Bài giảng Xử lý số tín hiệu - Chương 8: Thiết kế bộ lọc số - Đinh Đức Anh Vũ

 xung vô hạn (IIR)
• Phương pháp xấp xỉ đạo hàm
• Phương pháp bất biến xung
3DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Giới thiệu
§ Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số
ªĐặc tính bộ lọc được mô tả bởi đáp ứng biên độ và pha
ªTùy theo đáp ứng mong muốn, bộ lọc nhân quả FIR 
hoặc IIR sẽ được chọn
• FIR
§ Được dùng khi có yêu cầu đáp ứng pha tuyến tính trong passband
§ Nhiều thông số hơn IIR → Độ phức tạp tính toán cao
• IIR
§ Có các thuỳ biên ở dải stopband thấp hơn bộ lọc FIR có cùng số
tham số → được dùng nhiều hơn so với FIR (khi độ méo pha trong 
passband có thể chấp nhận được)
§ Độ phức tạp tính toán không cao và tiêu tốn ít bộ nhớ
ªXác định các hệ số bộ lọc
4DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Tính nhân quả
î
í
ì
£<
£
=
pww
ww
w
c
cH
0
1
)(
ïî
ï
í
ì
¹
=
=
0
0
)( )sin( n
n
nh
n
n
c
cc
c
w
w
p
w
p
w
ω
H(ω)
1
ωc-ωc
Bộ lọc không nhân quả
→ không hiện thực được
ωc = π/4
§ Xét bộ lọc lý tưởng
5DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Đ/k để bộ lọc nhân quả
§ Định lý Paley-Wiener
ª H(ω) chỉ được phép = 0 tại một tập hữu hạn các tần số
ª |H(ω)| không được là hằng số cho một khoảng tần
• Việc chuyển từ passband sang stopband không được thẳng góc
ª HR(ω) và HI(ω) phụ thuộc nhau → Phổ biên độ và phổ pha không 
thể chọn độc lập được
¥<ò
-
p
p
ww dH )(lnh(n) có năng lượng hữu hạn
h(n) = 0 "n<0
ò
ò
-
-
¥<
¥<
p
p
p
p
ww
ww
dH
dH
2)(
)(ln
quaûnhaânnh
eHHVôùi j
:)(
)()(),( )(wwww Q=Q
6DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
)()()( nhnhnh oe +=
[ ]
[ ])()()(
)()()(
2
1
2
1
nhnhnh
nhnhnh
o
e
--=
-+=
1)()0()()(2)(
0)()0()()(2)(
³+=
³-=
nnhnunhnh
nnhnunhnh
o
ee
d
d
h(n) nhân quả
)()()( www IR jHHH +=
)()()( nhnhnh oe +=
FF
ò
-
--=
p
p
lw
p llw dHH RI )cot()()( 221BĐ Hilbert rời rạc
1)()( ³= nnhnh eo
h(n) được mô tả bởi he(n)
H(ω) được mô tả bởi HR(ω)
H(ω) được mô tả bởi HI(ω) và h(0)
h(n) thực
Đ/k để bộ lọc nhân quả
7DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Bộ lọc tần số trong thực tế
§ LTI
§ Đặc trưng 
|H(ω)|
ω
1+δ1
1-δ1
δ2
Passband ripple
Transition Band
StopBand
0 ωp ωs π
δ1: Passband ripple
δ2: Stopband ripple
ωp: Passband edge ripple
ωs: Stopand edge ripple
åå
==
-+--=
M
k
k
N
k
k knxbknyany
01
)()()(
å
å
=
-
=
-
+
= N
k
kj
k
M
k
kj
k
ea
eb
H
1
0
1
)(
w
w
w
8DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR –
Tính đối xứng & phản đối xứng
§ Bộ lọc FIR § Bộ lọc FIR tuyến tính pha
ª H(ω) có pha Ө(ω) là hàm tuyến tính
ª Đ/k: h(n) = ± h(M–1–n)
n = 0, 1, , M-1
å
-
=
-=
1
0
)()()(
M
k
knxkhny
å
-
=
-=
1
0
)()(
M
k
k knxbny
h(k) = bk å
-
=
-=
1
0
)()(
M
k
kzkhzH
)()( 1)1( zHzHz M ±=---
• Thay z bởi z-1
• Nhân 2 vế với z-(M-1)
• h(n) = ± h(M–1–n)
z1
z1*
1/z1*
1/z1
11/z2 z2 • Nếu z1 là nghiệm (hoặc zero) của H(z) thì 1/z1 cũng là nghiệm
• Để h(n) thực thì z1* cũng là nghiệm 
và 1/ z1* cũng là nghiệm
9DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR –
Tính đối xứng & phản đối xứng
§ Hàm h/t
§ Đáp ứng xung đơn vị đối xứng h(n) = h(M – 1 – n)
[ ]
[ ]ïï
î
ï
ï
í
ì
±
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
±+
=
-+++=
å
å
-
=
--
=
---
---
-----
-
-----
chaünMzznhz
leûMzznhhz
zMhzhhzH
M
nMnMM
M
nMnMM
n
n
M
M
1
0
0
2
1
)1(1
2
2
)21(
2
)21(
2
)1(
2
3
2
)21(
2
)21(
2
)1(
)(
)()(
)1(...)1()0()(
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+
=
å
å
-
=
--
=
---
-
chaünMnh
leûMnhh
H
M
M
n
nM
n
nMM
r 1
0
2
21
0
2
21
2
1
2
2
3
)(cos)(2
)(cos)(2)(
)(
w
w
w
î
í
ì
<+-
>-
=Q
-
-
0)()(
0)()(
)(
2
1
2
1
wpw
ww
w
r
M
r
M
H
H
2
)1(
)()(
--=
Mj
r eHH
www
Đặc tính pha Tuyến tính
Biên độ thực
10DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
§ Đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng h(n) = –h(M–1–n)
ª Khi M lẻ h[(M–1)/2] = 0
§ Đối xứng hay phản đối xứng ?
