Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 1: Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu - Đặng Ngọc Hạnh

biến đổi Fourier của x(t) 
chính là phổ tần số của tín hiệu này:

Biến đổi Laplace:
1
7
-M
a
r-1
0
15
( ) ( ) j tX x t e dt
+∞
− Ω
−∞
Ω = ∫ 2 fπΩ =
( ) ( ) stX s x t e dt
+∞
−
−∞
= ∫ s j= Ω
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

 Tổng quát X(Ω) là số phức

 : biên độ & arg(X(Ω)) là pha của X(Ω)

 Đồ thị của theo Ω: phổ biên độ

 Đồ thị của arg(X(Ω)): phổ pha
( ) ( ) ( ))arg(. ΩΩ=Ω XjeXX
( )ΩX
( )ΩX
16
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Đáp ứng hệ thống tuyến tính:

Trong miền thời gian:
Tín hiệu ngõ ra y(t) là tích chập của h(t) và x(t)
1
7
-M
a
r-1
0
17
∫
+∞
∞−
−== τττ dxthtxthty )()()(*)()(
Hệ thống tuyến tính
h(t)
x(t)
Input
y(t)
Output
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Đáp ứng hệ thống tuyến tính:

 Trong miền tần số

 H(Ω) là biến đổi Fourier của h(t), gọi là đáp ứng tần số của
hệ thống

 Y(Ω) là tích của H(Ω) và X(Ω): Y(Ω) = H(Ω)X(Ω)
1
7
-M
a
r-1
0
18
Hệ thống tuyến tính
H(Ω)
X(Ω)
Input
Y(Ω)
Output
( ) ∫
+∞
∞−
Ω−=Ω dtethH tj)(
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Xét tín hiệu vào dạng sin: x(t)=ejΩt
Sau bộ lọc tuyến tính, thành phần tín hiệu tần sốΩ sẽ bị
suy hao (hoặc khuếch đại) một lượng H(Ω).
1
7
-M
a
r-1
0
19
Hệ thống 
tuyến tính h(t)
Tín hiệu vào Tín hiệu ra
( ) j tx t e Ω= ( ) ( ) j ty t H e Ω= Ω
arg( ( ))( ) ( ) ( ) ( )j t j t j t j Hx t e y t H e H eΩ Ω Ω + Ω= ⇒ = Ω = Ω
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Chồng chập tín hiệu:
Phổ tín hiệu vào X(Ω) gồm 2 vạch phổ tại tần sốΩ1,Ω2:
Phổ tín hiệu ra Y(Ω) thu được là:
1
7
-M
a
r-1
0
20
1 1 2 22 2( ) ( ) ( )X A Aπ δ π δΩ = Ω−Ω + Ω−Ω
1 1 1 2 2 22 2( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y H X AH AHπ δ π δΩ = Ω Ω = Ω Ω−Ω + Ω Ω−Ω
tjtj eAeAtx 21 21)(
ΩΩ += ( ) tjtj eHAeHAty 21 2211 )()( ΩΩ Ω+Ω=
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Lấy mẫu: 

Tín hiệu x(t) được lấy mẫu tuần hoàn theo chu kỳ T

Tốc độ lấy mẫu:
1
7
-M
a
r-1
0
21
1
sf T
=
2( ) jftx t e π=
2( ) jfnTx n e π=
( )x t
t
( )x nT
tT0 2T nT
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Xét tín hiệu sin có tần số f:
Vạch phổ tại tần số f

Sau khi lấy mẫu:
Vạch phổ tuần hoàn cách nhau fs
1
7
-M
a
r-1
0
22
Phổ của các tín hiệu sau khi lấy mẫu
Laáy maãu lyù töôûng vaø thöïc teá. 
0 T 2T . nT t 0 T 2T . nT t 
x flat (t) 
τ 
) ( ˆ t x 
) ( ) ( nT t nT x − δ ) ( ) ( nT t p nT x − 
23
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
• Biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT)
Phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu:
Đây là công thức biến đổi DTFT
( )∑
∫
∞+
−∞=
−
+∞
∞−
−
=
=
n
fnTj
ftj
enTx
dtetxfX
π
π
2
2)(ˆ)(ˆ
24
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
• Biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT)
Nhận xét: 
-Phổ của tín hiệu sau khi lấy mẫu tuần hoàn với chu kỳ fs:
-Công thức trên là khai triển Fourier của hàm tuần hoàn
-Biến đổi ngược
-Có thể dùng biến đổi Fourier rời rạc để tính phổ của tín hiệu tương tự
)(ˆ)(ˆ fXffX s =+
)(ˆ fX
∫ ∫− −==
2/
2/
2
2
)(ˆ)(ˆ
1
)(
s
s
f
f
neïjfTn deXdfefX
f
nTX
π
π
ωπ
π
ω
ω
25
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
• Sự lặp phổ
với
Suy ra: 
)().()(ˆ tstxtx =
∑∑
+∞
−∞=
+∞
−∞=
=−=
m
mtfj
n
se
T
nTtts πδ 2
1
)()(
∑
+∞
−∞=
−=
m
smffXT
fX )(
1
)(ˆ
26
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
 -B 0 B f 
Continuous spectrum
(a) Band-limited signal: 
frequencies in [-B, B] (fMAX = B).
(a)
 -B 0 B fS/2 f 
Discrete spectrum
No aliasing (b) Time sampling frequency 
repetition.
fS > 2 B no aliasing.
(b)
 0 fS/2 f 
Discrete spectrum 
Aliasing & corruption (c)
(c) fS 2 B aliasing !
Aliasing: signal ambiguity 
in frequency domain
27
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

