của
H(s) phải thỏa mãn
{ } minRe s σ<
jω
σ
MHT phải nằm bên phải tất cả
các điểm cực của hệ
MHT phải nằm bên trái tất cả
các điểm cực của hệ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 6
ƒ Nếu H(s) có thể phân tích thành dạng
1
( ) ,
( )
N
k
N
kk
rB s b
A s s s=
= + +∑
Hệ nhân quả và phản nhân quả
trong đó , 1,2, ,ks k N− =  là các điểm cực
, 1,2, ,kr k N=  đgl các residue
thì h(t) là nhân quả với { } maxRe s σ>
và là phản nhân quả với { } minRe s σ<
ƒ Ví dụ
{ }1( ) , Re 1
1
H s s
s
= > −+
{ }( ) , Re 1
1
seH s s
s
= > −+
Hệ nhân quả
Hệ phi nhân quả
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 7
Hệ ổn định
ƒ Hệ LTI là ổn định BIBO khi và chỉ khi h(t) khả tích tuyệt đối
( )h t dt
∞
−∞ < ∞∫
ƒ Đây cũng là điều kiện Dirichlet để hàm h(t) có ảnh Fourier (trừ các
trường hợp đặc biệt)
ƒ Mặt khác nếu có thể xác định H(jω) từ H(s) bằng cách thay s = jω thì
MHT của H(s) phải chứa trục jω
Để tồn tại đáp ứng tần số H(jω) thì hệ phải ổn định
jω
σ
jω
σ
jω
σ
jω
σ
ƒ Để hệ là nhân quả và ổn định, tất cả các điểm cực phỉa nằm bên trái
mặt phẳng phức s
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
8
Hệ khả nghịch đảo
ƒ Nếu hệ LTI h(t) là khả nghịch đảo, tồn tại hệ nghịch đảo hI(t) sao cho
( ) ( ) ( )Ih t h t tδ∗ = 1( )
( )I
H s
H s
=
ƒ Các điểm cực của H(s) là các điểm không của HI(s) và ngược lại
ƒ Nói chung, hệ nghịch đảo HI(s) của H(s) không duy nhất do có thể có
nhiều khả năng khác nhau của MHT (phân thức A(s)/B(s) có ít nhất
một điểm cực)
ƒ Nếu H(s) = B(s)/A(s) thì HI(s) = A(s)/B(s)
ƒ Tuy nhiên thường có chỉ một hệ nghịch đảo được sử dụng trong
thực tế do còn có các yêu cầu khác (như tính ổn định và/hoặc tính
nhân quả)
9EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Hệ khả nghịch đảo: Ví dụ
ƒ Cho hệ ổn định nhân quả
1( ) ,
2
sH s
s
+= + { }Re 2s > −
ƒ Hai khả năng cho hệ nghịch đảo tương ứng
{ }1 1( ) , Re 12I
sH s s
s
+= > −+ { }2
1( ) , Re 1
2I
sH s s
s
+= > −+và
ƒ Tuy nhiên chỉ HI1(s) ích hữu trong thực tế vì nó vừa ổn định và nhân
quả, còn HI2(s) thì không
ƒ Ví dụ 2:
{ }1( ) , Re 2
2
sH s s
s
−= > −+
ổn định, nhân quả
{ }1 2( ) , Re 11I
sH s s
s
+= >−
{ }2 2( ) , Re 11I
sH s s
s
+= <−
Không ổn định, nhân quả
Ổn định, không nhân quả 10EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ghép nối hệ thống
11EE3000-Tín hiệu và hệ thống
12EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Chương 6: Phép biến đổi Laplace
6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 
6.2 Phép biến đổi Laplace ngược
6.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
6.4 Hàm truyền đạt
6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt
6.4.2 Hàm truyền đạt với các tính chất của hệ thống
6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân
13EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Phương trình vi phân
ƒ Trên thực tế, phần lớn các hệ thống được quan tâm đều được mô tả
bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
0 0
( ) ( )k kN M
k kk k
k k
d y t d x ta b
dt dt= =
=∑ ∑
với bậc của mô hình là số lớn hơn trong hai số M và N
ƒ Sử dụng biến đổi Laplace và các tính chất của nó, ta có được
0( ) ( )( )
( ) ( )
M
k
k
k
k
k
k
b s
Y s B sH s
X s A s
a s
=
∞= = =
∑
∑
ƒ Về lý thuyết, cho phép M > N (ví dụ với khâu vi phân lý tưởng)
ƒ Các hệ thống thực tế bị ràng buộc bởi M N≤ ???
14EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Phương trình vi phân: Ví dụ
ƒ Xét PTVP tuyến tính cấp 1 ( ) ( )( )dy t dx tay t a
dt dt
+ =
ƒ Sử dụng biến đổi Laplace ( )( )
B s as
A s s a
= +
Do đó
{ }1( ) , ReasH s s as a= > −+
{ }2 ( ) , ReasH s s as a= < −+
- Nến hệ là nhân quả
- Nếu hệ là phản nhân quả
ƒ Với điều kiện nào của a thì H1(s) ổn định
Với điều kiện nào của a thì H2(s) ổn định
???
0a >
0a <
Khâu vi phân
thực tế
15
Hệ thống bậc một
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Xét PTVP tuyến tính cấp 1 
( ) ( ) ( )dy t ay t x t
dt
+ =
ƒ Hàm truyền đạt (hệ nhân quả) 
( ) { }1 , ReH s s a
s a
= > −+
ƒ Đáp ứng xung
{ }1( ) ( ) ( )ath t L h t e u t− −= =
ƒ Với a > 0, MHT của H(s) chứa trục jω, khi đó tồn tại đáp ứng tần
số H(jω), cũng có nghĩa bộ lọc thông thấp là ổn định
16
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Hệ thống bậc hai
ƒ Xét PTVP tuyến tính cấp 2 
2
2
( ) ( ) ( ) ( )d y t dy ta by t x t
dtdt
+ + =
ƒ Hàm truyền đạt (hệ nhân quả) 
( ) { } { } { }{ }1 22
1 2
1 1 , Re max Re ,Re
( )( )
H s s r r
s r s rs as b
= = > − −+ ++ +
ƒ Đáp ứng xung
{ } 1 21 1 1( ) ( ) ( ) ( )r t r th t L h t k e u t k e u t− −−= = + tổng các hàm mũ phức
ƒ Đồ thị đáp ứng xung ??? 
17
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Hệ thống bậc hai
Phụ thuộc vào vị trí các điểm cực là
ƒ Thực
ƒ Thuần ảo
ƒ Phức