ª Tùy
Thiết kế bộ lọc FIR –
Tính đối xứng & phản đối xứng
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
å
å
-
=
--
=
--
-
chaünMnh
leûMnh
H
M
M
n
nM
n
nM
r 1
0
2
21
0
2
21
2
2
3
)(sin)(2
)(sin)(2
)(
w
w
w
î
í
ì
<-
>-
=Q
-
-
0)()(
0)()(
)(
2
1
2
3
2
1
2
ww
ww
w
p
p
r
M
r
M
H
H
][ 22
)1(
)()(
pwww --
-
=
Mj
r eHH
Đặc tính pha Tuyến tính
h(n) = –h(M–1–n)
M lẻ
Hr(0) = 0
Hr(π) = 0
Không thích hợp 
cho các bộ lọc thông thấp 
và thông cao
Biên độ thực
11DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
§ Giả sử
ª Hd(ω): hàm đáp ứng tần số mong muốn
ª hd(n): hàm đáp ứng xung đơn vị mong muốn
• hd(n) có chiều dài vô hạn
• Để chiều dài hd(n) hữu hạn, cắt hd(n) tại điểm n = M-1
§ Nhân hd(n) với hàm cửa sổ w(n)
§ Cửa sổ hình chữ nhật
§ Đáp ứng xung mẫu của bộ lọc
ª Với Hd(ω) cho trước, thì W(ω) có tác dụng làm trơn Hd(ω)
ª Một W(ω) tốt khi
• Có thuỳ chính phải rộng, cao hơn nhiều so với thuỳ phụ
• w(n) không nên giảm xuống 0 tại hai bên cạnh 
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – 
Phương pháp cửa sổ
å
¥
=
-=
0
)()(
n
nj
dd enhH
ww
î
í
ì -=
=
otherwise
Mn
nw
0
1,...,1,01
)(
î
í
ì -=
=
=
otherwise
Mnnh
nwnhnh
d
d
0
1,..,1,0)(
)()()(
ww w
p
p
p deHnh
nj
dd ò
-
= )()( 21
ò
-
-=
p
p
p ww dvvWvHH d )()()( 21
12DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – 
Phương pháp cửa sổ
Nhận xét:
- Thuỳ chính hẹp hơn khi M tăng
- Các thuỳ phụ tương đối lớn so với 
thuỳ chính và không thay đổi khi M tăng
- Chiều cao thuỳ phụ tăng khi M tăng
)2/sin(
)2/sin(
1
1)(
2/)1(
1
0
w
w
w
w
w
w
w
Me
e
eeW
Mj
j
MjM
n
nj
--
-
--
=
-
=
-
-
== å
î
í
ì
<-
³-
=Q
££-=
-
-
0)sin()(
0)sin()(
)(
)sin(
)sin(
)(
22
1
22
1
2
2
MM
MM
M
W
w
w
w
w
wp
w
w
pwpw
Độ rộng của thùy chính: 4π /M
[được đo bởi điểm zero đầu tiên của W(ω)]
13DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
PP lấy mẫu tần số
§ Hd(ω) được định nghĩa tại M điểm tần số cách đều
2
1
2
2
12
|0
1,,1,0
,,1,0)(
=
-=
=+= -
a
aw p
chaünMk
leûMkk
M
M
Mk
K
K
å
-
=
-=
1
0
)()(
M
n
nj
dd enhH
ww
1,,1,0)()(
1,,1,0)()(
)]([)(
1
0
/)(21
1
0
/)(2
2
-=+=
-==+
+º+
å
å
-
=
+
-
=
+-
MnekHnh
MkenhkH
kHkH
M
k
Mnkj
dMd
M
n
Mnkj
dd
Mdd
K
K
ap
ap
p
a
a
aa
α=0, 2 công thức 
này chính là công thức 
DFT và IDFT
)()( * aa --=+ kMHkH ddChuỗi h(n) thực
Chỉ cần định nghĩa Hd(ω) tại (M+1)/2 điểm khi M lẻ
hoặc tại M/2 điểm khi M chẵn
14DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha –
PP lấy mẫu tần số
§ Mẫu tần số
§ Định nghĩa các mẫu tần số thực G(k+m)
§ Tùy theo giá trị α (0|½) và β (0|1), H(k) và h(n) sẽ có công thức đơn giản
ª Ví dụ khi α = 0 và β = 0
( ) [ ]MMkjMrd ekHkH 2/)1)((22/2 )()( -+-+=+ apbpp aa
î
í
ì
=
=
xöùngñoáiphaûnnh
xöùngñoáinh
)}({1
)}({0
b
b
( ))()1()( 2 aa p +-=+ kHkG Mrk