Xét tín hiệu x’(t) với f’ = f +mfs
x(t) và x’(t) có cùng phổ sau khi lấy mẫu:
Hiện tượng chồng phổ “aliasing”

 Làm sao chống hiện tượng aliasing? 
1
7
-M
a
r-1
0
28
( )2 2'( ) sj f mf nT j fnTx nT e eπ π+= =
Định lý lấy mẫu?
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Định lý lấy mẫu:

Tín hiệu phải có băng thông giới hạn tồn tại tần số
lớn nhất fmax

Tần số lấy mẫu lớn hơn ít nhất 2 lần fmax:
1
7
-M
a
r-1
0
29
1
2 hay 
2s
f f T
f
≥ ≤max
max
2sf f= max :Tốc độ Nyquist
2 2
s sf f −  
, :Khoảng Nyquist, fs/2: tần số Nyquist
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
VD: Xét tín hiệu since tần số f=10Hz
 Nếu lấy mẫu với tần số fs=12Hz  Tín hiệu lấy mẫu chứa tất
cả các tần số 10+m.12 Hz, nhưng chỉ có tần số
fa=10mod(12)=-2Hz nằm trong khoảng Nyquist [-6,6]Hz
Tần số khôi phục là -2Hz.
*Hiện tượng chồng lấn phổ
 Nếu lấy mẫu với tần số fs=22Hz  Không có hiện tượng
chồng lấn phổ do tần số 10Hz đã nằm trong khoảng Nyquist
[-11,11]Hz Tần số khôi phục là 10Hz.
1
7
-M
a
r-1
0
30
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
VD: x(t)=4+3cos(πt)+2cos(2πt)+cos(3πt) [t]=ms

 f1=0, f2=0.5kHz, f3=1kHz, f4=1.5kHz  fmax=1.5kHz

 Tốc độ lấy mẫu không gây ra aliasing (tốc độ Nyquist): 
2fmax=3kHz

 Nếu x(t) được lấy mẫu với fs=1.5kHz aliasing

 Khoảng Nyquist [-0.75;0.75]kHz. 

 f1 & f2 thuộc khoảng Nyquist nên không bị chồng phổ, 

 f3 & f4 bị chồng phổ: f3a=f3mod(fs)=-0.5kHz, f4a=f4mod(fs)=0.

 Tín hiệu bị chồng lấn xa(t) thu được:
xa(t)=4cos(2πf1at)+3cos(2πf2at)+2cos(2πf3at)+cos(2πf4at)
xa(t)=5+5cos(πt)
1
7
-M
a
r-1
0
31
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Các bộ tiền lọc chống hiện tượng chồng lấn phổ:

Để thực hiện lấy mẫu với tốc độ mong muốn fs, và
thỏa mãn điều kiện lấy mẫu tín hiệu trước hết
phải được lọc bằng bộ lọc thông thấp dạng tương tự
Bộ tiền lọc chống hiện tượng chồng lấn phổ.

Tần số cắt của bộ lọc fcut thoả fcut ≤ fs/2
1
7
-M
a
r-1
0
32
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Các bộ tiền lọc chống hiện tượng chồng lấn phổ:
1
7
-M
a
r-1
0
33
Prefiltered spectrum 
0 
0 - f s f s 
f 
f 
- f s /2 f s /2 
f 
Input spectrum 
prefilter 
Replicated 
spectrum 
Bandlimited 
signal 
x(t) Analog 
siganal 
Digital 
siganal 
x( nT) x(t) Analog lowpass 
filter 
Sampler and 
quantizer 
To DSP 
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Các bộ tiền lọc chống hiện tượng chồng lấn phổ:
1
7
-M
a
r-1
0
34
-B 0 B f 
Antialiasing 
filter Passband 
frequency 
-B 0 B f 
Signal of interest 
Out of band 
noise 
Out of band 
noise 
 -B 0 B fS/2 
f 
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Các bộ tiền lọc chống hiện tượng chồng lấn phổ:
1
7
-M
a
r-1
0
35
|H(f)| boä loïc lyù töôûng
 vuøng
chuyeån tieáp
 Astop
 fs/2 fs/2
 -fstop -fpass 0 fpass fstop f
 baêng chaén baêng thoâng baêng chaén
fstop = fs - fpass
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Các bộ tiền lọc chống hiện tượng chồng lấn phổ:

 Suy hao của bộ lọc:

 Cạnh xuống của đáp ứng biên độ thường có dạng 1/fN
với f lớn

 A(f) = α10log10(f) với f lớn. α10 = 20N (dB/decade)

 A(f) = α2log2(f) với f lớn. α2 = 6N(dB/decade)
1
7
-M
a
r-1
0
36
(dB) 
)(
)(
log20)(
0
10 fH
fH
fAX −=
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Giới hạn phần cứng: 

 Định lý lấy mẫu đưa ra biên dưới của fs.