[ ]MMkjjk
d eekGkH
2/)1)((22/)()( -+-+=+ apbppaa
Với
( )
)()(
)1()(
1,,1,0)()(
2
/
kMGkG
HkG
MkekGkH
M
k
r
k
Mkj
--=
-=
-==
p
p K
î
í
ì
-
=
þ
ý
ü
î
í
ì
++=
-
=
å
chaünMkhi
leûMkhi
Uvôùi
nkGG
M
nh
M
M
U
k
M
k
1
)(cos)(2)0(1)(
2
2
1
1
2
12p
15DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – 
Phương pháp tối ưu
§ Bài toán xấp xỉ Chebyshev
ªTối ưu: sai số xấp xỉ giữa đáp ứng t/s mong 
muốn và thực tế phân bố đều trên passband và
stopband Þ tối thiểu hóa các sai số cực đại
ªBộ lọc có gợn sóng trong cả passband và
stopband
16DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
§ Trường hợp 1: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M lẻ
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – 
Phương pháp tối ưu
å
-
=
-- -+=
2/)3(
0
2
1
2
1 )(cos)(2)()(
M
n
MM
r nnhhH ww
å
-
=
=
2/)1(
0
cos)()(
M
k
r kkaH ww
î
í
ì
=-
=
=
--
-
2
1
2
1
2
1
,,2,1)(2
0)(
)(
MM
M
kkh
kh
k
K
a
k = (M-1)/2 – n
17DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – 
Phương pháp tối ưu
å
-
=
- -=
12/
0
2
1 )(cos)(2)(
M
n
M
r nnhH ww
å
=
-=
2/
1
2
1 )(cos)()(
M
k
r kkbH ww
22 ,,2,1)(2)( MM kkhkb K=-=
k = M/2 – n
å
-
=
=
12/
0
2 cos)('cos)(
M
k
r kkbH ww w
)(2)1('
2,,2,1)(2)1(')('
)1()0('
22
2
2
1
MM
M
bb
kkbkbkb
bb
=-
-==-+
=
K
§ Trường hợp 2: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M chẵn
18DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – 
Phương pháp tối ưu
å
-
=
- -=
2/)3(
0
2
1 )(sin)(2)(
M
n
M
r nnhH ww
å
-
=
=
2/)1(
1
sin)()(
M
k
r kkcH ww
2
1
2
1 ,,2,1)(2)( -- =-= MM kkhkc K
k = (M-1)/2 – n
å
-
=
=
2/)3(
0
cos)('sin)(
M
k
r kkcH www
)1()2(')0('
2)(2)1(')1('
)(2)('
)()('
2
1
2
5
2
3
2
5
2
1
2
3
ccc
kkckckc
cc
cc
M
MM
MM
=+
££=+--
=
=
-
--
--
MMM
§ Trường hợp 3: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M lẻ
19DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
§ Trường hợp 4: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M 
chẵn
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – 
Phương pháp tối ưu
å
-
=
- -=
12/
0
2
1 )(sin)(2)(
M
n
M
r nnhH ww
å
=
-=
2/
1
2
1 )(sin)()(
M
k
r kkdH ww
22 ,,2,1)(2)( MM kkhkd K=-=
k = M/2 – n
å
-
=
=
12/
0
2 cos)('sin)(
M
k
r kkdH ww w
)1()1(')0('
12)(2)(')1('
)(2)1('
2
1
2
22
ddd
kkdkdkd
dd
M
MM
=-
-££=--
=-
20DSP – Lecture 8, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE
Thiết kế bộ lọc FIR tuyến tính pha – 
Phương pháp tối ưu
§ Tổng quát )()()( www PQHr =
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
4sin
3sin
2cos
11
)(
2
2
hôïptröôøng
hôïptröôøng
hôïptröôøng
hôïptröôøng
Q
w
w
w
w
å
=
=
L
k
kkP
0
cos)()( waw
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-
-
-
-
=
412/
32/)3(
212/
12/)1(
hôïptröôøngM
hôïptröôøngM
hôïptröôøngM
hôïptröôøngM
L