 Phần cứng sẽ tạo ra biên trên của fs

 Trong các ứng dụng xử lý thời gian thực, mỗi mẫu tín hiệu
đầu vào được thu, lượng tử hóa, xử lý trong bộ DSP, đồng
thời các mẫu ra được khôi phục lai dang tương tự  cần
khoảng thời gian để xử lý tổng cộng cần thiết cho một mẫu
tín hiệu Tproc

 Thời gian giữa 2 mẫu T ≥ Tproc.

 Vậy: 
1
7
-M
a
r-1
0
37
max2 s procf f f≤ ≤
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Khôi phục tín hiệu:

 Bộ khôi phục lý tưởng chỉ lấy các thành phần tần số trong
khoảng Nyquist [-fs/2,fs/2]

 Trong các tần số f, f±fs, f±2fs,, f±mfs, thì chỉ có duy
nhất 1 tần số thuộc khoảng [-fs/2,fs/2]

 Tần số này tìm được theo fa=f mod (fs) (-fs/2 ≤fa ≤fs/2)

 Tín hiệu khôi phục
1
7
-M
a
r-1
0
38
2( ) aj f tax t e
π=
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Bộ khôi phục lý tưởng
1
7
-M
a
r-1
0
39
 )(ˆ fYT
boä khoâi phuïc lyù töôûng
 Y(f+2fs) Y(f+fs) Y(f) Y(f-fs) Y(f-2fs)
 -2fs -fs -fmax 0 fmax fs 2fs f
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
VD: Cho tín hiệu x(t) qua bộ tiền lọc H(f), sau đó được lấy mẫu
với tần số 40KHz. Tín hiệu lấy mẫu được cho qua bộ khôi
phục lý tưởng. 
x(t) = sin(10πt) + sin(20πt) + sin(60πt) + sin(90πt) [t]=ms
Tìm tín hiệu thu được sau khi qua bộ khôi phục trong các 
trường hợp sau:
a. H(f) là bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt bằng 
20KHz.
b. H(f) có băng thông phẳng từ 0 đến 20KHz và suy hao 
48dB/octave ngoài tần số 20KHz (tại 40kHz tương ứng 1 
octave  đáp ứng bộ lọc giảm 48dB)
1
7
-M
a
r-1
0
40
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
a, Tín hiệu sau LPF lý tưởng fc=20KHz chỉ còn thành phần f1, f2
f1, f2 nằm trong NI [-20,20] nên không có hiện tượng chồng lấn phổ. 
Tín hiệu sau bộ khôi phục lý tưởng: ya(t)=y(t)=sin(10πt)+sin(20πt)
b, Bộ lọc thực tế :
y(t)=|H(f1)|sin(10πt)+|H(f2)|sin(20πt)+|H(f3)|sin(60πt)+|H(f4)|sin(90πt)

 |H(f1)|= |H(f2)|=1

 log2(f3/(fs/2))=log2(30/20)= 0.585 |H(f3)|=10-0.585*48/20=0.0395

 log2(f4/(fs/2))=log2(45/20)= 1.170 |H(f4)|=10-1.170*48/20=0.0016
y(t)= sin(10πt)+ sin(20πt)+ 0.0395sin(60πt)+ 0.0016sin(90πt)
Do f3, f4 nằm ngoài khoảng Nyquist chồng lấn phổ :
f3a=f3modfs= -10 kHz, f4a=f4modfs=5 kHz
Tín hiệu sau bộ khôi phục: y(t)= (1+0.0016)sin(10πt)+(1-0.0395)sin(20πt)
y(t)=1.0016 sin(10πt)+0.9605sin(20πt)
1
7
-M
a
r-1
0
41
CHƯƠNG 1: 
LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
Các thành phần cơ bản của hệ thống DSP:

Bộ lọc thông thấp antialiasing filter để giới hạn phổ
tín hiệu trong một băng thông thuộc dải Nyquist.

Bộ biến đổi A/D (lấy mẫu & lượng tử hóa)

Bộ xử lý số tín hiệu. 

Bộ biến đổi D/A (bộ khôi phục bậc thang), có thể đi
kèm với một số bộ lọc cân bằng.

Bộ lọc thông thấp anti-image postfilter có tác dụng
loại bỏ hết các thành phần phổ ảnh còn sót do quá
trình lấy mẫu.
1
7
-M
a
r-1
0
42

 Bai tap: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.9, 1.11

 Xem them: 1.8, 1.10, 1.15